关于维他利复盖定理

维他利(Vitali)复盖定理在实变函数的理论中具有极其重要的意义。在经典的实变函数教科书〔1〕和〔2〕中已有详细论述,但它们都限于勒贝格测度,本文对实轴上的点集把维他利复盖定理推广到连续的(?)测度。设E是实轴R,中任意点集,在R_1上定义了连续的正度量(?)〔2〕,则有如下定理。定理设E依照维他利的意义被一闭区间集M所复盖:即对于E中任意一点x及任意一个正数ε,M中有一闭区间i满足     

点集E上的函数f(x)有关的几个重要点集之间的关系

给出并证明了定义在R~1上的点集E上的实函数f(x)在E上的所有连继点、左连续点、右连续点、极限存在的点、左极限存在的点、右极限存在的点所构成的六个点集两两之间至多相差一个可数点集.并得到了几个研究函数性质的重要结果.     

有限可加集函数连续性定理的一个注记

众所周知,测度论是近代数学的一个基础理论。由于测度是非负σ—可加集函数,所以判断一个集函数是不是测度关键是要判断集函数是不是有σ—可加性。一般地直接验证一个集函数是否具有σ—可加性是比较困难的,但验证集函数有限可加及连续往往比较容易(定义见),它们之间的关系有以下两个重要定理:(证明见) 定理1:设ψ是集代数T上的σ—可加集函数,则ψ有限可加且连续。     

实数集中分形上函数的连续性

针对实数集R中一个紧的s-集E在欧氏拓扑下的完全不连通性,给出了E上实函数的在欧氏拓扑下的T-连续和Hausdorff测度下的Hs-连续的定义、性质、运算及一些相关定理,对此建立了分形上一元函数的连续性理论.     

处处有左极限的函数的间断点至多有可列多个

我们已经知道存在处处连续而处处不可导的函数,那么是否存在处处有极限而处处不连续的函数呢?本文通过对“处处有左极限的函数的间断点至多可列”这一中心定理的证明,对此作出了否定的回答。 为讨论的方便,先引入左凝点的概念。 定义1、设X是实数域R上的不可列子集,若x∈R,对δ>0,(x-δ,x)∩X都是不可列集,则称x是X的一个左疑点。     

半紧1-集压缩集值映射的不动点定理

设E是实Banach空间,F是E中的锥,Ω是E中0点的邻域。1975年,Fitzpatrick 和Petryshyn 证明了如果映射T:ΩF=Ω(?)→2~F 是上半连续凝聚映射,且满足如下Leray-Shauder 边界条件:λx∈Tx, ■那么T 有不动点(这里只要求E 是Fréche■的)。1984年,张庆雍对半紧1-集压缩单值映射得到了类似的定理。本文的目的是在此基础上研究半紧1-集压缩集值映射的不动点定理。为此,在第2节里,在严格凸空间E 中,证明了k-集压缩集值映射的单值化映射仍是k-集压缩的。由此,在第3节里,把上述结果、[3-4]中其他一些不动点定理和Altman 在1957年的一个不动点定理推广到半紧1-集压缩集值映射。另外,还把郭大钧的锥拉伸和压缩不动点定理推广到集值全连续映射。     

二级绝对连续函数和二级斯堤吉积分

§1.引言。闵嗣鹤教授曾经定义了二级斯堤吉积分,同时将它应用于广义调和分析论。接着董怀允教授将他的定义略加修改,给出二级有界变差函数的定义,证明了二级斯堤吉积分的一个存在定理,并推出它的一些基本性质。之后,郭大钧对二级斯堤吉积分和二级有界变差函数的其他性质作了讨论。在本文中,我们得到二级斯堤吉积分的一个存在定理,减弱了董怀允存在定理的条件;引入二级绝对连续函数的定义,并证明一个充要条件。这样,就将二级斯堤吉积分的计算化为靸贝格积分的计算等。§2.设E是含于(a,b)的一个有限点集(可能是空集)或可数点集,如果(?)(x)满足条件:(i)(?)(x)是确定并连续于[a,b]-E.(ii)对于E的任一点x_o,均存在有穷的极限(?)(x_o-0)=(?)(?)(x),     

点过程的一个构造定理

本文和[1]都是为研究局部紧距离空间上的点过程作准备,最终目的是建立已给点过程的条件点过程,它较之著名的Pahm测度有较完善的性质。本文的目的是证明一个点过程的构造定理,和[2]定理2.3相比,我们的连续条件只须在一个可列集系上成立,不过连续条件是很强的,但在应用时常可选到这样一个可列集系,这是我们§2的工作。[2]定理2.5是没有连续条件的,但是错误的,我们在§3中举例说明。作为准备,在§1中我们证明一个相应的测度构造定理。     

