关于方程x~2 y~2=2z~2的正整数解

方程x~2 y~2=2z~2 (1)的正整解为 i 当其正整解相等时,有x=y=z=t,其中t∈N={1,2,3,…}; ii 当其正整数解互不相等且同为奇数时,有x=m~2 2mn-n~2,y=|-m～2 2mn N~2|,z=m~2 n~2,其中m,n∈N,m>n,(m,n)=1,m、n为一奇一偶。证明 i 显然。今证ii。由方程 (1) 知,它的正整数解x,y,z同为奇数或同为偶数,否则方程 (1) 是不成立的。特x,y为奇数,z为偶数,令x=2p 1,y=2q 1,z=2u,其中p,q,u∈N。将x,y之值代入 (1) 并将其两边同除以2,则其左边等于2(p~2 q~2 p q) 1为奇数,而右边等于4u~2为偶数,引出矛盾,方程 (1) 不成立。故方程 (1) 不存在x,y为奇数而z为偶数的解。同理可证方程 (1) 不存在x,y为偶数而z为奇数,或x,y一奇一偶而z为奇数,或x,y一奇一偶而z为偶数的正整数解。所以方程 (1) 的互不相等的正整数解x,y,z同为奇数或同为偶数。而要求方程 (1) 的同为偶数的解x,y,z,这可将方程 (1) 的同为奇数的解x,y,z     

指数不定方程x2+(3a2+1)m=(4a2+1)n

设a是一个给定的正整数,且4a2 1是一个素数,利用乐茂华和Bugeaud Y关于不定方程x2 (3a2 1)m=(4a2 1)n的解数的深刻结果,得到了该方程具有m为偶数或n为偶数的正整数解x,m,n所需要的条件,进而推出:当a是大于1的奇数时,上述不定方程仅有两个正整数解.     

关于阶乘的丢番图方程

对丢番图方程 1+n!=x~2 (1)和与阶乘有关的方程 n!=(m-1)m(m+1) (2)作如下讨论。引理ⅰ) 若(n,x)与(n+l,x+k)是(1)的任两组正整数解,则(x+k)/x>2 (3) ⅱ) 若(n,m)与(n+l,m+k)是(2)的任两组正整数解,则(m+k)/m>3~(1/3) (4) 定理对几乎所有的正整数n,(1)与(2)都没有正整数解。即:对任给的正整数N,若V_1(N)表示n≤N的(1)的正整数解(n,x)的个数,V_2(N)表示n≤N的(2)的     

关于方程sum from k=0 to n[x+2(10l+9)k]~r=[x+2(10l+9)(n+1)]~r

证明了:当奇数r>3,n,x为正整数,l为非负整数,(x,2(10l+9))=1时,方程sum from h=0 to n[x+2(10l+9)k]~r=[x+2(10l+9)(n+1)]~r无正整数解。     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

关于欧拉方程φ(mn)=3~k(φ(m)+φ(n))的正整数解

设φ(n)为Euler函数,探讨了方程φ(mn)=3k(φ(m)+φ(n))的正整数解的问题。当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解;进而对任意的正整数k,给出了方程的9组正整数解(5×3k-1,13×3k-1);(5×3k-1;26×3k-1);(4×3k-1,4×3k);(7×3k-1,4×3k);(8×3k-1,5×3k);(10×3k-1,13×3k-1);(5×3k-1,28×3k-1);(8×3k-1,13×3k-1);(2×3k,2×3k)。     

关于丢番图方程sum form k=0 to n((x-g~ak))~r=sum form k=1 to n((x+g~ak))~r

本文明了:设g=p_1p_2…p_n=10β+9型奇数,p_1,p_2……,p_3是不同素数,n,x,α,r为正整数,方程sum from k=0 to n(x-g~αk)~r=sum from k=1 to n(x+g~αk)~r仅有正整数解r=1,x=g~αn(n+1)和r=2,x=2g~αn(n+1)。     

关于Diophantine方程y2=px(x2+2)的一点注记

设p是奇素数,运用初等数论方法证明了:如果P=16k4+1,这里k为正奇数,则方程y2=px(x2+2)无正整数解(x,y).     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解简

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

关于不定方程4x~2-py~2=1

研究了二次不定方程4x2-py2=1(p为奇素数),对于特例p=m2±2(m为正奇数),利用Pell方程x2-py2=1的正整数解公式得到了原方程的所有正整数解.另外还证明了p=1,5(mod8)时方程4x2-py2=1无正整数解.     

