求解全微分方程的另一种方法

在高等数学教材中，求全微分式A1（x，y，z）dx＋A2（x，y，z）dy＋A3（x，y，z）dz的原函数时，是用空间曲线积分来求的。本文提供了另外一种方法，利用这种方法，用不定积分就可求出原函数。     

用辩证唯物主义观点认识微分

马克思在《数学手稿》中指出:微分是“扬弃了的”或“消失了的”差值,并且直截了当地写上微分“dx=0”,“dy=0”。这是对微分概念最精辟、最辩证的表述。旧教材却对微分概念作了形而上学的歪曲的描述。它把微分定义为:“设函数y=f(x)在一点x=x_0附近有意义,且存在一常数A,使对于x的改变量△x与y的相应改变量△y=f(x_0 △x)-f(x_0)之间有关系式△y=A·△x O(△x),其中A是与△x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x_0处是可微的,而△y的主要部分A·△x叫做函数在x_0点的微分,用符号dy或df(x)记之,则dy=A·△x或df(x)=A·△x”。并且还做了一个归纳:“简单说来,微分就是函数增量的线性主部,而当△x很小时,dy≈△y”。     

微分的本质

微分有两个含义：1．对于与时间有关的函数（称之为动态函数）f而言，微分df表示在无限小的时间dt内函数f的瞬时增加量，即df=f（t＋dt）？f（t）；2对于与时间无关的函数（称之为静态函数）g而言，微分dg表示g的微小部分，所有dg之和等于g。因为时间总是从过去走向未来，所以时间的微分dt总是恒大于0的正实数。df与dt之比称为函数f的瞬时增加率或导数，而非变化率。变化率包括增加率与减少率两种情况。所有的高阶微分都是无意义的，从来也没有被使用过，应予以彻底抛弃。     

一类二阶方程組稳定性的研究

§1.对于微分方程组 dx/dt=cx dy f(x),dy/dt=ax by不妨假設abd≠O,因为如果a,b或d有一个为零,則组变为可积类型。写 cx dy f(x)=[ax by a(x)]d/b这里a(x)=(bc-ad)/dx b/d f(x)     

关于量子力学的数学特征——学习马克思《数学手稿》的体会

一、引言最近围绕学习马克思《数学手稿》而展开的许多讨论文章中,往往把微分这一概念作为讨论的中心,我们感到有商榷的必要。按我们的理解,马克思对变量计算的论证有严格的程序: 预备导数—→导函数—→微分系数—→微分—→积分(1.1) 导函数现在通称为导数,微分系数也就是微商。微分是从微商导出的,它们直接构成一对矛盾。只有在dy=(dy/dx)dx的形式中,我们才能认识dy或dx。这是因为,任何一个事物,都只有在相对于其它事物的运动变化中才能被认识,离开了它的对立物,势必成为神秘而不可理解的东西。不过在上面各环节中,首先使我们感兴趣的是导数和微商这一对矛盾,马克思在手稿中反复讨论了它们之间的联系和区别问题,在求微分系数的一     

二元函数极值点判定的充分条件新证

利用多元函数的偏导数与方向导数的概念给出二元函数以f（x,y）的方向导数及其几何意义,然后进一步给出了二元函数沿任意方向L的二阶方向导数Э2f/Эl2再利用其表示的几何意义给出证明二元函数以f（x,y）的极值,最判定定理的一种新方法．     

两个自治系统存在唯一共同奇点的条件

给出了两个自治系统（dx）/（dt）=f（x）,（dy）/（dt）=g（y）存在唯一相同奇点的条件,其中x,y∈R^n,f,g是x的n维向量函数.     

复合函数求导数法则的证明的改进

设y=f(u),u=φ(x),u在x_0可微分;u_0=φ(x_0),y在u_0可微分,则复合函数y=f(φ(x))在x_0可微分,而且(1) dy/dx|_(x=x_0)=f′(u_0)·φ′(x_0)。这个复合函数求导数法则的证明,在通常的数学分析教科书上,有如下两种: 〔证法一〕给x从x_0起取增量△x(≠0),则相应地函数u从u_0起得增量△u,y从f(φ(x_0))起得增量△y。因为f′(u_0)存在,所以当△u≠0时,令α=△y/△u-f′(u_0),就有limα=0,而且 △u→0     

一类非线性系统解的有界性和有限环的存在性

首先得到了如下非线性微分系统dx/dt＝p(y),dy/dt=q(y)f(x)-g(x)所有解有界的新的充分条件和充要条件，然后运用这些结果得到了该系统包围多个奇点的极限环存在的充分条件，所得结果改进推广了文[1-3]中的相应,并且指出了文[2-5]中的疏露。     

