城市规模分布的三参数Zipf模型：Davis二倍数规律的 …

将关于城市等级－规模分布的Ｄａｖｉｓ二倍数规律推广为任意倍数规律：αｉ＝αｉ＋ｎ．２＾ｎｆｉ＝ｆｉ＋ｎ．δ＾－ｎ，然后从中导出具有一般意义的三参数Ｚｉｐｆ模型：Ｐ（ｒ）＝Ｃ（ｒ－α）＾－ｄｚ，揭示了参数ｄｚ的分维性质并给出了它与分维Ｄ以及邻级倍数δ的数值关系：ｄｚ＝１／Ｄ＝ｌｎ２／ｌｎδ，从而证明Ｄａｖｉｓ的２＾ｎ规律乃是δ＝２即display status     

城市规模分布的Weibull模型:理论基础与实证分析

基于城市地理系统的分数维思想，修正了Curry的最大熵模型，得到关于城市规模分布的Weibull模型：M(i≤P)／n=1-exp[-(P／u)^v]．并论证了约束性参数与Zipf维数的内在关系，从而从新的角度解释了城市等级体系的分形性质及其数理特征．利用河南省多年(1990～1996)的城市人口数据对本文发展的数学模型进行验证，取得了令人满意的结果．     

城市位序—规模问题的分形理论初探：Zipf定律的理论来源,异？…

从城市动力系统的一般模型出发，引出城市体系异速生长的Ｂｅｃｋｍａｎｎ方程并将其推广到一般形式，同时导出城市规模分布的Ｐａｒｅｔｏ公式，从而建立了Ｚｉｐｆ定律的理论基础；     

山东省城市规模结构及其分形特征

选取1986,1991,1996,2001和2006年山东省17个地级市城市人口规模的资料,运用城市首位律、城市金字塔理论及位序-规模法则分析了山东省城市人口规模的变化,继而运用分形理论阐释了位序-规模曲线.结果显示,首位城市济南人口规模尚有可观的发展潜力,山东省城市体系属于典型的＂双核心＂结构;城市规模结构已从传统＂金字塔形＂向＂纺锤形＂转变;城市规模由分散趋于集中,人口分布趋向均衡,城市体系发育日益成熟;分形特征明显.     

城市体系二倍数规律与位序-规模法则的等价性证明

从城市规模分布的位序-规模法则出发, 推导出城市等级体系的二倍数法则。假定城市体系服从标准位序-规模法则(幂指数为1), 则城市规模可以抽象为一个调和数列。按照二倍数的规则对这个调和数列自上而下分级, 各级数值之和在极限条件下趋于常数ln2。由此证明如下问题: 1)城市位序- 规模法则在极限条件下和平均意义上与二倍数法则数学等价; 2)服从位序-规模法则的等级结构在一定尺度范围内是无标度的, 规模尺度最大的城市理论上不服从规律的约束。上述结论可以进行两个方面的推广:一是逻辑推广, 从二倍数推广到多倍数情形; 二是应用范围推广, 从城市研究领域推广到经济学和 自然科学领域。     

城镇等级体系的Beckmann模型与三参数Zipf定律的数理关系——Beckmann城镇等级 - 规模模型的分形与分维

从基于中心地体系的Beckmann城镇等级－－规模模型Pm=RKSm-1/(1-K)^m出发，通过序列的对称性分析，导出三参数Zipt模型P（N）＝C（N－α）^-dz，证明了参数dz的分维性质（dz=1/D)，以及Beckmann模型与Davis二倍数规律的等价性，进而借助基于Beckmann模型的城镇化水平公式Z＝KS／（K＋S－1）的单调增减性规律论证，中心地的“等级阶梯”必将向Zipt式位序0－规模分布自然演化。     

基于分形理论对陕西城市体系等级规模分布研究

通过测算20年来陕西城市体系等级规模分布的分维值,得出结论:陕西省城市体系规模分布符合分形特征;城市体系规模分布比较分散,人口分布呈不均衡态分布;整个城市体系的分形表现出中间层次的弱缺,存在城市规模等级结构的断层;城市体系等级差异虽有缓慢减小的趋势,但距离最优状态还很漫长。在对这些特征做出解释的基础上,认为应采取促进省内二级中心城市的发展、加快交通等基础设施体系的建设、加强城市体系的产业规划等措施促进城市体系等级规模结构的优化。     

城市等级体系的多重Zipf维数及其地理空间意义

基于城市等级体系的分形递归模型Pm=P1r1-mp,m=f1rm-1f及其等价形式三参数Zipf定律P(r)=C(r-α)-dz提出关于城市位序-规模分布的多分形模型,得到多分维谱的二标度表达形式Dq=ln[pq+(1-p)q]/[(1-q)lnrf],这里p=P(2)/[P(2)+P(3)]为概率尺度(括号中的数字表示城市的位序,为对应城市的人口);然后借助Legendre变换给出相应的参量表达,包括质量指数τ(q)、关于质量的Lipschitz-Hlder指数α(q)以及指数支集的分维函数f(α).导出关于城市体系人口分布的空间维数谱模型Dp(q)=DqDf以及有关的参量表达式,实现了区域城市人口多分维的可计算性.多重Zipf维数模型不仅可以有效地统一中心地的等级阶梯与位序-规模法则反映的连续分布,而且可以揭示城市体系演化的更多信息和隐含法则.以美国城市体系(1998年的数据)为实证对象,给出了城市规模分布的多分维Dq以及f(α)曲线等部分数值和图谱.     

