关于方程x~m-y~n=1,|x-y|≤250400.

在1842年,Catalan提出了两个连续数除8,9外不能同时都是自然数的大于1次的乘幂的猜测。不久以前,R.Cestari曾经给出了了个证明。但是这个证明是错误的。例如他在204页从x_1~(t‘)·x_2~(t‘‘)=x~t和x_2~(t‘‘)-x_1~(t‘)=2得出x_1=x_2=2是没有根据的,因为他漏掉了x_1=2x_3~t,x_2=2~(lt-1)x_4~t,t‘=t‘‘=1,(x_3,x_4)=1的这一可能的情形;又在207页他用了“两个不相等的无理数的乘积不能等于一个自然数”这样一个不真确的命题等等。所以他并没有得出什么结果。即使三个连续数能否都是自然数的大于1次的乘幂问题,亦迄今还未解决。     

形如1-2(32n+1)的孤立数

设n是正整数,a是大于1的正整数,文章证明了形如1/2(3~2~n+1)的一类数都是孤立数。     

关于完全数的一点注记

如果正整数n适合σ(n)=2n,则称n为完全数.奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,本文给出奇完全数的几个结论,由此推出Fermat数及形如6 m+5的正整数都不是完全数.     

好玩的数学——正整数的和表示法

把数3拆成若干个正整数的和，拆的方法有4种，分别是3、1＋2、2＋1、1＋1＋1。也就是说，数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数之和。     

关于2~r-完全数

对于任意正整数a,令σ(a)表示a的所有因子之和.设n是一个固定的正整数,称正整数x是n-完全数,如果它满足σ(x)+σ(nx)=2(n+1)x.运用σ(a)的一些性质讨论了2~r-完全数的存在性,其中r是固定的正整数,证明了x是2~r-完全数当且仅当x=2~s(2~(r+s)+2~s-1),其中s是正整数,2~(r+s)+2~s-1是一个奇素数.     

形如1/2(11~(2~n)+1)的孤立数

孤立数一直是数论研究的一个重要课题。最近,在孤立数研究方面取得了一些进展。2006年,沈忠华证明了1/2(5~(2~n)+1)都是孤立数;2007年,蒋自国、曹型兵证明了1/2(3~(2~n)+1)都是孤立数;2011年,张四保、吕明富证明了1/2(7~(2~n)+1)都是孤立数;2012年,管训贵证明了1/3(2~p+1)都是孤立数。本文运用初等数论的方法证明了:1/2(11~(2~n)+1)都是孤立数,这里n是任意的正整数。     

关于奇素数方幂中的孤立数

设n是正整数,用σ(n)表示n的所有正因数的和。对于给定的正整数a,如果不存在正整数b适合σ(a)=σ(b)=a+b,则称a是孤立数。文章运用初等数论的方法证明了pr都是孤立数。这里p为奇素数,满足p>2r~(1+ε),0<ε≤1,ε是任意实数,r是正整数,满足r>((1+ε)/ε)~1/ε     

几个关于1-2有序分拆的恒等式及组合证明

研究了正整数的两类1-2有序分拆,其中一类是正整数的首、末两端分部量都是1的1-2有序分拆,另一类是正整数的首、末两端分部量至少有一个是2的1-2有序分拆.首先得到了这些有序分拆数与Fibonacci数之间的一些关系式.进而,利用熟知的与Fibonacci数相关的有序分拆恒等式得到了这两类正整数的有序分拆数与分部量是奇数、分部量大于1、分部量是1或者2的有序分拆数之间的一些新的有序分拆恒等式,并给出了这些恒等式的组合双射证明.     

与正整数 n -color有序分拆相关的一些恒等式

首先给出了正整数自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数、Lucas数之间的几个关系式.然后利用其中的一个关系式给出了正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数与正整数的分部量是1、2的有序分拆数、分部量是奇数的有序分拆数、分部量大于1的有序分拆数之间的一些恒等式,并给出了组合证明.     

一类特殊的near-perfect数（英文）

设正整数α≥2,p_1,p_2为奇质数且p_1p_2.利用初等的方法和技巧,证明了不存在形如2~(α-1) p_1~2p_2~2的以d∈{1,p_1~2,p_2~2,p_1p_2,p_1p_2~2,p_1~2p_2}为冗余因子的near-perfect数,并给出存在形如2~(α-1) p_1~2p_2~2的以d∈{p_1,p_2}为冗余因子的near-perfect数的一个等价刻画.进而,给定正整数k≥2,通过推广near-perfect数的定义至k弱near-perfect数,证明了当k≥3时,不存在形如2~(α-1) p_1~2p_2~2的以d∈{p_1~2,p_2~2}为冗余因子的k弱near-perfect数.     