一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥ 2 ,Hk 表示一个正整数n的集合 ,使对任意的正整数q ,同余方程a +bk≡n(modq)在模q的既约剩余系中有解a ,b .Ek(x)表示n≤x ,n∈Hk,但不能表成p1+p2 k=n的数的个数 ,则在GRH下有Ek(x) x1-2h(k)4 k- 1 +ε,这里h( 2 ) =316 ;k>2 ,h(k) =4k-12× ( 3× 4k -2 +1)k.     

关于Diophantine方程xp-1-1=2mpyn

设p是奇素数，n是大于1的奇数，证明了：当p≡7(mod12)时，方程x^p-1-1=2^mpy^n无正整数解(x，y，m，n)。     

关于Diophantine方程(xm-1)(xn-1)=y2

设N是全体正整数的集合.证明了方程(xm-1)(xn-1)=y2,x,y,m,n∈N,x＞1,n＞m≥1的全部整数解为(x,y,m,n)=(7,120,1,4),(3,22,1,5),(3,44,2,5),(2,21,3,6)(k2-1,k3-2k,1,2),其中k∈Z,k＞1.     

关于Pell数的Diophantine方程x2+Uyn=Vzn

设n是正奇数,Un=(αn+βn)/2.yn=(αn-βn)/2√2,其中α=1+√2,β=1-√2.运用Pell数的算术性质讨论了方程x2+Uyn=Vzn的正整数解(x,y,z).证明了当n≡±3(rood 8)时,该方程仅有正整数解(x.y,z)=(V2n-1.2,4).     

Diophantine方程(a~n-1)((a+1)~n-1)=x~2的可解性

设a是大于1的正整数,v2(a)表示2可以整除a的最高次幂.运用初等数论方法研究了方程(an-1)((a+1)n-1)=x2的可解性.证明了当a满足以下3个条件之一时该方程无解(x,n):(i)a是偶数,v2(a)是奇数;(ii)a是偶数,v2(a)=2;(iii)a是奇数且a≡5或9(mod 16).同时也证明了至少有5/6的正整数a可使该方程没有适合n2的解(x,n).     

正整数的素因子个数的k次均值估计

令ω(n)表示正整数n的不同素因子的个数,考虑ω(n)的k次均值,运用Nathanson和Turán的方法,证明了对x≥2和正整数k,有∑n≤xω(n)k=x(lnlnx)k+O(x(lnlnx)k-1),以及对每个δ＞0和正整数k,使不等式ω(n)k-(lnlnn)k≥(lnlnx)k-1/2+δ成立的正整数n≤x的个数是O(x).这两个结果是对ω(n)经典均值估计的推广.     

关于三角数的一个方程

对于正整数n,设T(n)=n(n-1)/2是第n个三角数.设k是大于1的正整数.论文证明了:当n是平方数时,方程T(x)=kT(y)仅有有限多组正整数解(x,y);当n不是平方数时,该方程有无穷多组正整数解(x,y).     

一个包含Smarandache Ceil函数的对偶函数及Euler函数的方程及其可解性

对于给定的自然数n,k,且k≥2,Smarandache Ceil函数的对偶函数珔Sk(n)定义为珔Sk(n)=max{x:x∈N:xk|n}。文中基于∑ d|n Sk(d)=φ(n)的可乘性并运用初等方法分类讨论研究了方程∑d|n Sk(d)=φ(n)的可解性,证明了该方程有仅有限个正整数解,并给出了该方程的所有正整数解。     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=4P~n的解数

设D是正奇数,p是适合pD的奇素数。运用有关Lucas数本原素因数存在性的结果证明:当D≠3时,方程x~2+D~m=4p~n至多有1组正整数解(x,m,n)适合m1。     

关于Diophantine方程 x3-33m=2Dy2

设D是无平方因子正奇数.证明了:当D不能被6k 1之形素数整除时,如果方程x3?33m=2Dy2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,m),则D≡1(mod4),D的素因数p都满足p≡11(mod12),而且D的素因数个数必为偶数.