交叉积Hopf代数的结构

Molnar在文献[1]中用Hopf代数范畴中的可裂及余可裂短正合裂刻画了半直积Hopf代数及其对偶.Radford及Majid分别将其推广成双积(biproduct)及双交叉积(bicrossproduct),前者成为Majid的bosonization定理的一个漂亮例子,后者给出了Drinfel’d的量子偶(Double)的通用构作用.本文从新的角度推广Molnar的构作,研究张量积余代数与交叉积代数结构一起成为双代数以及Hopf代数的条件.设K为域,所论代数、余代数均指域K上的,采用文献[6]中的Sigma记号,但上、下标中省去括号,(?)简记为(?).定义 设H为双代数,B为K上向量空间,若存在双线性映射σ:H(?)H→B和线性映射·:H(?)B→B,满足1)I_H·b=b,2)∑(h_1·(l_1·b))σ(h_2,l_2)=∑σ(h_1,l_1)(h_2l_2·b),(?)b∈B,h,l∈H,则称B为左H(?)扭曲模.若代数B是左H(?)扭曲模且满足3)h·ab=∑(h_1·a)(h_2·b),4)h·1_B=ε_H(h)1_B,(?)h∈H,a,b∈B,则称B为左H(?)扭曲模代数.若余代数B是左H(?)扭曲模且满足3′)△_B(h·b)=∑h_1·b_1(?)h_2·b_2,4′)ε_B(h·b)=ε_H(h)ε_B(b),(?)h∈H,b∈B,则称B为左H(?)扭曲模余代数.若双代数B同时是左H(?)扭曲模代数和左H(?)扭曲模余代数,则称B为左H(?)扭曲模双代数.设H为双代数,B同时是代数和余代数,但不一定是双代数.若B是左H(?)扭曲模     

模代数的Hopf-Jacobson根

Fisher在文献中讨论了Hopf模代数的Hopf-Jacobson根,其中对域k上的Hopf代数H要求其作为余代数是不可约的,也即H含唯一的单子余代数k.在本文中,我们对域k上一般的Hopf代数H讨论Hopf模代数A的Hopf-Jacobson根.还讨论了左A-Hopf单模的性质,证明了稠密性定理.1 定义和引理     

余循环变形、辫子monoidal范畴及拟三角性

设A是双代数,R∈A（×）A是强“余循环”。证明了monoidal范畴_Aμ在一个辫子的monoidal子范畴。并给出（A,R）是拟三角双代数的几个等价条件。进一步证明,若R是YB-算子,则A含有一个有限维子双代数是拟三角Hopf代数。     

Hopf余模余代数的对偶定理

Blattner和Montgomery在文献[1]中讨论了Hopf模代数的对偶定理.此定理概括了VonNeumann代数的交叉余积的对偶.早在1977年,Molnar在文献[3]中给出了Hopf模代数的对偶概念Hopf余模余代数,并讨论了其性质.但关于Hopf余模余代数的对偶定理至今未见,它具有与文献[2]同等的意义.本文将通过定义左(右)Smash余积,在Hopf代数H有限维时,给出了这一对偶定理:若H~*在H×_H~*~LH~*上的右余作用为右强余内的,那么(C×H)×H~*≈C(?)(H×H~*).     

Hopf余模余代数的Morita理论

自1958年建立Morita理论以来,Morita context被广泛应用于代数结构的研究。1986年,Cohen和Fischman对Hopf模代数建立了Morita理论,并把它用于研究Smash积。之后,Cohen,Fishchman和Montgomery等又作了发展。为了对余模建立相应的理论,Takeuchi于1977年定义了所谓的pre-equivalence date,即Morita context的对偶概念。本文的目的是对Hopf余模余代数建立Morita理论,并把它用来研究Hopf cogalois。 本文的所有讨论都在固定的域k上进行。有关Hopf代数的基本事实见文献[4,5],采用Sweedler的记法,但省略和号∑。 设C为左H-余模余代数,β:C→H(?)C,β(c)=C~(1)(?)C~(2)(已省略∑,下同)为结构映射,即(?)c∈C有     

关于Hopf代数的Kaplansky猜测

Kaplansky提出了如下问题:素数维的Hopf代数一定是交换且余交换的。本文中我们证明了:若素数维余半单的Hopf代数A的一切单子余代数C均满足dimC≦8,则A是群代数(素数维的群代数自然是交换且余交换的)。     

Hopf模代数的投射性与平坦性

Hopf代数是代数学的一个活跃分支。给出一个H-模代数A,Hopf代数理论的一个重要课题是研究代数A,不动子代数A~H及Smash积A#H三者代数性质之间的关系。我们知道,若A/A~H是H-Galois扩张,则_A~HA是投射模(见文献[1]中定理1.7或文献[2]中定理1.2′)。这启发我们研究在什么条件下_A~HA是投射模或平坦模。     

H-本原环的Martindale商环

本文均设H是域k上具有可逆antipode的Hopf代数,R是有1的H-素模代数,M是左R,H-酉模.M称为不可约的是指:RM≠0,并且M无真R,H-子模.一个H-模代数R称为是左H-本原环,若R有一个左R,H-模M,M作为左R-模是忠实的,作为R,H-模是不可约的.详细性质可见文献[1].在文献[2]中已给出例子说明:存在代数R,它是H-素,但不是通常的半素.     