Smarandache函数的准确计算公式以及相关数论方程的求解（英文）

设φ(n)和S(n)分别为正整数n的欧拉函数和Smarandache函数.熟知,S(n)的准确计算公式是一个尚未解决的公开问题.利用初等的方法与技巧,给出了S(pα)的准确计算公式,其中p为质数,α为正整数,从而完全解决了上述公开问题.由此得到方程φ(n)=S(nk)的正整数解(n,k)的性质,以及σ(2~αq)/S(2~αq)为正整数的几个必要条件,其中q为奇质数,σ(n)表示n的全部不同正因数的和.     

关于单位分数中的A_2数问题

<正> 序言关于A_2数,W.Sierpi′ nske[1]曾提到A.Schinzel证明了,存在无穷多对分子为3,分母相差为6的自然数,它们都不是A_2数。柯召、孙琦在文[2]中证明了,存在无穷多组4个连续相差为6的正整数n,使3/n都不是A_2数;而大于4时却不存在这样的数组。本文给出了3/n不是A_2数的充要条件是n仅含6k+1型的素因子,还证明了,存在无穷     

整边三角形与正整数的一类分拆数

正整数n的k部分分拆是将n表示成k个正整数的无序和.其中正整数n的3部分分拆的一个型应用是整边三角形.对于整边三角形的研究已经有许多结果,对于周长为n的整边三角形个数有一个估计数公式T(n)．本文作者利用分拆的Ferrers图将整边三角形与不定方程4x1+3x2+2x3=n联系起来,给出了利用T(n)计算正整数n的一类4部分分拆数的计数式以及一类分部量不超过4的分拆数的计数公式,并讨论了其中一类分拆数在图论中的应用.     

正整数n-color 1-2-3有序分拆（英文）

正整数的n-color 1-2-3有序分拆是指正整数的只含分部量是1,2或者3的n-color有序分拆,而正整数的回文的n-color 1-2-3有序分拆是指只含有分部量是1,2或者3的n-color有序分拆且分部量从左往右读与从右往左读是相等的.给出了正整数的n-color 1-2-3有序分拆数和回文的n-color 1-2-3有序分拆数的生成函数、显式公式以及递推公式.还给出了正整数的1-2-3有序分拆数和正整数不含分部量是3的倍数的有序分拆数之间的一个关系式以及推广形式.     

关于联立Pell方程组x2-4D1y2=1和y2-D2z2=1

设D1是正整数。本文证明了如果4D1=r^2-1,其中r是正整数,则至多有1个奇D2数D2可使联立Pell方程组x^2-4D1y^2=1和y^2-D^2z^2=1有正整数解。     

关于t-Euler优美数对的确定

设n为正整数,φ(n)是n的Eu ler函数,对于正整数a和b,如果存在正整数t使得φ(a)=b/t,φ(b)=a/t,则称(t,a,b)是一个t-Eu ler优美数对.用初等而简洁的方法讨论了t-Eu ler优美数对的存在性,并得到了全部的t-Eu ler优美数对只有(t,a,b)=(1,1,1),(2,2α,2α)及(3,2α.3β,2α.3β),其中α,β都是正整数.     

与整数有序分拆的分部量1相关的一些恒等式

考虑了正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆,发现该有序分拆数等于第2n+1个Fibonacci数F2n+1.利用Fibonacci数与正整数的一些有约束的有序分拆数之间的关系,得到了正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆与正整数n的1-2有序分拆、奇有序分拆、分部量大于1的有序分拆之间的一些恒等式.     

关于连续正整数平方和中的素数方幂

对给定的正整数k,证明了:当9|k或q|k(q=±5(mod 12)是一个素数)时,任何k个连续正整数的平方和不是素数的n次幂(n∈N);当q|k(q=±1(mod 12)是一个素数)时,可定出模q的两个剩余类,而不属于其中任何一个剩余类的每一个非负整数x所确定的k个连续正整数的平方和(x 1)2 (x 2)2 … (x k)2不是素数的n次幂(n∈N).     

关于两类无理数的判断

《全日制十年制学校初中代数》第二册讲到3~(1/2)、5~(1/2)、2~(1/3)时指出这些数是无理数,但没有指出怎样判断它们是无理数,又学习对数时,有的学生往往会问老师lg2、log3、log_57等是不是无理数?怎样判断,一个对数是无理数?还是有理数?对于2~(1/2)、3~(1/2)、lgN(N为自然数,但不是10的正整数次幂)是无理数,学生一般用反证法就能证出,因而也会个别的判断这种数是无理数,但对于一般的a~(1/n)(a>0的整数,n≥2的整数)不是整数时,必是无理数;log_aN,(a、N都为正整数,但a≠1,且a、N互质)是无理数,要初、高中学生进行一般的判断和证明,是比较困难的。因为这两类无理数的证明,都要用到整数的整除性,而     

无平方因子数的上界估计

设k、m、n∈N,对于给定的正整数n∈N,若存在屯使得对任意m∈N,都有m^k n,则称n为无k次幂因子数．特别地,若k=2。则称n为无平方因子数．利用初等方法,研究无平方因子的性质,进一步的获得了第n个无平方因子数的一个上界估计,并给出了参考文献中的一个评注．