强Quasinil Quasi-clean环和Quasi-polar环

设R是一个环，称环R的元素e为拟幂等元，如果存在R的某个中心单位k,使得e²=ke。若R中的每个元素都存在拟幂等元e∈R,q∈R^qnil使得e∈comm²(a),并且a=e+q,则称环R是强quasinil quasi-clean环。若环R中每个元素a都存在一个拟幂等元e∈R使得e∈comm²(a),a+e∈U(R)且ae∈R^qnil,则称R是拟quasi-polar环。本文首先证明拟quasi-polar环与quasi-polar环等价，在此基础上进一步证明强nil quasi-clean环是强quasinil quasi-clean环，强quasinil quasi-clean环是quasi-polar环，但反之均不成立。     

关于惟一强π-rad clean元

环R中的元素a称为是惟一强π-rad clean的,如果存在惟一的幂等元e∈R使得a-e∈u(R),ea=ae且ean∈J(R),其中n是某个正整数。如果环中的每一个元素都是惟一强π-rad clean元,那么环称为是惟一强π-rad clean环。文中给出了惟一强π-rad clean元和阿贝尔的惟一强π-rad clean环的一些等价刻画。     

强J-clean环的推广

作为强J-clean环的推广,本文引入强J~#-clean环的概念,将强J-clean环的性质推广到强J~#-clean环上.设R为环,主要得到了:(1)a,b∈R.若ab是强J~#-clean元,则ba也是强J~#-clean元;(2)a∈R是强J~#-clean元当且仅当a是强clean元且a-a2∈J~#(R);(3)f2=f∈R,a∈fRf是R中的强J~#-clean元当且仅当a是环fRf中的强J~#-clean元.     

J#-Uc-clean环与强J#-Uc-clean环

设R是一个环,如果U(R)=U_c(R)+J^#(R),则称R是GU_cJ环;如果对于任意a∈R,都存在g∈U_c(R),p²=p∈R,d∈J^#(R)使得ag=p+d(且ap=pa),则称R是(强)J^#-U_c-clean环。GU_cJ环和J^#-U_c-clean环分别是GUJ环和GJ-clean环的真推广。文章研究了GU_cJ环的基本性质,证明了R是GU_cJ环当且仅当R/J是U_cU环且U_c(R/J)=(U_c(R)+J)/J,R是U_cJ环当且仅当R是GU_cJ环且R/J是reduced的。此外,给出了(强)J^#-U_c-clean环的例子,得到了(强)J^#     

强自反环

设R为一个环,如果对任意a,b,c∈R,aRbRc=0蕴涵aRcRb=0,则称R为强自反环.给出强自反环的一些性质,利用强自反环给出对称环的一个刻画.证明了如下结果:①R是symmetric环当且仅当R是强自反环和IFP环;②半素环是强自反环,但反之不成立;③R是强自反环当且仅当对任意a1,a2,…,an∈R(n≥3),a1Ra2Ra3…Ran=0蕴涵ai1Rai2Rai3…Rain=0,其中i1i2i3…in是1,2,3,…,n的任意一种排列;④设R为quasi-Abel环,x∈R为exchange元,则x为clean元.     

一类局部环上的强clean 3×3矩阵

称一个环是强clean的,是指R中的每个元素都是R中可交换的一个幂等元与一个可逆元的和.局部环是强clean的.对于环R,定义L(R)={(a11 0 0 a21 a22 a23 0 0 a33)|a11,a21,a22,a23,a33 ∈R},且(L)(R)={(a11 0 a13 0 a22 0 0 0 a33)|a11,a13,a22,a33 ∈R}.证明了,如果R/J(R)是一个素域的代数扩张,那么L(R)是强clean的当且仅当L(R)是强clean的当且仅当R是bleached的.从而将会获得相关的结果.

Abstract：

A ring R is called strongly clean if every element of R is the sum of an idempotent and a unit that commute. Local rings are strongly clean. For a local ring R,let (L)(R)={(a11 0 0 a21 a22 a23 0 0 a33)|a11,a21,a22,a23,a33 ∈R},and (L)(R)={(a11 0 a13 0 a22 0 0 0 a33)|a11,a13,a22,a33 ∈R} We prove that, if R/J(R) is an algebraic extension of its prime field, then (R) is strongly clean if and only if (R) is strongly clean if and only if R is bleached. Related results are also obtained.     

关于J-quasipolar环（英文）

2012年,崔建和陈建龙提出了J-quasipolar元的概念.对于环R中的一个元素a,如果存在p~2=p∈comm~2(a)使得a+p∈J(R),则称a为J-quasipolar的.一个环称为J-quasipolar的,如果环中每一个元素都是J-quasipolar的.文章证明了一个环R是J-quasipolar环的充分必要条件是环R是quasipolar环并且环R是强J~#-clean环.同时也证明了一个环R是nil-quasipolar环当且仅当环R是J-quasipolar环并且J(R)是幂零的.     