有关一阶微分方程积分因子的计算

给出了一阶微分方程f1(x y)dx f2(x y)dy=0的积分因子的形式及一阶微分方程M（x,y)dx N(x,y)dy=0具有形如U(x,y)=F(x^ay^b)、U(x,y)=G(x^a y^b)两种形式的积分因子的充要条件。     

复变函数中的三个问题

复变函数的理论与方法在数学、物理和其它科学领域以及工程技术中有着极为广泛的应用。下面重点讨论三个问题。1解析函我解析函数是复变函数研究的对象。解析函数有多种等价的定义方法，叙述如下：若／（）在G内解析，（1）入Z）在G内的每一点都有有限导数。（2）f（z）＝u（，y）＋tv（，x）；u（，y）v（x，y）在G内的每一点都可全微分且在G内到处都有共一共，XOxOyOx一一共。（3）f卜）在G内连续且对G内的Oy任一条逐段光滑闭路P有Ifz）dz＝0。r（4）人Z）在G内每一点的某邻域内都可展成幂级数。根据解析函数的定义，得出基本初等…     

Fubini定理的推广

在计算付伦涅尔积分的过程中,我发觉一些分析教科书上现成的积分次序交换定理都不能引用,因此我建立一个新的积分次序交换定理。 在分析教科书上找到的定理是: 定理A 设二元函数f(x,y)满足条件:(1)在区域上连续; (2)integral from a to ∞(f(x,y)dx)关于y∈[α,β]一致收敛,integral from a to ∞(f(x,y)dy)关于x∈[a,b]一致收敛,β,b是任意给定的数:β>α,b>a;(3)integral from a to ∞(dx) integral from α to ∞(|f(x,y)|dy),integral from α to ∞(dy) integral from a to ∞(|f(x,y)dx)至少有一个存在(有限)。那末     

不定积分法在多连通区域上的推广

常微分方程中当我们运用不定积分法求解微分方程时,要求一阶微分方程P(x,y)dx Q(x,y)dy=0在R:a相似文献   

导数与微分概念的推广

本文将数学分析中单值函数f:R→的导数与微分的概念推广到向量值函数f:R^n→R^m和集值函数f:R^n→2^R^m上。     

换元法求定积分的思维方法及常见错误剖析

针对换元法求不定积分和求定积分时经常会出现的错误,提出在求解时要注意换元的条件,要满足在积分区间上单调且具有连续导数.在作变量替换的同时,相应替换积分的上下限.被积函数f(x)、积分上下限[a,b]、积分变元的微分dx三者要同时替换.换元后不必换成原定积分的变量,直接用牛顿—莱布尼兹公式计算.     

一类食饵与捕食者系统的极限环

研究了一类食饵与捕食者系统：dx／dt＝x(a bx cx^2 dy exy)，dy／dt＝y(x^2-1)。在某些条件下，证明了该系统的极限环的存在性和唯一性以及不存在性。     

椭球膨胀法高斯平面坐标的变化规律

从高斯坐标正算公式入手,分别求得高斯坐标（x,y）关于大地坐标（B,l）的偏导数,结合大地坐标微分公式及大地坐标的变化量,导出椭球膨胀模型中,长半径增大前后高斯坐标位移量的解析公式。在此基础上,分析高斯坐标位移量（dx,dy）与各种参数（B,l,H,Δa）的关系。     

关于不定积分∫f（x,√x^2-a^2）dx的一点诠释

不定积分∫f（x,√x^2-a^2）dx的不同表达形式来自于不同的积分变换。按习惯，我们严格地给出了此类积分所需变换的逆，得到有利于整理积分表达式的三个等式，同时，用两个实例给出了所论积分的合理表示式。     

对微分本质的一点认识

围绕着马克思《数学手稿》的学习,引起了一场关于微分本质的热烈的讨论。 自从牛顿、莱布尼茨总结了丰富的生产斗争和科学实验的成果,完成了微积分的运算法则之后,微分dx和dy的本质就成了一个长期争论的问题,有限常数论,无穷小量说等等各种看法,都试图说明微分的本质。一般认为,直到十九世纪,由哥西和魏尔斯特拉斯在微分学中引入了严格的证明以后,这场争论才基本上停止下来。 长期以来,沿袭哥西的定义,微分是作为函数增量的线性主要部分。写成数学式子,即在△y=f'(x)△x 0(△x)中,定义dy=f'(x)△x,再由函数y=x推得△x=dx,代回原式得dy=f'(x)…     

超二次函数的两个加权积分

利用超二次函数的性质和Jensen型不等式、Hermite-Hadamard型不等式,给出加权积分∫ba(b-x)(xa)f(x)dx和∫a+b2a(x-a)2f(x)dx+∫ba+b2(b-x)2f(x)dx的上界与下界.当函数的二阶导数为超二次函数时,获得与中点求积公式和梯形求积公式有关的双边不等式.