二阶锥规划的Lagrange对偶及2维原始对偶单纯形法

目前对二阶锥规划算法的研究是数学规划领域的研究热点之一,在这方面的研究成果初具规模.文中着重研究两方面问题:一是详细推导二阶锥规划的Lagrange对偶问题;二是将2维二阶锥规划(即二阶锥约束都是2维的,但自变量的总维数是2r维的,r表示二阶锥约束的个数)转化成相应的标准形线性规划,给出其原始对偶单纯形法,并举例说明算法的应用,最后进行部分灵敏度分析.这一工作基本完善了2维二阶锥规划的单纯形类方法,即至此,2维二阶锥规划的原始单纯形法、对偶单纯形法和原始对偶单纯形法的理论已较完善.其他拓广的单纯形类方法可在将2维二阶锥规划转化成相应的标准形线性规划之后对应线性规划的拓广单纯形类方法直接得到.     

二阶锥规划的一种随机线性化方法

由于二阶锥规划(Second Order Cone Programming,简记SOCP)的广泛应用,相关问题的研究越来越引起人们的高度重视.人们求解二阶锥规划问题往往通过将其转化为线性规划、半定规划.针对某一类二阶锥规划,将其等价转化为半定规划,利用半定规划的线性化来解出一个ε-水平解,进而用随机线性化的方法来求解二阶锥规划问题,使得对于某些二阶锥规划的实际问题可以有效而简便的获得所需要的解.     

主动配电网三相电压优化模型的线性化技术探讨

三相主动配电网的优化调度实质上是一个求解非凸的混合整数二阶锥非线性规划问题,缺乏严格高效的求解方法。本文采用二阶锥松弛技术将其中的三相潮流方程进行了凸化松弛,将一个非凸非线性规划问题转化为由一系列线性不等式和线性等式组成的线性规划模型。以扩展的标准IEEE 33节点三相测试系统构建算例,采用青海省某地区一天12个时刻的负荷数据和光伏预测数据进行了验证。静态优化的结果表明:二阶锥形式的潮流方程利用线性多项式拟合之后得到的电压值和原始二阶锥的结果高度一致,验证了这一线性化方法的可行性;动态优化的结果显示:线性规划模型中引入储能装置、分布式电源、静止无功补偿装置、分组投切电容器组的优化调度策略,电压变化率在2%之内,最大网络损耗仅有0.07 MW,最大松弛误差在6×10~(-6)之内,表明基于上述线性规划模型的主动配电网动态优化的可行性、精确性和有效性。     

求解一类二阶锥规划问题的神经网络及应用

考虑了一类二阶锥规划问题.利用两个光滑函数分别将二阶锥约束转化为光滑的凸约束,提出了求解这类二阶锥规划问题的两个新神经网络,并在适当的条件下证明了提出的神经网络是Lyapunov稳定的,且以任意精度收敛到原问题的解.数值实例说明了两个新神经网络的有效性.     

具有补偿的两阶段随机二阶锥规划问题的一个等价形式

确定的二阶锥规划(DSOCP)是一类凸优化问题,为处理DSOCP的数据的不确定性,具有补偿的随机二阶锥规划问题备受关注.有许多重要的实际问题,如随机欧几里得设施位置问题、具有损失风险约束的投资组合优化问题、最优覆盖随机椭球问题等均可建模为具有补偿的随机二阶锥规划问题,有效求解方法多为内点法.讨论具有补偿的随机两阶段二阶锥规划问题,在Slater约束规范条件下,探讨了第二阶段问题的对偶问题及最优值函数的次微分性质,在随机变量的概率分布具有有限支撑的条件下,给出了两阶段随机二阶锥规划问题的一个等价的线性二阶锥规划问题.     

锥规划解的一种判别方法

将线性规划的基本可行解等概念引入到锥规划中,讨论了锥规划的解、基本可行解及可行域顶点的关系,最终利用对偶锥的概念得到了锥规划解判别方法.从所得结论可见,利用对偶锥、锥规划和线性规划解的判别方法具有相同的表示形式,且所得锥规划解的判别方法简单便于使用,这为进一步研究锥规划的求解和讨论有关性质提供了便利.     

带矩约束的二阶段分布式鲁棒优化

针对带有矩约束的两阶段分布式鲁棒优化问题,当随机变量的支撑集是多面体时,利用线性规划对偶、无穷维规划对偶、二次规划的Wolfe对偶等理论研究两阶段分布式鲁棒优化问题的等价可求解模型.在分布式鲁棒优化的决策变量服从线性决策和第二阶段中的右端项为随机变量两种不同的情形下,给出对应的两阶段分布式鲁棒优化均能等价转化为可用已有算法求解的二阶锥优化问题.     

具有离散分布的两阶段随机二阶锥规划问题的最优性条件

主要探讨两阶段随机二阶锥规划问题的最优性条件.首先,基于Lagrange对偶理论,建立了第二阶段随机二阶锥规划问题的对偶问题,并分析了最优值函数的次微分性质;其次,当随机数据的概率分布具有有限支撑时,讨论了期望补偿函数的次微分性质;最后,给出了具有离散分布的两阶段随机二阶锥规划问题的最优性条件.     

求解随机二阶锥线性互补问题的期望残差最小化方法

引入期望残差最小化(ERM)方法来求解随机二阶锥线性互补问题.在非负象限内,利用ERM方法求解随机线性互补问题是可行的,为此将非负象限内的随机线性互补问题延伸到二阶锥内.首先,介绍了二阶锥矢量相关的若尔当积及谱分解等预备知识.然后,通过二阶锥互补函数FB函数将随机二阶锥线性互补问题转化为极小化问题.以预备知识为基础证明了若尔当积下的x2与x 2的关系,并进一步证明了离散型目标函数解的存在性与收敛性.最后,证明利用ERM方法解随机二阶锥互补问题是可行的.     

锥规划的最优性和对偶性研究

利用对偶锥的概念,将对偶规划和基本可行解等概念引到锥规划中,讨论了这些概念和最优解的关系,给出了锥规划最优解的判别方法,研究了锥规划对偶规划的主要性质.从所得结论可见,利用对偶锥,线性规划和锥规划的对偶性、最优解判别方法等有相同的表述形式.