关于弱幺正则环和强稳定环

在本文中我们引入了弱幺正则环的概念,证明这类环是幺正则环和半局部环的自然推广.另外,我们还证明了下面两个结果:(1)环R是弱幺正则的当且仅当Mn(R)(n≥1)是弱幺正则环;(2)假设R是一个环且使得R/J(R)是正则环.那么R是弱正则环当且仅当对任意ax b=1存在v∈R和一个左可逆元u∈R使得au bv=1以及当且仅当对任意x∈R存在一个左可逆元u∈R以及y∈J(R)使得x y=xux.     

P-内射的WB-环

研究了满足一定条件的P-内射环为WB-环的等价刻画.证明了如果R是非奇异的P-内射环,那么R只要满足条件之一:(a)R满足特殊左零化子的升链条件;(b)R不包含由有限非零主左理想构成的直和项;(c)R是CF环;(d)R是Goldie环.有如下等价:(1)R是WB-环;(2)对任何a∈R,有正交理想I,J,使得a=aua=ava,这里u∈R,模I右可逆,v∈R模J左可逆;(3)对任何a∈R,有正交理想I,J和幂等元e∈R,使得a=eu=ev,这里u∈R模I右可逆,v∈R模J左可逆;(4)如果ab,a,b∈R,则有正交理想I,J,使得au=ub,av=vb,其中u∈R模I右可逆,v∈R模J左可逆.     

带有自同态的J-quasipolar矩阵环（英文）

对于环R中的一个元素a,如果存在p~2=p∈comm~2(a)使得a+p∈J(R),则称a为J-quasipolar的,一个环称为J-quasipolar的如果环中每一个元素都是J-quasipolar的.本文中我们研究了带有自同态的3×3阶矩阵环T_3(R;σ)的J-quasipolar性质.设R是一个局部环,σ:R→R是环R的自同态,如果σ(J(R))?J(R),我们证明了T_3(R;σ)是J-quasipolar的当且仅当R是唯一bleached环的并且R/J(R)??2.     

多项式环的自反性

引入了比自反环更强的2类环：强(M-)自反环,研究了其性质。给出了一个例子表明自反环不一定是强自反环。讨论了强(M-)自反环的扩张,得到了一些结论。     

关于正则环的几点注记

环Ｒ称为左（右）ＳＦ）环，如果所有单左（右）Ｒ－模是平坦的。环Ｒ称为Ｉ－环，如果Ｒ的每个非零左理想含有非零幂等元。在本文中，我们证明了如下主要结果：（一）对于环Ｒ，如下条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环县Ｒ／Ｚ（ＲＲ）是Ａｒｔｉｎ单环；（３）Ｒ是左非奇异的，左ＳＦ－环县ＲＲ具有有限秩；（４）Ｒ是正交有限的Ｉ－环。（二）Ｒ是基层不为零的正则左自内射环当县仅当Ｒ是包含非奇异     

正则环的模比较和模刻画

主要对正则环的相关理论进行了研究,包括正则环理想上的模比较,并进一步研究了强正则环的模刻画.     

关于Γ－环的T－幂零性与本质强幂零性

讨论Γ－环的Ｔ－幂零性与本质强幂零性，给出了Γ－环具备Ｔ－幂零性的几个充要条件及充分条件，并证明Γ－环的素根、Ｔ－幂零理想及满足主左零化子升链条件的Γ－环的每一个强诣零理想是本质强幂零。     

强正则环的几个等价条件

R是广义正则环,以下条件等价:(1)R是强正则的,(2)E(R)C(R),(3)ex=xe,对所有e∈E(R),对所有x∈N(R),(4)N(R)∈C(R),(5)E(R)在R中关于乘法是封闭的,(6)E(R)是弱可换的.     

强素Γ－模

类似环上模定义Γ－环Ｍ的强素模的概念，通过强素ＭΓ－模给出Ｍｒ－模的强素根的刻划．引入ｓｆ－系的概念，并用它刻划强素模、强素根．讨论了Γ－环Ｍ的强素模与Γ－环Ｍ的右算子环Ｒ的强素模之间的关系．     

单位正则环和SF-环

环 R 称为左SF-环,如果每个单左 R- 模是平坦的.众所周知,单位正则环是SF-环,但SF-环是否为单位正则却未有结果.本文主要研究左SF-环成为单位正则环的条件及在一定条件下SF-环与单位正则环的等价性.     

关于拟duo-环的正则性

主要用P-V-环刻画了拟duo-环的正则性,证明了如果R是左拟duo-环,则以下等价:(1)R是强正则环;(2)R是半交换左P-V-环;(3)R是2-素的左P-V-环.