四元数方程AXB+CYD=E通解中复矩阵分量极秩

借助四元数矩阵的复表示方式Φ(·),将四元数体上的线性矩阵方程AXB+CYD=E转换为复数域上的等价复矩阵方程Φ(A)XΦ(B)+Φ(C)Y~Φ(D)=Φ(E).同时,利用该复矩阵方程的通解和分块矩阵的极秩性质,求出原四元数矩阵方程通解中复矩阵分量集{X_0}、{X_1}、{Y_0}和{Y_1}的最大秩、最小秩公式.作为这些极秩公式的应用,推导出了该四元数矩阵方程通解中包含复矩阵解或全为复矩阵解的充要条件.     

一类四元数矩阵方程组通解复分量的极秩

【目的】在四元数体上研究矩阵方程组［AX XD］=［B E］的通解复分量极秩问题。【方法】利用四元数矩阵的复表示将原方程组转化为等价的复方程组,再通过复矩阵奇异值分解获得等价方程的通解表达式。【结果】根据分块矩阵秩的关系得到原方程组通解的复分量极秩计算公式,并在方程组无解时得到最小二乘复矩阵解的极秩公式。【结论】结果拓展了四元数体上方程组解的极秩理论并获得复分量表示通解的极秩计算方法。     

四元数矩阵方程AXA~H+B~HYB=C的埃米特解分量极秩

借助四元数矩阵的复表示方式Φ(·),将四元数体上的线性矩阵方程AXAH+BHYB=C转换为复数域上的等价复矩阵方程Φ(A)X～(Φ(A))H+(Φ(B))HY～Φ(B)=Φ(C).同时,利用复矩阵方程的埃米特解和分块矩阵的极秩性质,求出原方程埃米特通解中复矩阵分量集{X0},{X1},{Y0}和{Y1}的最大秩、最小秩公式.作为这些极秩公式的应用,最后推导出原方程埃米特通解中包含复矩阵解或全为复矩阵解的充要条件.     

四元数方程AXA~H=B厄米特解中的复矩阵极秩

通过四元数矩阵的复表示X=X0+X1j和矩阵秩的许多性质,确定出四元数矩阵方程AXAH=B厄米特解集{X}的复表示矩阵集{X0}和{X1}的最大秩、最小秩公式.作为这些极秩公式的应用,探讨了四元数厄米特矩阵广义逆的一些性质,得出任意一个四元数厄米特矩阵M的广义逆中存在纯复矩阵、广义逆全部为纯复矩阵、广义逆中存在纯非复矩阵、广义逆全部为纯非复矩阵这4种情形的充要条件.     

爪形矩阵约束四元数矩阵方程AXB=C的求解

以四元数的实表示为基础,结合爪形矩阵的结构特点,利用矩阵的拉直与Kronecker积,将爪形矩阵约束四元数矩阵方程AXB=C转换成无约束的实矩阵方程,得出其有自共轭解的充要条件及通解表达式.最后,在给定的解集中,求得已知四元数爪形矩阵有极小Frobenius范数的最佳逼近解.     

四元数体上的矩阵方程AXB＋CYD=E

利用矩阵的广义逆，研究了含两个未知矩阵的四元数矩阵方程ＡＸＢ＋ＣＹＢ＝Ｅ。得到该方程的相容条件及有唯一解的条件，并在其有解时给出了通解表达式。     

矩阵方程AXB=C存在自反解的条件及其通解表示

对矩阵方程AXB=C关于反射矩阵的自反(反自反)解的讨论,通常借助的是矩阵分解、广义奇异值分解或共轭梯度法。为了更加有效和简洁地研究矩阵方程AXB=C的自反(反自反)解,利用矩阵的广义逆和广义反射矩阵给出了其存在自反解的充分必要条件。在有解的情况下,得到了其通解的一般表达式,并揭示出文献[1]的结果是该结果当B=I时的特例。     

矩阵方程AXB=C的极小F范数中心对称解

利用矩阵的广义奇异值分解,给出了矩阵方程AXB=C有中心对称解的充要条件及其极小Frobenius范数中心对称解的表达式.     

