积分控制收敛定理的推广

本文目的是推广积分控制收敛定理(见〔1〕177,页),所用符号均取自〔1〕。定理设E 是完全测度空间(X,R,μ)上的μ—可测集,且是σ—有限的。设{h_n},{f_n)},{g_n},h,g 均是E 上实值η—可积函数,且满足下列条件:     

广义Wiener泛函空间上的Pettis积分及其应用

本文讨论了取值于广义Wiener泛函空间(S)~*上的函数F(t),t∈R关于Lebesque测度的Pettis积分,给出了Pattis可积的充要条件,并应用于积分交换次序的研究,得到的一类Fubini定理可看成是关于Brown运动积分Fubini定理的推广。     

L2(μ)函数和向量值函数的Fourier变换

将献[1]中的方法推广到含R上的σ—有限正测度μ的函数空间L^2(μ)上，证明了L^2(μ)中函数的Fourier变换形成一个Hilbert空间，且这两个空间通过Fourier变换等距同构。然后又进一步将献[1]中的方法和结果推广到群上的向量值加权可积函数类上。     

可积函数空间上两种收敛性的关系

可积函数空间Lp空间中的函数列{fn(x)}依测度收敛与依范数收敛的基本关系:依范数收敛可推出依测度收敛,但逆命题不成立.本文在依测度收敛的基础上,加上必要的条件fn(x)≤fn 1(x)ae于E且‖fn‖p→‖f‖p或为{f,f1,f2,…}为一致可积族,使得依测度收敛能够推出依范数收敛.     

鞅的极小算子及加权不等式

设(Ω,F,μ)是一完备的概率空间,假定(Fn)n 0是F的完备子σ代数的一个增加族,满足F=∨n 0Fn,其中F0是平凡的(F0=(Φ,Ω)),f=(f1,f2,…)是Ω上的实值函数序列,且fn关于(Fn,μ)可测,n.我们定义f=(fn)n 0为一个(上,下)鞅[1],如果每个dn可积,且E(dn 1|Fn)(,)=0,n=0,1,…;其中E(·|Fn)表示关于测度μ的条件期望算子.若f=(fn)n 0是鞅或下鞅,则称mf=inf0 n<∞|fn|为f的极小算子[2].现在我们考虑单权意义下极小算子的加权不等式,以下的两个定理分别刻画了Ap权和Wp权的性质.定理1设p>1,则ω∈Ap,即E(ω|Fn)E(ω-p1-1|Fn)p-1 K a.e.n 0,当且仅…     

遍历的Choquet容量系统与遍历的超空间动力系统之间的关系

目的研究Choquet容量系统与超空间动力系统之间的关系。方法赋予超空间hit-or-miss拓扑并使用随机集理论中的Choquet容量T等概念及其超空间动力系统中的研究技巧。结果如果f是T-遍历的,则对T-可容量且f不变的集合V,有T(V)=0或T(V)=1。对Choquet容量系统(E,C(E),T,f)与它诱导的超空间概率测度系统(2E,B(2E),P,2f)(hit-or-miss拓扑),f保持Cho-quet容量T当且仅当2f保持测度P;f是T-遍历的当且仅当2f是P-遍历的。结论这些结果将已有的遍历定理(例如Birkhoff遍历定理)推广到了超空间动力系统上,即集态遍历定理。     

积分第二中值公式补註

定积分的第二中值公式有下列三个定理给出的三种形式。定理1 假设函数f(x)在闭区间[a,b]上单调减小(包括广义的)且非负,又函数g(x)在[a,b]上可积,则在闭区间[a,b]上至少有一点ζ,使得定理2 假设函数f(x)在闭区间[a,b]上单调增加(包括广义的)且非负,又函数g(x)在[a,b]上可积,则在闭区间[a,b]上至少有一点ζ,使得     

Stieltjes可积的条件

Stieltjes 积分问世已经近一个世纪了.中给出了 S—可积的充要条件,笔者在中给出了 S—可积的另一个充要条件.现在我们要用实数集值函数的上、下极限与极限之间的关系来揭示这些 S—可积的充要条件的由来,并利用中给出的 S—可积的充要条件推出一新的结果.为叙述简单,引入下列记号:R={x|x 为实数},P(R)={E|E(?)R};W(f,E)==supf(E)-inff(E),W(f,t,E)(?)(f,(t-δ,t+δ)∩E);J={n|n 为自然数},J_n={m|m∈J,m≤n},n∈J,J_0表示空集.     

鞅空间上的几何极大算子

设(Ω,(F),μ)是一完备的概率空间,假定((F)n)n≥0是(F)的完备子σ代数的一个增加族,满足(F)=∨n≥0(F)n,其中F0是平凡的((F)0=(φ,Ω)),f=(f1,f2,…)是Ω上的实值函数序列,且fn关于((F)n,μ)可测,(A)n.定义f=(fn)n≥0为一个鞅[1],如果每个dn可积,且E(dn 1|(F)n)=0,n=0,1,…;其中E(·|(F)n)表示关于测度μ的条件期望算子.     

