极限Lim↓n→∞[1＋1/n]^n=e的简洁证明及e的估计式

利用Cauchy不等式（n↑Л↓i=1ai）1/n≤1/ni-1↑∑ai（ai〉0，≤i≤n），巧妙地给出了极限lim↓n→∞[1＋1/n]^n=e存在的一种简洁的证明．同时给出计算e的近似值及其误差估计的一个简单方法。     

Rate of Convergence of Normal Approximation for Local Median Estimate

ConsiderthenonparametricmedianregressionmodelYni=g(xni) ni,1≤i≤n(1)whereg:[0,1]→Risanunknownfunctionofinterest,xni,1≤i≤n,arefixed-designpointsintheinterval[0,1],{ni,1≤i≤n}isatriangulararrayofrowiidrandomvariableshavingmedianzero,andYni,1≤i≤n,     

Diophantus方程sun from i=0 to n(x i)~2=y~2的正整数解(Ⅰ)

探讨Diophantus方程Σni=0 (x i) 2 =y2 在n≤ 5 0下的正整数解问题 ,得到了以下结果 :Diophantus方程 Σni=0 (x i) 2 =y2 在n≤ 5 0下有正整数解的充要条件为n∈ {1 ,1 0 ,2 2 ,2 3 ,2 5 ,3 2 ,46,48,49}.     

关于重要极限lim n→∞(1+1/n)n=e的若干问题

分析了重要极限lim n→∞(1 1/n)n=e的特征,归纳了此类极限的一般性解法.针对学生对此极限所提出的几个疑难问题,给出通俗易懂的解答.     

B值随机变量一类加权和的完全收敛性

设{Xni:1≤i≤n,n≥1}为行间独立的B值r.v.阵列,X为实值r.v.,E｜X｜p<∞,p>2,且对 x>0, 1≤i≤n,n≥1,都有P(‖Xni‖>x)≤P(｜X｜>x).{ani:1≤i≤n,n≥1}为满足条件∑ni=1a2ni=1,n≥1的实数阵列.则1n1 p∑ni=1aniXnip0蕴涵1n1 p∑ni=1aniXni完全收敛于0.     

关于Km，n并图的优美性

对于自然数k，m，n，本文给出一类非连通图↑k∪↓i=1Kmi.ni；通过构造标号函数的方法，证明了当max{mi，ni}≥3，min{mi，ni}≥2(i=1，2，…，k)时这类图既是优美图，也是交错图；从而给出构造一类任意个图的并图是优美图的一种方法，拓宽了优美图及其应用的道路。     

Janous型的一类循环不等式

本文的目的是建立一类Janous型的循环不等式 .主要结果是 :①设x∈Rn++(n 3 ) ,S = ni=1xi, ni=1xixi+1…xi+k -1=nPk,(1 k n - 1) ,并且xi+n=xi(i=1,2 ,… ,n) ,则对于α k有 ni=1xαi/ (S -xi) [n/ (n - 1) ]Pα -1;②设m >1是任意的正整数 ,λk 0 (k =1,… ,m) , mk =1λk=1,则对于任意的正实数α ,β有 ni=1(xαi+1- mk =1λkxαi+k) / (S -xi+1)β 0 .     

NA样本回归函数估计的强相合性

在非参数回归模型Yi=g(xi)+εi,1≤i≤n中,研究了当{εi,1≤i≤n}为一致可积的平稳NA相依序列时,未知函数g(x)的权函数估计gn(x)=∑ni=1wni(x)Yi的强相合性。     

柯西不等式的概率论证法

构造一个恰当的概率模型 ,再利用概率论中柯西——许瓦兹 (Gauchy---Sehwarz)不等式可十分简洁地推得中等数学中的柯西不等式。下面便是我们所要的这个概率模型。设二维离散型随机向量 (ξ,η)只取 n组实数值 (ai,bi) ,(i=1,2 ,…… n)且取每组值所对应的概率都相等即都等于 1/n,于是 (ξ,η)的联合分布律和边际分布律如下表ξη b1 b2 …… bj…… bna1 1/n 0 0 1/na2 0 1/n 0 1/n··ai···an 0 0 1/n 1/n1/n 1/n 1/n　　由 Cauchy-Sehwarz不等式 [E(ξ.η) ] 2≤Eξ2 .Eη2得 :　　　　 (Σni=1 Σnj=1 aibj.1/n) 2≤ (Σni=1 a2i1/…     

Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2的正整数解(Ⅰ)

探讨Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2在n≤50下的正整数解问题,得到了以下结果:Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2在n≤50下有正整数解的充要条件为n∈{1,10,22,23,25,32,46,48,49}.     

A-G-H不等式的优化推广及其应用

借助于被称为降维法的新方法,建立了如下不等式:设ai>0,i=1,…,n,n≥2,A(a)1/n,H(a)=1-1-1ai,G(a)=∏n,则当且仅当实数λ≤1ai=1n∑nn时有不等式:n∑ni=1i=1i=1[H(a)]1-λ·[A(a)]λ≤G(a).作为应用,获得了一个几何不等式及一个有趣的矩阵不等式,并且推广了Carleman不等式.     