矩阵方程AXB=C最小二乘D对称解的通解

利用矩阵对的标准相关分解,得到了AXB = C最小二乘D对称解的表达式,推广了已有的结果.     

四元数矩阵方程AXB+CXD=E的M自共轭解

把实数域上的M对称矩阵的概念推广到四元数体上,形成M自共轭矩阵,然后在四元数体上讨论矩阵方程AXB+CXD=E的M自共轭解及其最佳逼近问题.利用四元数矩阵的实分解和复分解,以及M自共轭矩阵的特征结构,借助Kronecker积把约束四元数矩阵方程转化为实数域上的无约束方程,克服了四元数乘法非交换运算的困难,并得到该方程具有M自共轭解的充要条件及其通解表达式.同时在解集非空的条件下,运用矩阵的分块技术及矩阵的拉直算子,获得与预先给定的四元数矩阵有极小Frobenius范数的最佳逼近解.由于M自共轭矩阵是四元数自共轭矩阵的推广,因此所得结果拓展了该方程的结构解类型.     

矩阵方程AXB＋CYD＋EZF=G的通解

利用含两个未知矩阵Ｘ、Ｙ的矩阵方程ＡＸＢ＋ＣＹＤ＝Ｇ解的相容性、唯一性以及通解,来讨论含三个未知矩阵Ｘ、Ｙ、Ｚ的方程ＡＸＢ＋ＣＹＤ＋ＥＺＦ＝Ｇ解的相容性、唯一性及通解。     

一种复型矩阵方程AXB=C解的结构

一种复型矩阵方程AXB=C有解的充分条件是A∈Fm×s,B∈F2r×n,C∈Fm×n,且r(A)=r(B) =r(c)=r且Cr×rBr×(n-r)=Cr×(n-r),矩阵方程解的结构仍为导出复型矩阵方程的通解与复型矩阵方程一个解的和。     

体上矩阵方程AXB=C的求解

给出了任意体上的矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ相容的充要条件及其通解的矩阵算法，并给出了任意体上齐次右线性方程组的基础解系的简捷求法     

解矩阵方程AXB=C的初等方法

采用初等变换的方法证明了矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ解存在的充要条件，并在解存在时给出了具体的解法     

关于矩阵方程AXB=CYD

应用矩阵的初等变换技巧，给出了任意域上矩阵方程AXB=CYD的通用表达式及解法。     

四元数矩阵的列左秩

建立了四元数矩阵列右秩与列左秩的关系不等式，解决了一类满足列左秩条件的矩阵方程的解存在性问题，给出了一类列左秩与列右秩相等的自共轭四元数矩阵，并针对此类矩阵中的任意两元A和B，构造性地得到了A与B可换的充要条件，进一步就A与B可换情形下，证明了AB的列左秩与列右秩仍相等．最后，就四元数矩阵列左秩的几个相关问题，通过举例作出了回答．     

矩阵方程AXB=C的一种新解法

给出了矩阵方程AXB=C的一种新解法及有关结论的一种新证明.     

四元数矩阵的复表示与四元数矩阵之迹

引入四元数矩阵的复表示，讨论了它的性质，并且证明了Bellman不等式在四元数体上的修正结果，事实上四元数矩阵之迹的有关结果都是这一表示及复矩阵相应结果的简单推论。     

基于四元数极表示的四元数扩散方程

目的去除彩色图像噪声。方法采用RGB灰度中心的彩色空间,使用四元数极表示的各向异性扩散方程给出彩色图像去噪的应用实例。结果使用非线性四元数扩散方程,可以有效地递减阶梯效应。结论基于四元数极表示,提出一个线性扩散方程和3个非线性扩散方程及它们的离散算法,其理论分析结果紧凑,容易应用。     

四元数矩阵方程AX=B的反问题

研究了四元数矩阵AX=B的反问题,得到了AX=B的反问题具有亚正定阵解的充要条件,以及此解存在的一般形式.