关于不定方程(x~3-1)/(x-1)=(y~n-1)/(y-1)

本文证明了:不定方程(x3-1)/(x-1)=(yn-1)/(y-1)适合n≥3·22r-4-1且2n的例外解(x,y,n)满足y<2n-r以及x<2(n2-(r+1)n+r+2)/2,其中r>1是整数.     

微分方程组(dx)/(dt)=y,(dy)/(dt)Q_3(x,y)的极限环

<正> 的极限环之若干存在和唯一性条件。当(1)仅有一奇点时,1964年我们曾作过讨论,其中部分结论与文[1]一致。本文就(1)有两个和三个奇点的情况讨论极限环的存在与唯一性,并讨论(1)二次和三次代数曲线解与极限环的存在性的关系。     

微分方程(dy)/(dx)=(ax~4+bx~3y+cx~2y~2+dxy~3+ey~4)/(a_1x~4+b_1x~3y+c_1x~2y~2+d_1xy~3+e_1y~4)的积分曲线的分布

指出了关于建立一阶齐次方程dy/dx=f(y/x)的积分曲线的一般方法。利用这一方法作出了方程的各种类型的积分曲线。张棣又用这个方法讨论了方程的     

系统=-( F)/( y),■=( F)/( x)+(ax+by+c)F(x,y)的代数极限环

文[1]最早提出并全面、深入地研究了二次系统的二次代数极限环。文[2]对形如 =- F/ y(ax+by+c),■= F/ x(ax+by+c)+F(x,y)的代数极限环进行过研究。这里F(x,y)=0是n次代数曲线。本文就另一种形式的系统     

微分方程组(dx)/(dt)=y μxF_1(x,y),(dy)/(dt)=-x μyF_2(x,y) (1)_μ极限环之研究

本文研究平面自治系统(1)_μ的极限环问题,其中μ是参数,F_i(x,y)(i=1,2)表示x,y的二次或二次以上的多项式.由文[1]不难给出基本定理。已知单参数平面定常系统     

浅谈函数 y=x+(1)/(x) 的单调性及其应用

函数 y=x+(1)/(x)是中学数学中较常出现且应用较多的一个函数.应使学生了解它的图象和性质,掌握其应用.     

微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。     

系统=(F)/(y)+(ax+by+c)F(x,y),=(F)/(x)+(a′x+b′y+c′)F(x,y)的代数极限环

讨论了一类多项式微分系统的代数极限环问题,并且推广了文[1] 的结果.     

微分方程(dx)/(dt)=h(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)存在极限环的一个充分条件

For the equations dx/dt=h(y)-f(x), dy/dt=-g(x)there are some results about the existence of limiting cycle under the monotone condition provided on h(y). In this paper, the same result without the monotone assumption is proved.     

关于多项式 x~((p-1)p~s) x~((p-2)p~s) … x~(2p~s) x~(p~s) 1的不可约性判定问题

本文将要证明:p 为素数,s 为非负整数时,多项式f(x)=x~((p-1)p~s) x~((p-(?))p~s) … x~(2p~s) x~(p~s) 1在有理数域上不可约。当s=0时,便成著名的分圆多项式;当s=1,p=3时,便是诸多材料中引用过的x~6 x~3 1(见〔1,2〕).     

微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)

1.引言对于这类方程的传统处理,是就系数比a_1/了_1与a_2/b_2相等和不等的情况而分为两支进行独立研究。当a_1/b_1≠a_2/b_2时,先化成齐次式     

关于Diophantine方程(ax3+1)/(ax+1)=f(y)

设a是大于1的正整数,f(z)是整值函数.本文证明了:方程(ax3 1)/(ax 1)=f(y)没有适合x>1的整数解(x,y).     

关于方程x~2=y~n+1/y+1和x~2=y~p+1

1.设n是大于1奇数,p为奇数,x和y都是整数。我们将首先证明：     

方程(dy)/(dx)=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅴ)

本文考虑形如 dx/dt=-y+ny~2+mxy+dx,dy/dt=x(1+ax)(1)的第Ⅱ类方程的极限环的相对位置,方程(1)一般有四个初步奇点,两个指标+1的奇点,两个指标-1的奇点(即鞍点)。在§1中,我們給出两个指标+1的奇点附近存在极限环与不存在极限环的某些充分或必要的条件,且給出两个指标+1的奇点附近同时存在极限环与不可能同时存在极限环的充分条件。在§2中,我們分析了方程(1)的軌綫的全局拓扑結构,並分析了两个指标-1的鞍点产生分界环线的可能性,且由这些分界环线的稳定性确定指标+1的奇点附近出現极限环的个数的奇偶性。同时,我們发現了在某些情形,当|d|由零增加至|m|时,在奇点R′附近会突然跳出一个半稳定坏,然后分裂为至少一个稳定环和一个不稳定环。     

关于非自伴算子D~2x~αD~2+x~β+ix~γ的极限点类(Ⅱ)

在[4]里我们证明了如果实数α、β、γ不同时满足β≤γ=α-4,γ>0, 微分算式aD~2x~αD~2+bx~β+icx~γ在I=[1,∞]上是极限点的,其中a,b,c是正数,而当β=γ=α-4,γ>0时,存在正数σ使得微分算式D~2x~(γ+4)D~2+σ(1+i)x~γ不是极限点。本文将讨论剩下的     

环面上微分系统(dx)/(dt)=Siny,(dy)/(dt)=-Sinx μSin2y (1)_μ的定性研究

在相平面上取基本正方形,S=[-π,π]×[-π,π],在S对边相对点处确定着系统(1)_μ相同的向量,将S的对边等同看待而得到的环面记为T,从而得到环面T上的微分系统(1)_μ.     

关于微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)的解法

讨论了微分方程dy/dx=a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2的一般解法,并给出了该微分方程的另一种解法。     

关于变系数线性系统(dx)/(dt)=A(t)x与(dy)/(dt)=[A(t) B(t)]y的渐近等价性

对于线性系统(H)和(NH),当系数矩阵A(t)=A 为常数阵时,文[2]建立了它们之间的渐近等价关系.本文的定理针对A(t)是变系数矩阵的情况,得到系统(H)和(NH)的渐近等价性。     

关于非自伴算子 D~2x~αD~2+x~β+ix~γ的极限点类

关于四阶自伴算子在什么情况下是极限点的问题已经有了不少讨论。1977年 R.Kauff-man 证明了一切形如D~2p_0(x)D~2-Dp_1(x)D+p_2(x)的四阶自伴算子都是极限点的,其中 p_0(x),p_1(x),p_2(x)是[1,∞)上首项系数大于0的实系数实幂多项式,即p_i(x)=c_ix~(n(i))+低阶项 (i=0,1,2)c_i≥0,n(i)为实数这里起作用的只是那些首项。本文将利用 Kauffman 的方法讨论非自伴算子 D~2x~αD~2+xβ+ix~γ的极限点类。因为这个算子的实部与虚部都是极限点的,所以我们推测它本身应当也是极限点的。这个推测大致上不错,我们可以证明在绝大多数情况下这个非自伴算子都是极限点的,但有极少数例外,能找到某些反例。     

一阶微分方程y′＝（y—x~2）~（－1）初值问题的一种数值解法

在利用福克绕射公式计算地面波传播衰减时，为确定其中的计算参数，需求解微分方程ｙ′＝（ｙ—ｘ２）－１的初值问题。本文提出一种新的数值计算方法来求解这一微分方程数值解。实际数值计算结果表明，同文献［１］中指出的泰勒展开近似计算方法相比，本方法具有推导简单、计算速度快及计算精度高等优点，并可处理一类相似的微分方程。