用ω-Turing机计算实数函数

实数的可计算函数是一个非常重要的概念,定义可计算实数函数有两个途径,第一个途径是先定义可计算实数的指标.一个可计算实数的指标是一个计算该实数的Turing机的Godel数.一个定义在全体可计算实数上的函数y=f(x)是可计算的,当且仅当存在一个在全体可计算实数的指标上的(部分)递归函数将x的指标对应到y的指标,这样对实数函数的研究依赖于自然函数的性质.第二个定义可计算实数的途径是基于逼近.一个实数函数是可计算的,当且仅当它既是序列可计算的也是有效地一致连续的,这个条件太强使得很多非常有用的实数函数不能成为可计算函数.根据这个定义"<"和"="都是不可计算的,因为它们的特征函数是不连续的.在这篇文章里我们讨论ω-Turing机的稳定性并且定义了在一个有限字母表的全体无限序列上的ω-可计算函数,我们也证明了ω-可计算函数的复合函数也是ω-可计算的.我们的定义没有用到Godel数或者递归函数.根据我们的定义很多常用函数特别是一些有用的不连续函数是ω-可计算函数.一个函数是否ω-可计算的验证较为容易,根据我们的定义普通Turing机的停机命题是ω-可计算的.     

ω_μ—乘积空间

本文引入了ω_μ—乘积空间的概念,并详细讨论了它的性质,最后以此为工具给出了R.sikorski和王戍堂关于ω_μ—距离化定理的较简单的证明。ω_μ系指规则的初始数,如不特别说明,总假定μ>0。一个拓扑空间(x,T)叫做ω_μ—可加的,是指对T的任一个α一列有,这里α是小于ω_μ的任一序数。     

Beurling型ω-超广义函数空间的卷积运算

超广义函数作为广义函数概念的扩张在近代偏微分算子理论的研究中起着重要作用.通过分析Beurling型ω-超广义函数空间ε'(ω)(Ω)和D'(ω)(Ω)上的卷积运算,获得了卷积分运算满足的结合律和交换律等,并找到了该运算中的单位元即δ为广义函数.     

广义函数列的弱收敛问题

许多常义函数(指“实数对应实数”的普通函数)可以看作广义函数。本文讨论常义函数列的各种收敛性(如处处收敛、一致收敛等)与广义函数列的弱收敛性之间的若干关系;同时,对于物理、工程中应用较多的δ—式函数列,指出初学者容易产生的一些误解;最后,就δ—函数的定义问题提出一点看法。     

关于几乎处处一致分布

本文主要用测度论的方法讨论数论中的一致分布问题。第一部分证明了:对于定义在任意测度空间上的任意保零测函数f(ω)及任意整数列(λu)n=1,函数列(λ_uf(ω))_(u=1)~∞必然或为几乎处处一致分布(modl)或为几乎处处非一致分布(modl)。因而当f(x)=x时,文章的结论充实了H.Weyl和R.C.Baker的结果。第二部分证明了几个重要函数列的几乎处处一致分布性。如(e~(nx))_(n=1)~∞,x∈(0, ∞),(n~x)_(n=1)~∞x∈(0, ∞),(P_n~x)_(u=1)~∞X∈(0, ∞)其中P_n按大小经过所有素数,都几乎处处一致分布(modl)。     

关于椭圆函数的一点注记

椭圆函数的定义及其性质在《复变函数引论》、《复分析》等书中都有详细的论述。本文就椭圆函数定义中的两个基本周期2ω_1与2ω_2之比τ=ω_2/ω_1是虚数而不是实数加以证明,同时对椭圆函数周期点的分布情况给以简单的讨论。为了叙述方便,先给出椭圆函数的定义。     

广义函数的连续性、导数及中值定理

文[1]曾引入“广义数”及广义函数概念,后者本质不同于L.Schwartz的分布,乃指定义域及值域均取自广义数的函数.对于这种函数[1]还初步定义了(m,n)连续性及(m,n)导数概念.本文将进一步研究连续性及导数,并建立起类似于过去的微分中值定理。它和文[2]的主要区别即在于这里并不要求其无限可导性。     

广义数及其应用(Ⅱ)

作者于前文[1]中,从义[2]的。ωμ-列出发自然发展为广义数的概念。文[1]研究了以广义数代替普通实数所建立的“广义函数”关系,得到对Schwartz分布(当然包括Dirac的δ函数在内)较为深刻且自然的理解。本文则主要讨论广义数应用于量子场论的一些尝试。本文分以下几节。首先,我们于§1讨论一下[1]中(GNL)积分的推广问题,以便得到类似于δ(a-x)·δ(x-b)的乘积的积分。其次,文章§2中从真空情态出发分析一下量子场论中的“发散困难”。指出,若将量子场论中所有对易关系的一端取作为第1数区的单位     

关于Aleph_α-紧性的评注

本文给出了一个定理:设{x_k)_k<ω_α为距离空间R中ω_α_-序列,如果cf(ω_α)>0,那么{x_k)_k<ω_α收敛于点x∈R的充要条件是存在序数μ<ω_α使对一切合于μ≤k<ω_α的K总有x_k=x,从而表明《全聚点集与Aleph-α紧性》一文(见《数学研究与评论》,1(1982),45—52)中定义的序列式Aleph-α紧性的概念是不恰当的,应予删除。     

