对数学分析的两点认识

数学分析的一条主线——运算、运算性质及函数的复合,在极限,导数,积分中都讨论这些问题;数学分析一个根本——函数的思想、观点和方法,在概念、定理、证明、计算中都涉及到它.     

二元函数的极限及其求法

我们知道,数学分析研究的对象是函数,而所他用的主要工具是极限。连续、导数 (微分)、积分、级数等,实质上都是不同的极限问题与极限形式。关于一元函数的极限,在一般数学分析教材中,都讨论得比较详细,但对于多元函数的极限却介绍得很简略。对于多元函数的极限,由于与一元函数极限有着本质上的差异,并非是一元函数极限的自然推广,其概念较难理解,计算较难掌握,因此,成了实际教学中的一个难点。木文试图就此谈一点体会。同时,为便于叙述与节省篇幅起见,只着重介绍二元函数的极限,其结果都可自然地推广到多元函数中去。     

关于分段函数的教学探讨

分段函数是函数问题中的难点,本文就分段函数在分界点的极限、连续、导数的运算问题探讨,尤其对求分段函数在分段点处的求导,分情况进行了讨论。直接利用导数定义或求导公式、求导法则以及导数极限定理等,将问题转化,进而得到求解该问题的多种方法。     

n元粗糙函数及其数学分析性质的讨论

章给出了n元粗糙函数的定义，且讨论了它的数学分析性质，诸如粗糙连续性、粗糙导数、粗糙积分，得到了一些结果，同时对一元粗糙复合函数的定义、求导法则、积分法则做了一定探讨。     

复合函数分析性质的改进

对高等数学中复合函数的连续性条件进行了弱化改进,得到了类似复合函数连续及在x0处极限存在的充分条件,对复合函数的可微性条件进行改进,得到了复合函数可微以及在x0处存在左右导数的充分条件.     

求幂指函数极限与导数的异法

根据教学实践产生出求幂指函数极限与导数的方法。这些方法并不取对数,可以根据函数本身性质和极限、导数性质形式上直接求出幂指函数极限与导数,方法思路较整捷,特别是求幂指函数导数显得很方便。这些方法在讲授幂指函数极限与导数的教学中起到借鉴作用。     

灵活应用导数求解函数问题

从六个方面讨论了导数在函数问题中的应用,其分别为应用导数求切线的相关问题、函数的单调性、函数的极值或最值、函数凹凸性的判定、函数图像的描绘、求未定式极限。     

凝聚函数的若干性质

讨论凝聚函数的各阶导数及t↓o的极限性质。     

关于多元复合函数高阶偏导数计算的一种方法

讨论了多元复合函数二阶偏导数的一种计算方法．     

利用“定义”计算特殊类型的函数极限

极限是数学分析的理论基础和重要工具。涉及极限的中心问题有两个：一为证明极限存在，另一个为求极限的值。本文在给出“导数定义”的基础上，得到了改进的洛必达准则，对函数比值的极限提供了一种直接计算方法。在给出“定积分定义”的基础上对于具有一定结构的和式数列极限提供了一种计算方法。     

关于函数的单侧导数与导函数的单侧极限

本文讨论了函数的单侧导数与函数的导函数的单侧极限的关系,给出了有关的两个结果及其应用。     

两个重要极限的应用和推广

重要极限起到了简化复合函数求极限的作用,讨论两个重要极限在一些较复杂函数求极限过程中的使用方法。     

复函数矩阵的向量及矩阵导数的性质

复函数已经广泛应用于自然科学各领域,有必要探讨复函数矩阵的各种分析性质,特别是对向量与矩阵的导数的研究.本文以实函数矩阵性质为基础,针对复函数矩阵的特征,引入复函数矩阵及其极限、连续性、导数、积分等概念或定义.以综合类比与推理研究的方法,推导出复矩阵函数的逆、逮的导数的算法,尤其是复向量数量函数、复多元向量函数、复向量复合函数对向量的导数,以及复合复函数、复二次型的导数的性质;进一步揭示了复矩阵函数、复矩阵函数对矩阵的导数以及迹、行列式导数的重要性质,也得到了复矩阵函数、复向量矩阵函数的全微分的算法.研究结果表明复函数矩阵对向量与对矩阵的导数的算法虽然源于实函数矩阵的导数算法,但却发展出非常多的、更广泛的不同性质.     

复合函数极限理论应用中的错误命题

指出了复合函数极限理论应用中的三个常见错误命题，补充证明了一般教材中存在证明缺陷的两个重要定理：罗必塔法则和积分上限函数的导数定理     

广义付氏变换式与衰减因子

一、问题的提出在[4]中曾提出“广义积分变换”问题。但由大纲所限,该书只讨论古典积分变换——Fourier transform and Laplace transform,没给出广义积分变换的一般定义。对广义积分变换的概念和性质没作专门的讨论。但该书的第一章习题二有如下一题:求符号函数,     

论函数的可导与分数阶可导

从是否存在一点可导的相关函数和求导法则间相互关系的视角讨论函数的可导性问题,在分析一元分段函数在分界点处的导数问题的基础上,引进Riemann-Liouville分数阶导数定义和Caputo分数阶导数的定义,探讨分数阶导数与整数阶导数的相容性问题,研究分数阶可导问题。结果表明：仅在一点可导的函数及其他相关函数是存在的;导数的加法运算在四则运算中最为重要,复合函数的求导法在求导方法中最重要;Riemann-Liouville分数阶导数与经典整数阶导数具有相容性,Caputo分数阶导数与经典整数阶导数的相容性略差。     

对分段函数在分段点的极限、连续、可导性的研究

通过对分段函数在分段点性态的讨论,指出了分段函数在帮助学生理解高等数学一些基本概念的作用。给出了在一定条件下,用导函数在该点的极限判定该点导数是否存在的方法。     

幂指函数的求导法则

对于幂指函数求导数一般采用取对数求导法,在幂指函数求导数中,可把指数看作常数的复合函数的导数与把底数看作常数的复合函数的导数之和进行求解。     

析谈复合函数的极限定理及其应用

本文对复伞函数极限的存在性进行了讨论,并以例题说明用复合函数极限定理求极限的方法.     

Jacobi行列式与导数的几点比较

本文讨论了Ｊａｃｏｂｉ行列式与隐函数及复合函数的导数的关系，并指出其几何意义。