城市等级体系分形模型中的最大熵原理

从一组基本的假设条件出发,借助最大熵方法,导出描述城市等级体系的分形递归模型:Pm=P1rmP-1,fm=f1r1f-m,以及某一等级城市数目fm与平均城市规模Pm的反比关系:fm∝1/Pm,从而证明城市等级-规模分布的标度定律和标准状态的Zipf维数(dz=lnrp/Inrf=1)的理论基础均在于城市地理系统的信息熵最大化过程.     

城市位序－规模法则的理论难题：数理本质与解决方案

周一星在研究京津冀地区的城市规模分布时发现ZiPf模型P（r)＝P1r^-q的参数P1的计算值与实际值存在的误差，即最大城市的人口数的理论值与实际数有不容忽视的差距，从而出现了理论与实验的矛盾，为了解决这一问题，从一对具有普遍意义的奇异对称序列出发，异出了城市位序－规模法则的精确表达式，从而揭示了“周一星难题”的数理本质。     

河南省城市化进程的分形研究

运用分形思想从三个方面研究了河南省城市化特征。首先,探讨了河南省城、乡人口的异速生长规律;其次,分析了河南省城市人口－城区面积时空关联的分形几何特征;第三,提示２了河南省城市体系等级结构的变化趋势。文章指出了系统存在的问题并提出改良的思路。     

基于Beckmann模型的城镇化水平公式及其理论探讨

基于Ｂｅｃｋｍａｎｎ的城镇等级一规模模型Ｐｍ＝ＫＲＳ＾ｍ－１／（１－Ｋ）ｍ，导出了区域城镇化水平公式Ｚ＝ＳＫ／（Ｓ＋Ｋ－１）。通过函数的单调减性分析得出区域城镇化水平（Ｚ）随地方的乡镇化水平（Ｋ）的上升而上升，而随各个城市的卫星城镇数目（Ｓ）的增多而下降的结论。这意味着，随着城镇体系的发展，中心地系统的阶梯式等级结构最终要向Ｚｉｐｆ式等级有序列演化；通过发展卫星城镇的办法解决区域人口城镇化问题在实     

湖北省城市规模分布及其扩展分析

利用分形理论，测算出湖北城市规模分布的分维数，其分维值表明湖北省城市规模趋于均分布，但不同地域城市规模分布的均匀程度和演变进程是不一致的，在献研究的基础上，利用回归分析方法得出了湖北省城市规模演变的垂直与水平扩展的主要原因是内外投资水平和城市发展政策两大要素，特别是城市发展政策要素对城市规模分布影响是突出的。     

Derivations of fractal models of city hierarchies using entropy-maximization principle

A pair of models of fractal recursion on city hierarchy, fm=f1r?1-m?f and Pm=P1r?m-1?p, are derived using entropy-maximizing methods, and the relationship of inverse proportion between the number (fm) of cities at a given level of the urban hierarchy and the average population size (Pm) of the fm cities is established, i.e fm∝1/P. It is demonstrated that the underlying rationale of both the scale law of city rank-size distribution and the Zipf dimension value in standard state (dz=lnrp/lnrf=1) rests with maximization of information entropy of city hierarchies.     

城市人口空间分布函数的理论基础与修正形式--利用最大熵方法推导关于城市人口密度衰减的Clark模型

基于理想地表形态和圆形城市假设,利用最大熵方法导出城市人口空间分布密度衰减的Clark模型(r)=瘢蔼玡xp(-r/r0);进而考虑现实地理条件,引入熵增受限思想,将模型推广为加幂指数形式,即(r)=瘢蔼玡xp(-r/髍0);最后借助北京市的人口资料验证了文中发展的模型.     

利用单对数Lorenz曲线计算城市体系等级结构的Gini系数

基于河南省城市体系的人口数据提出在分形结构退化情况下利用单对数型 Ｌｏｒｅｎｚ曲线计算城市规模分布的 Ｇｉｎｉ系数的方法之一：首先借助式∑ｋ Ｐ （ｋ）＝ Ａ＋ Ｂｌｎｋ 计算待定系数 Ａ、 Ｂ,然后运用 Ｇ＝ （ Ａ－ Ｂ－ Ｂｌｎ Ｎ５０）／５０ 算出 Ｇｉｎｉ系数 Ｇ 值。文章以实例说明了计算 Ｇ 值的程序。