关于完全3部图的色唯一性

文章设P(G,λ)是图G的色多项式,若对于任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(G≌H),则称图G是色唯一图;通过比较3部图的4色类的划分数证明,如果4≤v+2≤k≤2v,n>(k-1)2/4,则完全3部图K(n,n+v,n+k)是色唯一图。     

一类完全三部图的色等价图

我们已经得到了一些和完全三部图Km,n,r具有相同色多项式的图的必要条件.利用这些性质,得到了图Km,n,n(where 1≤m≤n)的色等价类.特别地,本文也证明了Km,n,n(2≤m≤n)能够由它们的色多项式唯一确定.     

完全三部图K(2,4,6)的色唯一性

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式．若对任意图H使P（H,λ）＝P（G,λ）,都有H与G同构,则称G是色唯一图．作者证明了：完全三部囹K（2,4,6）是色唯一图．从而解决了文[1]中的一个遗留问题．     

9阶轮图的一个派生图的色多项式唯一性的证明

当n是奇数时，Wn^*表示n阶轮相间地去掉(n—1)／2条幅所得到的图，利用图的色多项式等价性的关系，证明了W9^*是色唯一的．     

一类完全三部图的色唯一性

设n,k,Δ∈N,其中k≥0,Δ∈{2,3},若n≥13k2 13Δ2-13kΔ-13k-13Δ 43,则完全三部图K(n,n Δ,n k)是色唯一的.     

一类完全三部图K(m,n,r)的色唯一性的判定

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式,若对任意简单图H使P(H,λ)=P(G,λ),都有H与G同构,则称G是色唯一图。令K(m,n,r)表示完全三部图,证明了(1)设m≤n≤r,0≤r-m≤4,若m≥2,则除去K(2,2,6)、K(2,3,6)、K(3,3,7)、K(3,4,7)外,K(m,n,r)是色唯一图。(2)若n≥4,0≤k≤2,则K(n-k,n,n k)是色唯一图。     

一类图的色唯一性

让W_(n,n-2)表示删去轮形图W_n中一条轮辐所得到的图.W(n,n-2,k)表示在W_(n,n-2)中由k个点u_1,u_2,…,u_t组成的独立集取代W_(n,n-2)中的2度点u,使得u_j(j=1,2,…,k)仅与u所相邻的两个点x,y相邻接而得到的。本文证明了当k=2,n≥4为偶数时,这类图是色唯一的。     

完全三部图K（n,n,n＋k）的色性

设Ｇ为简单图,Ｐ（Ｇ,λ）为Ｇ的色多项式。若对任意简单图Ｈ满足Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）,都有Ｈ与Ｇ同构,则称Ｇ是色唯一图,设Ｋ（ｍ,ｎ,ｒ）表示完全三部图。证明了（１）对任意非负整数ｋ,若ｎ≥ｋ＋ｋ＾２／３,则Ｋ（ｎ,ｎ,ｎ＋ｋ）是色唯;（２）若ｎ≥４,则Ｋ（ｎ,ｎ,ｎ＋４）是色唯一图。     

完全三部图K（m,n,r）的色唯一性的进一步结果

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式,若对任意简单图H使P（H,λ）,都有H与G 同构,则称G是色唯一图,令K（m,n,r)表示完全三部图。     

9阶轮图的一个派生图的色多项式唯一性的证明

当n是奇数时,W*n表示n阶轮相间地去掉(n-1)/2条幅所得到的图,利用图的色多项式等价性的关系,证明了W*9是色唯一的.     

关于三部图K(m,n,r)-A(|A|=2)色唯一性的几个结果

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式．令K（m,n,r）表示完全三部图。G=K（m,n,r）-A（｜A｜=2）,3≤m≤n≤r.证明了若图Y使得P（Y,λ）,则Y=K（m＋α,n＋β,r-（α＋β））-S,其中α,β是整数,且｜S｜=e=（r-m）α＋（r-n）β-2（α^2＋αβ＋β^2）≥0.且e=2时,G和Y同构,同时给出了α,β的范围。     

三部图K(m,n,r)-A(|A|=2)的色唯一性

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式,令K(m,n,r)表示完全三部图.证明了1)当3≤m≤n≤r时,令s=1/√6√(n-m)2 (r-n)2 (r-m)2 12,若m n r＞2√3s 3s2,则K(m,n,r)-A(|A|=2)是色唯一图;2)当m≥4时,K(m,m,m)-A,K(m,m,m 1)-A,K(m,m 1,m 1)-A,(|A|=2)都是色唯一图;3)设n,k为非负整数,则当n＞k2 2√k2 6 k 2时,K(n-k,n,n)-A;当n＞k2 2√k2 6-k/3 2时,K(n,n,n k)-A;当n＞2√3k2 6 k2 2时,K(n-k,n,n k)-A(|A|=2)均为色唯一图.     

两类图并补图的色唯一性

刘儒英介绍了图的特征标R(G),并分别给出当R(G)=0和R(G)=1时图类所具有的性质并对图类进行描述,本文推广此结果,讨论了R(G)=-1和R(G)=-2时的情形,并证明了两类具备一定性质的图并的补图的色唯一性.     

论三角图的色多项式

本文引进了三角图的色分解的概念,给出了三角图的色分解系数与三角图色多项式根的重数之间的关系.     

完全四部图的色性

设G是一个图，P(G，λ)是G的色多项式．若P(G，λ)=P(H，λ)，则称G和H是色等价的，简单地用G～H表示．令[G]={H\H～G)．若[G]={G)，称G是色唯一的．用G=K(n1，n2，n3，n4)表示完全四部图且2≤n1≤n2≤n3≤n4，得到了[G]С{K(x，y，z，w)-S｜z y w =n1 n2 n3 n4,1≤z≤y≤z≤w≤n4-1，或1≤x≤y≤z≤n3-1和w=n4U{G}，其中S是K(x，y，z，w)的某s条边组成的集合且K(x，y，z，w)-s表示从K(x，y，z，w)中删去S中所有边得到的图．从而证明了当n≥k 2，t≥2时，K(n-k，n，n，n)是色唯一的．     

一类色等价图的图特征

给出了一个有割点的连通图Ｇ是色唯一的充分必要条件为Ｇ由一个色唯一,顶点可迁图连一尾构成,进而证明了若Ｍ为色唯一,不含分离边的连通图,且Ｐ（Ｇ,λ）＝（λ－１）＾ｋｐ（Ｍ）则Ｇ含一子图同构于Ｍ及Ｋ个桥。     

一类图的色唯一性

设Ｐ＿ｍ表示有ｍ个顶点的路。把Ｋ＿３的一个顶点与Ｐ＿（ｎ－２）的一个一度顶点重迭后所得到的图记为Ｄ＿ｎ。本文引入了不可约图的概念，并证明了：如果对任意的ｉ∈｛１，２，…ｒ｝，都有ｎ＿ｉ≥５，并且Ｄ＿ｎ＿ｉ是不可约图，则Ｄ＿ｎ＿１∪Ｄ＿ｎ＿２∪…∪Ｄ＿ｎ＿ｒ的补图是色唯一图。     

一类K4同胚图的色唯一性

本文主要讨论了当J{i,j,k,l,m,n}l的个数小于等于4时,k4(i,j,k,l,m,n)的色性.     

路圈并补图色唯一的新结果

文献［１,２］讨论了路圈及其并的补图的色性,本文用新方法证明了图ＰｋＵ（ＵＣ(ｕｉ)）的补图在ｋ＝３．５或ｋ≠４为偶数的条件下色唯一,改进了［１,２］的结果。