鲁金定理的证明及推广

引理1设F1，F2，…，Fn。是n个互不相交的闭集，在上定义函数f（x），其中Ck为常数，则f（x）在F上连续。证若F’=φ，则F的每个点都是孤立点，由连续定义知，f（x）在F上连续。现设任取，任取点列，使且。由F是剧集知，不妨认为，则且于是，中至多只有有限多个点属于并集。设其最大下标为，则当i＞N时，一切，从向有，于是有从而了（X）在x0处连续。由x0的任意性知，f（X）在F上连续。证毕。鲁全定理设f（X）是集E上的几乎处处有限的可测函数，且mE＜＋，则对于任给的e＞0，必有闻集，使得＜e，且f（X）在F上连续。证不妨设f（X）…     

从R积分到LL积分

1 有界可测集E上有界可测函数的积分 设f(x)为定义于有界可测集E上的有界可测函数,根据Lusin定理,任给δ>0,存在完备集FδE,使得     

抽象弱d——凸函数为弱凸函数的充要条件

本文对从(a,b)到Banach空间E上的抽象函数进行了讨论,得到如下主要定理.定理设x(1)是(a,b)到Banach空间E上的抽象弱d—凸函数,则下列条件等价.(1)x(l)在(a,b)内某点弱连续.(2)x(l)是局部弱可测的.(3)x(l)是局部弱有界的.(4)x(l)是(a,b)上的弱凸函数.     

不动点定理和公共不动点定理

本文主要结果:定理1是[1]文中定理4的推广,定理2是[2]文中定理7的推广。定理3——定理5是直线上的紧致集的连续可换单调上升函数族存在公共不动点的定理。最后提出一个有待进一步研究的问题。     

关于直线上实值函数的间断点

本文利用凝聚点的概念,从势的角度讨论了直线上实值函数的各类间断点的集合。同时给出了一个函数几乎处处连续的必要充分条件,从而得到了Lebesgue定理的一个改进。     

收敛函数列的一个性质

给出函数间断度定义、本性间断点定义及几乎处处连续的本性函数定义,由勒贝格可测函数的本性定理将收敛的几乎处处连续的本性函数列的上、下确界函数本性化,证明收敛的几乎处处连续的本性函数列的无界点集的闭包S∞为零集.     

概率度量空间中映象的迭代逼近

本文的第一个目的是推广 Sehgal,Bharuch-Reid 的压缩映象定理;第二个目的是讨论不动点的逼近问题,所得结果改进和统一了游兆永教授的相应定理。为了方便起见,我们先简述有关符号和术语。本文用 R 表实数集,R~+表非负实数集,D 表一切分布函数(即定义在 R 上不减的,左连续的,下确界为0,上确界为1的实值函数)的集合,而用 H 表示特征函数,即     

哥西定理之推廣

本文主要系构造一辅助函数,从而将哥西中值定理推广到n个函数。茲先讨论三个函数的情形。定理1 设函数f(x),φ(x),ψ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间[a,b]上可微,则一定有这样—点c(a相似文献   

n-维可测函数的本性定理

将一维勒贝格可测集的全密点定义推广到n-维可测集,将一维空间的函数间断度概念、相对间断度概念推广到n-维空间;根据全密点定义,利用n-维维他利覆盖定理与鲁金定理直接证明`n-维勒贝格可测集几乎所有的点都是全密点;由函数间断度与相对间断度概念得到n-维勒贝格可测函数与一个几乎处处连续的函数几乎处处相等的结论.     

关于Taylor级数的收歛问题

近几年来拓扑分析取得了长脚的进展。这中间,Porcelli,P.和Connell,E.H.([1],[2])证明的下列定理是一个高峯。定理。假定R是单位圆,函数f:→E_2在上连续R上可微分     

Banach空间中Fuzzy隶属函数的逼近过程

1975—1980年,Kaufmann 及 Dubois 等定义并讨论了某些特殊情况下的 Fuzzy 集的逼近问题。覃国光于文,对用连续的 Fuzzy 隶属函数逼近 FL_p(X)空间的 Fuzzy 集问题作了研究。本文利用泛函分析工具对 Fuzzy 集的逼近作进一步深入的研究,主要结果如下:(1)定理1给出了对连续隶属函数的 Fuzzy 集,用多项式隶属函数在 C°空间中逼近时的估计式及其逼近定理;     

近似极限

由近似极限可以引入近似连续,近似导数。本文主要是讨论近似连续函数与可测函数的关系以及R中可测函数的近似连续点与其Lebesgue点的关系。为了讨论方便,事先还是给出定义。 定义1:设A是R~n中的一个可测集,x∈A若