《常微分方程》教材研究与教学探讨(二)

对王高雄等四人编写的<常微分方程>第二章一阶微分方程的初等解法,从教材研究的角度,着重分析方程求解思路与方法,对例子的求解示范功能作用亦作出了深刻的剖析或点评.     

一种新的常微分方程初值问题数值解法

有别于传统的常微分方程数值解法,从一个新的角度出发提供一套新的求解常微分方程初值问题的数值计算方法;通过对一阶常微分方程（组）、二阶常微分方程和Vander Pol方程的求解验证了方法的正确性,数值解与解析解相对误差小于0.5%.     

一种新的常微分方程初值问题数值解法

有别于传统的常微分方程数值解法,从一个新的角度出发提供一套新的求解常微分方程初值问题的数值计算方法;通过对一阶常微分方程（组）、二阶常微分方程和Vander Pol方程的求解验证了方法的正确性,数值解与解析解相对误差小于0.5%.     

平面杆系结构稳定问题的常微分方程解法

介绍了一种平面杆系结构稳定问题的常微分方程求解器（ODE）解法.将计算无限自由度平面杆系结构稳定问题转换为典型的常微分方程边值问题,通过构造一系列平凡常微分方程,建立相应的常微分方程组,利用常微分方程求解器予以求解.利用常微分方程求解器法对不同边界条件和变截面压杆的临界弯曲荷载问题进行了求解,计算结果表明,该方法的求解精度和效率较高.     

二元一阶常系数线性微分方程组初等解法的讨论

利用代数方程的初等解法,将二元一阶常系数线性微分方程组化为一阶线性微分方程求解,并且讨论二元一阶常系数线性微分方程组的特殊形式解.     

一阶常微分方程若干求解技巧

一般的一阶常微分方程没有通用的初等解法,变量分离方程和全微分方程是一阶常微分方程中最基本的类型,文章以题为例介绍这两类方程求解过程中变换的技巧和规律.     

由函数方程定义的基本初等函数

用求解常微分方程及其初值问题的方法得到由函数方程表示的基本初等函数。     

关于一个微分方程的解的定性研究

一、问题的提出早在150年以前人们就发现,一个常微分方程,即使是最简单的导数已解出的一阶方程,也可能没有初等解(可以表示为初等函数或初等函数的有限次积分的解),这一发现是微分方程定性理论产生的直接根源.因此,寻找一些形式很简单但却没有初等解的方程,并对它的解作定性的研究,对于常微分方程的教学来说,是十分必要的.1987年,法国的 A.Tissier 在《美国数学月刊》(The American MathmaticaI Monthly)     

算子矩阵理论与常系数线性微分方程组求解（Ⅰ）

讨论了常系数性微分方程组的算子方法。阐述了算子矩阵理论的有关概念和结果。给出求解常系数性微分方程组的初等行变换法，对非齐次线性方程（组）的常数变易法作了评注。     

线性微分方程学法浅议

线性微分方程在常微分方程中占有重要地位,准确地理解和掌握线性方程的理论及求解方法,对常微分方程的学习效果有很大影响。本文从方法论的角度对线性方程的理论及常系数线性方程(组)的求解策略作一些简单的探讨。     

一阶微分方程的一题多解

常微分方程是数学专业的后续基础课程,以及随着大学生数学建模竞赛的普及,掌握常微分方程的基本理论方法显得尤为重要。该文针对一阶微分方程的求解问题进行了探讨,并从不同的思维方法和角度进行分析求解,让学生体会一题多解的技巧,提高学习兴趣,从而提高教学效果。     

线性微分方程与特殊函数

本文讨论了一类变系数二阶线性(及拟线性)和三阶齐线性常微分方程的求解。着重给出这些方程的初等解。     

常微分方程的化归思想

通过分析一阶微分方程初等解法、皮卡逐步逼近法、高阶微分方程解法、线性微分方程组解法,揭示了常微分方程求解过程中的化归思想,指出正确把握化归思想对培养数学思维能力、应用能力具有重要意义。     

一阶微分方程的初等解法

这里总结了一阶微分方程的一些初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题。     

一类常微分方程的初等解析解

从几何实例引入了一类新的常微分方程 ,运用初等代数的方法证明了这类微分方程是具有初等解析解的 ,并引入了特征方程的概念 ,给出了通解的代数表达式 ,从而扩大了常微分方程封闭可解的范围     

常微分方程的化归思想

通过分析一阶微分方程初等解法、皮卡逐步逼近法、高阶微分方程解法、线性微分方程组解法,揭示了常微分方程求解过程中的化归思想,指出正确把握化归思想对培养数学思维能力、应用能力具有重要意义.     

二阶变系数齐线性常微分方程的求解

给出了二阶变系数齐线性常微分方程一种新的求解方法.将二阶变系数齐线性常微分方程问题转化为Riccati方程来求解,讨论了二阶变系数齐线性常微分方程的通解和初值问题,得到初值问题近似解的理论基础、计算方法和误差估计.     

一类常微分方程的初等解析解

从几何实例引入了一类新的常微分方程，运用初等代数的方法证明了这类微分方程是具有初等解析解的，并引入了特征方程的概念，给出了通解的代数表达式，从而扩大了常微分方程封闭可解的范围。     

利用最优参数选择方法数值求解微分方程的周期解

本文讨论常微分方程周期问题的一种数值求解方法.首先将常微分方程周期问题转化为等价的最优参数选择问题,通过研究最优参数选择问题的数值求解方法,得到常微分方程周期问题数值求解的一种新方法.最后,应用最优控制的软件Miser计算三个算例,验证了此数值方法的有效性.     

一类特殊类型的Riccati方程的求解

Riccati方程在常微分方程中占有重要的位置。然而,对于一般形式的里卡蒂方程通解的求解一般没有初等解法,其解无法用初等函数或其积分表示。本文讨论了一类特殊类型的里卡蒂方程解的求解方法,并得出了其通解的公式,最后举例说明求这类方程的通解。