黎曼——斯蒂阶积分存在的一个充要条件

实函中证明了[a b]上的有界函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)不连续点所成之集的勒贝格测度为零。关于黎曼——斯蒂阶积分也有类似定理:f(x)在[a,b]上有界,α(x)为[a,b]上的有界变差函数,则f(x)在[a,b]上关于a(x)黎曼——斯蒂阶可积的充要条件是α(x)在f(x)不连续点所成之集上的全变差为零。本文就是给出这个定理的一个证明。     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

在Bochner函数空间Lp(u,x)中的Frechet可微点

设X是Banach空间,(Ω,∑,μ)是一个正测度空间,Lp(μ,X)表示在测度空间(Ω,Σ,μ)上P-可积、X-值、μ-可测函数的等价类所组成的Lehesgue-Bochner空间。I.E.Leonard和K.Sundaresan曾经证明,Lp(μ,X),1相似文献   

Bargmann-Segal空间刻画Banach空间值广义泛函

引入Banach空间值Bargmann-Segal空间E2(v,X),其中v是广义函数空间E*C上的复Gauss测度,X是一个可分自反Banach空间.借助于指数向{ε(ξ):ξ∈Dp}的完全性,通过广义算子象征方法,应用E2(v,X)讨论了Banach空间值广义泛函L[Gp,X]的解析刻画,其中p∈R.同时,应用广义泛函在E2(v,X)中的Hilbert范数计算了向量值广义算子T∈L[Gp,X]的算子范数.     

广义模糊Choquet积分的自连续性

在一般模糊测度空间的任一子集上,对给定的μ-可积模糊值函数,定义了广义模糊Cho-quet积分,并将这种积分整体看成可测空间上的模糊值集函数,进而讨论它的上(下)自连续性和一致上(下)自连续性等.     

抽象函数积分的Newton—Leibniz公式的一点注记

关于定义在实区间[a,b]上,而在实 Banach 空间 E 内取值的抽象函数积分的Newton—Leibniz 公式,定光桂在[1]中证明了如下定理:设 x(s)是实区间[a,b]上有 R—可积的弱导数 x′(s),则有:ingegral from a to b x′(s)ds=x(b)-x(a)本文的目的在于:得出两个有关抽象函数积分的 Newton—Leibniz 公式的定理;从     

关于Fourier级数收敛定理的研究

傅里叶级数收敛定理的叙述方式很多,下面就是常见的两种.定理1 [迪尼(Dini)定理]设 f(x)是以2π为周期的函数,并且在[-π,π]上可积,假设它在 x 处之广义左、右导数皆存在,则1/2[f(x 0) f(x-0)]=(1/2)a_0 sum from n=1 to ∞(a_ncosnx b_nsinnx).定理2 若以2π为周期的周期函数 f(x)在[-π,π]上按段光滑,则 f(x)的傅里叶级数在每一点     

关于∧(μ)空间上的抽象函数

吴从炘曾经研究了在叙列空间上取值的囿变函数,并取得了许多结果。实际上,一些结果对在叙列空间上取值的绝对连续函也成立。本文主要讨论在Λ(μ)空间上取值的囿变函数,采用的方法相似于[1]中的方法,得到一些相应的结果。同时引入Λ(μ)空间上取值的绝对连续函数,得到一些有关绝对连续函数的结果。此外,李文琦、马绍芹的结果在这里也容易推出。设(X,ψ,μ)是完全测度空间,E∈ψ且μ(E)< ∞,在E上μ一可积的函数所构成的空间记为Λ(μ),一切满足的可测函数U=u(s)的全体叫做空间Λ(μ)的对偶,记作Λ~*(μ)。Λ(μ)与Λ~*(μ)分别简记作Λ、Λ~*。如果Λ=Λ~(**),则称空间Λ是完全的。设X(t)=x(s,t)是从[0,1]到空间Λ的抽象函数,如果对于每个U∈Λ~*,是有界的,则称集合M是有界集。如果对于每个有界集N(?)A~*,是有界的,则称集合是全有界的。设{X_n}是空间Λ上抽象函数的叙列,如果对于一切U∈Λ~*,{UX_n}收敛,则称{X_n}是弱收敛的;如果{UX_n}在对偶空间A~*中每个有界集上一致收敛,则称{X_n}是强收敛的。     

可用积分表示的线性泛函

用M表示集Z上某些有界(实值)函数组成的线性空间,Φ为M上的线性泛函。要讨论Φ是否可表示成积分,本文给出一个充要条件。有关这方面的结果:当Z为紧拓璞空间时有Riesz定理(〔l〕,p.184),当M为格时有下面的Daniell定理(〔1〕,p.175)。 Daniell定理 设M为集Z上某些函数组成的线性空间,包含常数函数1。又设M为格,即当f∈M时必有|f|∈M,对M上的 Daniell积分Φ:即Φ为M上的线性泛函,f≥0时必有Φf≥0,f_n↓0时必有Φf_n↓0,必存在σ(M)上的测度μ使Φf=∫fdμ。这里,σ(M)表示使M中每个f为可测的最小σ环。     

模糊σ代数上的模糊数值测度及应用(Ⅱ):广义矢值测度的约当分解

(X,A,μ)是一个全有限测度空间．H为由A生成的模糊σ-代数．通过计算H中模糊子集的截集的测度,运用一维模糊数的嵌入定理,构造了一种定义在H上取值于一维模糊数空间的测度,这种测度限制在A上就是测度μ．并且这个测度继承了μ的可列可加性、下连续性、上连续性、自连续性等性质．作为应用之一,在合理定义了广义矢值测度后,得到了约当分解定理,并且这种广义矢值测度就是一个模糊数值测度．     

广义模糊值Choquet积分的双零渐近可加性

在一般模糊测度空间的任一子集上,对给定的μ-可积模糊值函数,建立所谓的广义模糊值Cho-quet积分,并将这种积分整体看成可测度空间上取值于模糊数(值)的集函数,进而讨论当模糊测度满足上(下)自连续性时,这种积分所对应的模糊值集函数将分别具有双零渐近、伪双零渐近可加性.