广义函数的级数展开

作者文[1]曾引入广义数与广义函数概念,后者乃指以广义数作基础的函数关系,其本质不同于L.Schwartz的分布。利用[1]中所定义的(GNL)与(G)积分可自然得到Dirac的δ函数文[2]研究了广义函数的导数并得到一些初步定理。然而迄今为止我们尚未研究不定积分。     

亚纯函数的级的估计

f(z)是一个亚纯函数,g(z)是f(z)的一个齐次微分多项式且f(z)与g(z)有相同的级。方程f(z)=0,f(z)=∞,g(z)=1的根分布在射线束;re~(iω)_1,re~(i(?))_1,…re~(iω)_(?)(r≥0,q≥1)上,并且δ(0,f)+δ(∞,f)+δ(1,g)>0。则f的级ρ必是有穷的,且 ρ≤β=sup{π/ω_2-ω_1,π/ω_3-ω_2,…,π/ω_(q+1)-ω_q} [ωq+1=2π+ω_1]     

拟常曲率空间及射影变换

拟常曲率空间M(维数大于2)是曲率张量满足下面条件的黎曼空间: K_(ωνμ)~λ=a(δ_ω~λg_(νμ)-δ_ν~λg_(ωμ))+b(δ_ω~λV_νV_μ-δ_ν~λV_ωV_μ+V_ωV~λg_(νμ)-V_νV~λg_(ωμ)),(1)其中a,b是数量函数,V_λ是M的单位生成向量场,g_(λμ)是空间M的基本度量张量。本文主要是给出这种空间的几个性质。     

关于Fuzzy弱收敛的完备性定理

在泛函分析中,函数列的弱收敛性是函数空间理论中诸收敛概念中的重要模型之一,它的通常定义是如下给定的,设L_1(Ω,(?),μ)为Lebesgue空间,函数列{x_n}_1~∞(?)L_1(Ω,(?),μ)弱收敛于x_0(记如x_0=w-(?)),是指f(x_0)=(?)f∈L_1~*(Ω,(?),μ),(其中L_1~*(Ω,(?),μ)为L_1(Ω,(?),μ)的对偶空间),文献[1]、[2]指出,这个定义又等价于如下的定义:     

用直接代入法求解参数振动的共振区

用直接代入法,对参数振动方程X ω_0~2[1 hcos(2ω_0/n ε)t]X=0的共振区,进行了计算。本文着重计算了n=3,4的共振区,然后进行推广。结果是当n=3时,-(3/64)h~2ω_0-(27/512)h~3ω_0<ε<-(3/64)h~2ω_0 (27/512)h~3ω_0, 当n=4时,-(1/30)h~2ω_0-(127/3375)h~4ω_0<ε<-(1/30)h~2ω_0 (121/6750)h~4ω_0。计算的结果表明,与用其他方法的计算结果相比较,完全吻合。     

随机Dirac算子的旋转数和谱

本文研究概率空间(Ω,F,μ)上的一维平稳遍历Dirac算子H_ω,定义了算子H_ω在实数λ处的旋转数a(A),并证明了a(A)的单调上升点恰是H_ω的谱点.     

群上的扫除原理和第二最大值原理

一、定义和符号 设G是局部紧緻Abel群,并设G是Hausdorff空间;ω_G表示G上的Haar测度;G的对偶空间记为Γ,ω_G在Γ上所对偶的Haar测度记为ω_Γ. 设(μt)_1>0是G上的一个对称测度卷积半群,且κ=∫_0~( ∞)μtdt存在(即{μ|t>0}     

关于模糊积分的一点注记

设(X,B,μ)为模糊测度空间,对于可测函数fX→[0,+∞),称∫fμ(*)=∧α∈[0,+∞)(α∨μ(Fα*))为f的(∧-∨)-模糊积分,通过引入广义简单函数和利用下截集的概念,将(∧-∨)-模糊积分用广义简单函数来逼近.     

一类数论函数的计算和估计

用新方法计算和估计筛函数的余项f(N,P_1,…,P_3)=■μ(n){N/n}这里E_s={n=P_1~(α_1)P_2~(α_2)…Ps~(α_s)|α_i=0或1,i=1,2,…s;ω(n)≥1}.得到一系列较好的结果.     

具有两个分担值集的亚纯函数唯一性

证明了若f与g是两个非常数亚纯函数,满足E(S,f)=E(S,g)和E(∞,f)=E(∞,g),并且有λΘ(∞,f)+μΘ(∞,g)1/2,这里S={ωω7-42ω2+70ω-30=0},且λ+μ=1,λ,μ∈[0,1],则f≡g.     

包含广义Euler函数φ_2(m)的一方程的正整数解

为研究广义Euler函数φ_2(m)的性质,讨论了方程φ_2(m)=2~(ω(m))3~(Ω(m))的可解性,利用函数φ_2(m)的性质以及分类分段的讨论方式,给出该方程的正整数解,其中m是一正整数,函数φ_2(m)为广义Euler函数,ω(m)为正整数m的互异质因数的个数函数,Ω(m)为正整数m的质因数的个数函数。