猜想σ(ф(n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1＞a2＞…＞ak＞1,且ai 1(i=1,2,…,k)是素数时,σ∏ki=1ai≥∏ki=1(ai 1)成立,进而证明了当n素因子个数不超过7时,猜想σ((n))/n≥1/2成立.     

一类具有转向点超曲面的奇摄动椭圆型方程边值问题

讨论了n维空间中如下一类具有转向点超曲面的奇摄动椭圆型方程的边值问题Lεu≡εLu ∑^ni=1fi(x1,……,xn)Эu/Эxi g(x1,……,xn)u=0,(x1,……,xn)∈Ω,u（x1,……,xn)│ЭΩ1=φ1(x1,……,xn-1),ai≤xi≤bi,u(x1,……,xn)│ЭΩ2=φ2(x1,……,xn-1),ai≤xi≤bi。其中：ε为一正参数,且L=∑ni,j=1aij(x1,……,xn)Э^2/ЭxiЭxj(aij=aji),∑ni,j=1aijξiξj≥λ∑ni=1ξ^2i,任意ξi∈R,i=1,2,……,n,λ＞0。利用多重尺度法和比较定理、就形坐标和抛物柱函数,研究了该边值问题解的渐近性态。     

关于中心极限定理的余项与重对数律之间的关系的一个结果及其应用

设 {Xi,i≥ 1}为一独立随机变量序列 ,E(Xi) =0 ,D(Xi) =σ2 i <∞ ,Sn = ni=1Xi,Bn = ni=1σ2 i,Bn →∞ ,Bn/Bn+ 1→ 1.本文首先在Δn =supx｜P(Sn ≤x Bn) -Φ(x)｜=O((Ψ (x) ) - 1)的条件下证明了重对数律 .其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数 ,Ψ (x)是对充分大的x有定义的正值非降函数 .满足∫+∞dxxΨ(x) <∞ .应用上述结果证明 ,对任意独立序列 {Xi,i≥ 1}若liminfBnn >0 ,limsup1n ni=1E(X2 iΨ1(｜Xi｜) <∞ ,则重对数律仍然成立 ,Ψ1(x)与上述Ψ(x)相似 ,但定义域为 [0 ,+∞ ) .     

φ混合序列自正则加权和的中心极限定理

设{Xn, n≥1}为一严平稳φ混合随机变量序列, EX=0, V 2n=∑ni=1X2i, {an,i, 1≤i≤n, n≥1}为一实数阵列, Sn=∑ni=1an,iXi. 利用随机变量阵列的弱收敛定理, 在较一般的条件下, 证明了自正则加权和{Sn/Vn, n≥1}的中心极限定理, 改进并推广了已有混合序列自正则化中心极限定理的相关结果.     

半导体器件模型热平衡解的存在性

研究半导体器件中一维双极量子流体动力学模型的热平衡状态(nαe)x-δ2ne(((ne)~1/2)xx)/(ne)~1/2)x=neVx,(nβi)-δ2ni(((ni)~1/2)xx)/(ni)~1/2)x=-ni Vx,Vxx=ne-ni-C(x)in(0,1)。利用指数变换法把该模型转化为一个耦合的四阶椭圆方程组,然后利用Leray-Schauder不动点定理证明了转化后的方程组弱解的存在性。     

一类最优指派问题的动态规划算法

考虑一类较一般的最优指派问题 :欲把m项工作指派n个人去完成 (m≥n) ,要求每项工作只能由一个人来做 ,第i个人可以同时做bi 项工作 ,其中bi 是待求未知数 ,满足di ≤bi≤ei(ei,di 为第i个人所需工作数的上下限 )及∑ni=1bi =m为已知常数 (i=1,2 ,… ,n) ,第i个人做第j项工作所用的时间为cij≥ 0 (i =1,2 ,… ,n ;j=1,2 ,… ,m) .本文给出了求解上述最优指派问题 (使总耗用时间最小 )的动态规划算法 .     

S_n的元素阶的集合的两种刻画

Sn是n次对称群,On是Sn的元素的阶的集合,完整地给出了On的两种刻画On={[n1,n2,…,ns]｜n1,n2,…,ns为正整数且sum ni≤n from i=1 to s},On={Π i=1 w piαi｜p1,p2,…,pw为互异素且Σi=1 w piαi≤n}.     

猜想σ((n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1 >a2 > >ak>1,且ai+1 (i=1,2, ,k)是素数时,σ ∏ki=1ai ≥∏ki =1(ai+1 )成立,进而证明了当n素因子个数不超过 7时,猜想σ( (n))/n≥1/2成立     

PA序列下半参数回归函数估计的强相合性

对于半参数回归模型Yni=β.tni＋g（xni）＋εni,（1≤i≤n）,在误差{εni,1≤i≤n}为平稳PA相依序列条件下,得到未知函数g（x）的权函数估计和未知参数β估计的强相合性.