余可裂H-模余代数的结构

Doi从1983年起对可裂H-余模代数进行了系统的研究,并在1986年与Takeuchi一起给出了可裂H-余模代数的结构定理,即,若A为可裂右H-余模代数,则A≌A_(?)#_σH。该结构定理有较强的概括性(例如它推广了群分次环的相应结论),Blattner与Montgomery用此结论来研究交叉积A#_oH.H-余模代数的对偶概念是H-模余代数。Doi也曾讨论过H-模余代数,但始终没有给出余可裂H-模余代数的结构定理。本文先定义交叉余积,并利用交叉余积给出余可裂的H-模余代数的结构定理。定理与可裂余模代数的结构定理有类似的意义。     

Hopf代数的twisting余积

设H为有限维Hopf代数(或双代数),H~*为H的对偶Hopf代数,则H与H~*有一组对偶基,这组对偶基有良好的代数性质,同时这组对偶基也反映出H与H~*之间的对偶关系,本文首先推广这种对偶关系,定义了双代数(Hopf代数)偶的概念,利用双代数偶定义了Hopf代数的twisting余积,这种twisting余积包含了通常的Smash余积作为特例,利用双代数偶和twisting余积两次给出D(H)~*的结构,这里D(H)表Drinfeld double(量子偶)。     

Hopf余模余代数的分解

本文将Kaplansky,Shudo,Miyamoto,许永华教授等建立的余代数分解理论推广到Hopf余模余代数.采用文献[4]中的记号.所涉及的Hopf代数、余代数均指域K上的.1 Hopf余模余代数的局部有限性及分解定理设C为余代数,M为左C-余模,其结构映射为m且假定此表达式中和项个数最小,易见{m~(1)},{m~(2)}分别在C,M中线性无关.它们生成     

交换环上模的Euler特征数

设R为带单位元1的交换环,P为R-模,如果P有有限的有限生成自由分解O→F_m→…F_1→F_0→P→0,则记P∈FFR且称x(P)=Sum from i=1 to m((-1)~i)rankF_i为P的Euler特征数。在刻画交换环的模结构方面,Euler特征数发挥了很大作用。本文采用同调方法,给出了半遗传环和遗传环上x(P(?)Q)=x(P)x(Q),x(Hom(P,Q))=x(P)x(Q)成立的充要条件。 1 预备知识 假设所讨论的环都是带单位元1的交换环,模指酉模。     

关于算子张量积和初等算子的谱

让X、Y为复Banach空间。张量积X_αY是XY关于拟一致合理范数α的完备化。Brown和Percy证明了σ(A(?)B)=σ(A)·σ(B)。Schecter和Dash把这个工作推广到多个有界算子的情形。而Harte对一般Banach代数的张量积进行了讨论。设A、B分别是X、Y上的稠定闭算子。Ichinose详细讨论了的谱及各种意义下的本质谱。并且给出了P的nullit、deficiency和index的表达式。在此同时,Fialkow对算子     

自由C*-代数与非交换Hahn-Banach定理中的完全收缩扩张的唯一性问题

1 引言及主要结果Arveson 把经典的Hahn—Banach扩张定理推广到了C-代数的自伴线性闭子空间上.从此,许多数学工作者对Arveson扩张定理作了推广,下述结果属于G,Wittstock,命题1.1(见文献[2]定理4.2)设X是-算子空间,A是一有单位元的 C-代数且A(?)X,若(?):X→B(H)是一完全收缩映射,则存在完全收缩映射(?):A→(H)使得(?)|X=(?)且||(?)||_cb=||(?)||_cb利用该命题易得:推论1.1 设X与Y均为算子空间且Y(?)X,若(?):Y→(H)是一完全收缩映射,则存在完全收缩映射(?):x→B(H)使得(?)|Y=(?)且||(?)||_cb=||(?)||_cb但命题1.1中的(?)的唯一性问题从未被人涉及,本文用自由C-代数和遗传C-代数为工具,给出了命题1.1中扩张(?)对任何Hilbert空间H均具唯一性的一个充要条件,即下述的:定理1.1 设X和Y均为算子空间,且Y(?)X,1∈X,则下述等价:(1)对每个Hilbert空间H及每个完全收缩映射(?):Y→B(H),都唯一存在完全收缩扩张映射(?):x→B(H)使得(?)|Y=(?)且||(?)||_cb=||(?)||_cb(2)C(Y)是C(X)的遗传C-子代数,定理1.2 记号同于命题1.1,则对每个Hilbert空间H,(?)均唯一存在的充要条件为:I(X)是A的遗传C-子代数,其中I(X)是由X生成的A的C-子代数,     

