关于第二积分中值定理“中间点”的渐近性

本文给出并证明了第二积分中值定理的波勒形式和维尔斯特拉斯形式中,当区间[a,x]中的x→a时,“中间点”ξ→x,即 lim ξ—a/x—a=1;当[x,b]中的x→b时,“中间点”ξ→x,即lim b—ξ/b—x=1 1985年李文荣研究了当区间长度趋于零时柯西中值定理和推广的积分中值定理“中间点”的渐近性。在这之前,1982年的美国数学月刊上已有两篇文章,研究了当区间长度趋于零时,积分中值定理和泰勒定理“中间点”的渐近性。本文给出并证明了第二积分中值定理的波勒(O.Bonnet)形式和维尔斯特拉斯(Weierstrass)形式“中间点”的渐近性有关定理。     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

第一积分中值定理设f(x)在[a,b)上连续,g(x)在[a,b)上可积且不变号,则存在ξ∈(a,b)使得(1)文[1]讨论了(1)中的“中闻点”ξ当b→a~+时的渐近性,即下述下理1.定理1 若f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且g(x)在(a,b)上不变号,f+(a)(f+(a)表示f在a点的右导数,下同)存在且不等于零,g(a)≠0,则对于(1)中的ξ有     

再谈中值定理“中间点”的渐近估计

在较一般的条件下,本文讨论了当b→a~+时,积分中值定理∫_a~bf(x)g(x)dx=f(ξ)b∫_a~bg(x)dx的“中间点”ξ的渐近估计.     

关于Lagrange中值定理“中值点”的渐近性

本文给出并论证了 Lagrange 中值定理“中值点”在条件 f″(a)=0下的渐近性定理.由此推出(ξ—a)/(x—a)收敛于1/2的速度.     

微分中值定理证明研究

在学习了导数之后,要想运用导数这一概念去分析和解决更复杂的问题,只知道怎样计算导数还是不够的,还需要掌握微分中值定理,它是微分应用的桥梁,对微分中值定理有必要进行更深入的研究.微分中值定理包括三个定理:[1]罗尔(Rolle)定理:假设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(b)=f(a),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f’(ξ)=0.[2]拉格朗日(Lagrange)定理:假设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可     

又一类中值定理

提到中值定理,读者会想到罗尔、拉格朗日、柯西等微分中值定理及积分中值定理。文[1]中又提出了微分学中的一个结论(称为中值定理),表述如下:定理设函数 f(x),g(x)在[a,6]上连续,在(a,6)内有连续导数 f′(x),g′(x),g′(x)≠0,则存在ξ∈[a,b]使有     

关于波利亚的中值定理问题

波利亚曾提出并否定回答了与 L agrange中值定理有关的问题 :对于 y=f(x) ,x∈ (a,b) ,是否对任意的 ξ∈(a,b)都存在 x1 ,x2 ∈ (a,b) ,x1 <ξ相似文献   

在较弱条件下的积分第一中值定理

本文在被积函数f(x)可积且存在原函数的条件下,证明了积分第一中值定理,并证明了中间点ξ在开区间(a,b)内     

关于积分中值定理的一个注记

本文给出并论证了积分中值定理中的ξ,当 b→a~+时,将趋于(a,b)的中点,即·第一,二积分中值定理中的ξ分别有积分中值定理若函数 f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得     

某些含有Dini导数的微分中值定理“中间点”的渐近性

讨论了[a,x]上含有Dini导数的微分中值定理和泰勒中值定理"中间点"当x→a时的渐近性态。     

关于G.POLYA的中值定理问题

G.Polya曾提出并否定回答了与 L agrange中值定理有关的问题 :对于 y=f( x) ,x∈ ( a,b)是否对任意的 ξ∈ ( a,b)都存在 x1,x2 ∈ ( a,b) ,x1<ξ相似文献   

广义微分中值定理“中间点”ξ的单调性连续性和可导性

函数f(x)在开区间(a,b)内左、右可导的弱条件下,得到3个关于广义中值定理"中间点"ξ的单调性、连续性及可导性的定理.     

关于积分中值定理中ξ的渐近性质

利用L’Hospital法则、带Peano余项的Taylor公式研究了积分中值定理中值点ξ的渐近性质,得出如下渐近公式:limx→aξ-ax-a=n n1+1,ξ∈[x,a].     

利用Rolle定理证明时作辅助函数的若干方法

证明“彐ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0”是Rolle定理应用中重要题型,关键是寻找问题中的f(x),即作辅助函数f(x)。Lagrange中值定理也正是在找到这样的f(x)后利用Rolle定理来证明的。     

广义柯西中值定理的“中间点”当x→+∞时的渐近性态

关于在区间[a,x]上建立的中值定理“中间点”渐近性问题的研究,已往都是讨论当x→a时,“中间点”的渐近性质.对于当x→+∞时,“中间点”的渐近性态,计论的甚少,本文通过几个引理讨论了广义柯西中值定理的“中间点”当x→+∞时的渐近性态,给出了两个渐近估计式.     

积分型中值定理中间点函数的性质

利用比较函数概念研究积分型中值定理"中间点函数"的渐近性,在函数f(x)和g(x)满足Ag(a)C_n~(ψ)≠Bf(a)C_n~(φ)等一些条件下,建立了积分型中值定理"中间点函数"更广泛的渐近性态,进而获得了"中间点函数"在点a处的一阶可微性,本文结果改进和推广了有关文献中的相应结果。     

关于积分中值定理中“中间点”的进一步估计

本文讨论了当f(t)∈C~l[a,b],f~(i)(a)=O(i=1,2……,n-1),f~(n)(a)存在,f(n)(a)g(a)≠0,g(t)∈C[a,b]且在a,b上保持同一符号时,第一积分中值定理中的中间点的渐近状态。     

微分中值定理中ξ的渐近性质

利用Taylor公式和积分中值定理研究了微分中值定理中ξ的渐近性质,并给出了Lagrange中值定理和Cauchy中值定理中ξ的渐近性质.     

微分中值定理中ξ的渐近性质

利用Taylor公式，积分中值定理研究了微分中值定理，即Lagrange中值定理与Gauchy中值定理中ξ的渐近性质，得出如下结论：limb→a（ξ-a）/（ξ-b）=n-1√1/n,limb→a（ξ-a）/（ξ-b）=n-m√m/n.     

关于第二积分中值定理

在数学分析中第二积分中值定理的基本形式是: 定理1 设f(x)在〔a,b〕(a〈b)上单调下降(即使广义的也可以),并且非负,则对〔a,b〕上的任意可积函数g(x),有integral from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(a) integral from n=a to b (g(x)dx) (1)其中ξ∈〔a,b〕。其证明可参见〔1〕、〔2〕、〔3〕。定理1仅告诉我们其中的ξ∈〔a,b〕,那么能否恰当地选取ξ,使之属于开的区间(a,b)呢?我们说,不一定!且看下面的例题。考虑〔0,(3/2)π〕上函数 f(x)=1与g(x)=cosx,显然它们满足定理1的条件,于是按照定理1,(1)式应该成立。然而