关于Hochschild同调群的一个恒等式

设A是域k上的有限维代数,A~e是A的包络代数,即A~e=A(?)A~(op),其中A~(op)是A的反代数.任一A-A双模M自然地视为左A~e-模:(a(?)b’)m:=amb,(?)a(?)b’∈A~e,m∈M.由此得到左 A~e-模A并且有如下维数公式(参见文献[1]):proj.dim.A~eA=gl.dim.A.根据Cartan-Eilenberg公式,A的第i次Hochschild同调群H_i(A)等同于向量空间H_i(A)(?)Ext_(A~e)~i( A,D(A))(?)Tor~A~e_i( A,A),其中D=Horm_k(-,k)为对偶函子. 关于Hochschild同调群和上同调群的原始定义和基本性质我们引用经典文献和新书.近年来的若干文献表明代数的Hochschild同调群和上同调群与代数的表示之间有紧密的联系.我们指出同时研究Hochschild同调群和上同调群     

mod_pΛ中无短链的有限表示型自入射代数存在Hall多项式

在文献[1]中,Ringel定义了Finitary环A上的Hall代数(?)(A).它是以{u_[M]}[M]为基的自由Abel群,其中[M]表示有限A模M的同构类,(?)(A)的定义如下:u_[N_1]×u_[N_2]=sum from [M] ((F_(N_1)~M)×(N_2)×u_[M])由于A是Finitary环,上式右端是有限和.这里F_(N_1N_2)~M是M的适合L（?）N_2且M/L（?）N_1的子模L的个数.Hall代数(?)(A)是有单位元1=u_[0]的结合环.为简便,总假定A是有限域k上的有限维代数.所有的有限A模构成的子范畴记为mod-A.由文献[1～3]可知,Dynkin型或仿射型遗传代数的Hall代数与相应的Kac-Moody Lie代数及其量子包络代数均有深刻的内在联系,而Hall多项式在1处的赋值恰好给出了对应Lie代数的结构系数.在文献[2]中Ringel猜测:任意有限表示型k-代数总存在Hall多项式.Ringel证明了表示直向代数有Hall多项式.Guo等人证明了mod-A中没有短圈的代数A有Hall多项式.在这篇短文中,我们证明了mod_pA中没有短链的有限表示型自入射代数A存在Hall多项式.     

量子群GL(n)_q的矩阵元代数的结构与Verma模

量子群、量子代数及其表示理论在许多非线性可积物理模型中起着重要作用。量子群是由满足Yang-Baxter方程的量子(?)-矩阵中抽象出来的数学结构,并可解释为量子平面上的变换群。Florator,Weyers和Fhakrabarti等人利用Heisenberg-Weyl关系研究了量子群GL(n)_q的矩阵元代数A(n)_q的表示。文献[7]给出了A(2)_q的不可约表     

Banach空间上算子张量积的联合本质谱和指标

设X,Y,X_1,…,X_n是是Banacb空间。L(X)是X上有界线性算子代数。是与Y的代数张量积。上有范数表示由得到的的完备空间。类似定义。若,则。若,记     

关于算子的张量积

近年来许多作者讨论了广义导算子δ_(AB)(·)=A(·)-(·)B和初等算子τ_(AB)(·)=A-(·)B,当限制于Hilbert-Schmidt类C_2(H)上时,为正规算子,亚正规算子,次正规算子,k-拟亚正规算子,拟正规算子,θ-类算子等等的充分必要条件,并得到许多有趣的结果。这里H为一可分的复Hilbert空间,A,B∈B(H)。注意到Hilbert-Schmidt类C_2(H2→H_1)     

曲线上微分算子环的Stafford-Smith问题

设XM特征为零的代数闭域k上的仿射代数曲线,O(X)表示X上的正则函r,D(X)是X上微分算子环,H(X)是D(X)的导出Artin代数.Stafford-Smith在文献[1]中提出如下两个问题:Stafford-Smith问题Ⅰ:D(X)是否有无限的总体同调维数?Stafford-Smith问题Ⅱ:给定一个任何有限维代数A,是否存在仿射曲线X,使得H(X)=A?Brown在文献[2]中提出了如下问题:是否H(X)总是为拟遗传代数?