公式sum from k=1 to n (k~3)=[n(n+1)/2]~2的几种建立方法

关于自然数组成的级数sum from k=1 to ∞ (k)和自然数平方组成的级数sum from k=1 to ∞ (k~2)的前n项求和公式: S_1(n)=sum from k=1 to n (k)=n(n+1)/2 S_2(n)=sum from k=1 to n (k~2)=1/6n(n+1)(2n+1) (2)我们大家非常熟悉,并且在一些文献中分别给出不同的证明。本文利用公式(1),(2)介绍几种自然数立方组成的级数sum from k=1 to ∞ (k~3)的前n项和公式:     

多调和算子组的谱估计

设Ω是R~m(m≥2)中一个有界区域,考虑多调和算子组的特征值问题AΛ(△)u~T=λu~T,x∈Ωu~k=(?)u~k/(?)n=…=(?)~(k-1)u~k/(?)n~(k-1)=0,x∈(?)Ω,k=1,2,…,N其中,u=(u~1,u~2,…,u~N),n是(?)Ω的单位外法向量。将特征值按增加的顺序排列为0<λ_1≤λ_2≤…≤λ_n≤…则成立如下不等式λ_(n 1)≤λ_n 4/m~2n~2(sum from i=1 to n sum from h=1 to N λ_i~(1/k))(sum from i=1 to n sum from k=1 to N k(2k m-2)λ_i~(1-1/k)) sum from i=1 to n sum from k=1 to N λ_i~(1/k)/λ_(n 1)-λ_i≥m~2n~2/(sum from i=1 to n sum from k=1 to N 4k(2k m-2)λ_i~(1-1/k))     

函数的性质与其福里哀系数的关系

定理1.设定义在[1,∞)上的正值函数μ(x)满足下面的条件:(ⅰ)存在N_0>0,使得当x≥N_0时,函数x~2μ(x)是增加的;(ⅱ)存在常数c>1,使得对于一切x,有Aμ(x)≤μ(cx)≤Bμ(x),A>0,B>0。设f(x)∈L~p(0,2π),1p,则当积分integral from n=0 to 1 1/t~2μ(1/t)[integral from n=0 to 2x|f(x t)-f(x-t)|pdx]~(β/p)dt (1) 收敛时,下面的级数收敛: sum from n=1 to ∞μ(n)[sum from k=n to ∞ρ_k~p k~(p-2)]~(β/p),(ρ_k~2=a_k~2 b_k~2) (2) 定理2.设μ(t)是正值函数, Σμ(n)/n~β<∞(β>0),并且存在常数c>0,使得μ(cx)～μ(x),x→∞。令An=sum from k=n to ∞ρ_k~p k~(p-2)。若存在正数α<1,使得An·n~(p-α)当n≥N_0时是增加的,则由(2)的收敛性可以得出(1)的收敛性。     

一组组合关系式

本文用组合分析的方法及数学归纳法证明了以下一些组合关系式. (1)C(n+k,r)=sum from m=0 to k (k!)/((k-m)!m!)C(n,r-m); (2)sum from m=0 to n K~m C(n,m)=*(1+k)~n; (3)sum from k=0 to n K~m=sum from k=1 to n S(m,k) ((n+1)!)/((k+1)(n-k)!); (4)sum from p=0 to m F(n,p)=((n+m)!)/(n!m!); (5)sum from q=1 to m qF(n,q)=((n+m)!n)/((m-1)!(n+1)!); (6)sum from p=1 to n F(p,m)=((n+m)!)/((m+1)!(n-1)!); (7)sum from r=0 to S (F_(mi2r)F_(n+2r)+F_(m+2r+1)F_(n+2r+1)); =F_(2??+1)(F_(2??+1)F_(m+n+1)+F_(2??)F_(m+n)); (8)sum from k=0 to n C_k=C_(n+5)-2; (9)S_k??5=sum from p=0 to n C_(k+5??)=C_(5n+1+k+γ_(k,5));     

与Weil估计有关的一个等式

研究了一个与Weil估计有关的等式.由于广义的二次和有很好的均值性质,近几年,有许多文章都在研究广义二次高斯和的均值.用初等数论的方法把文献(J.Num.Theory,2009,129(4):1075-1089.)中的第一个定理中的数1推广到任意的满足(w,p)=1的w,并且得到了如下一般的结果sum from u=1 to (p-1)sum from v=1 to (p-1)((u~2-v~2)/p)((v~2-w)/p)=(1+((-1)/p))(1+((-w)/p)),p■w.     

有限幂级数的一种简易求和法

本文给出形如p(n)=sum from k=1 to n(k)的幂级数的一种简易求和法,其中f(k)=sum from i=0 to ma_1k~i且a_m≠0。     

关于无穷区间(-∞,+∞)上的S.Bernstein多项式的推广形式

设f(x)是定义在[0,+∞)上的函数,吴华英引进了S. Bernstein多项式推广的另一种形式: B_n~*(f, x)=e~(-(nx)~2) sum from n=k=0 to ∞ f(k~(1/2)/n)(nx)~(2l)/k!它不同于O. Szasz提示的S. Bernstein多项式在无穷区间的推广形式 B_n(f, x)=e~(-nx) sum from n=k=0 to ∞ f(k/n)(nx)~k/k! 以上两种形式都是[0,+∞)上的推广。本文将函数f(x)定义在(-∞,+∞)上,并给出它的推广形式:     

单调有界准则的推广与级数sum from n=1 to ∞ sin~m(an+b)/n~α的敛散性

利用致密性定理获得有界数列{y_n}收敛的一个充分条件:∨ε>0,■N∈Z+,使得当n>Z时,不等式yn-yn-1<ε恒成立。并发现任意项级数收敛的一个判定定理:如果级数sum from n=1 to ∞ a_n有界,且limn→∞a_n=0,则该级数收敛。由此获得:级数sum from n=1 to ∞ sin~(1+2s/t)=n/n~α收敛,其中s∈Z,t∈Z+,0<α≤1。并进行推广:如果s∈Z,t∈Z~+,0<α≤1,则级数sum from n=1 to ∞sin~1+2s/t)(an)/n~α收敛。再获得一个一般性结论:设有界函数f(n)满足0≤f(n)0,k,l∈Z。     

线性模型中误差方差估计的Edgeworth展开

设 σ_n~2=1/n-r_n{sum from k=1 to n (e_k~2)-sum from u=1 to r_n(sum from k=1 to N (α_(nuk)e_k))~2} (1) 这里{e_k}是一串独立的试验误差,     

单叶函数的de Branges定理

1.引言设S={f(z)=z+sum from n=2 to ∞a_■z~n.;f在D:|z|<1内解析、单叶}1916年Bieberbach提出猜想:若f∈S,则(1.1)|a.|≤n,n=2,3,…,最近,Louis de Branges证明了下面的重要结果,它蕴含着Bieberbach猜想。De Branges定理,若f∈S,且(1.2)log (f(z))/z=sum from k=1 to ∞c_(?)z~k,(z∈D)则,对于n=1,2,…,有(1.3)sum from k=1 to n k(n+1-k)|Ck|~2≤4 sum from k=1 to n (n+1-k)/k. 这个不等式实际上是1971年Milin的猜想[7](例如可参阅[4,P.155])     

串行程序的并行划分算法研究

提出了将串行程序并行化的方法．首先对串行程序进行分段,提出并行划分模型,基于这个模型提出一种并行划分算法PDMA;然后给出了相关程度的定义,并根据程序段之间相关程度,提出了一种对PDMA进行改进的并行划分方法RPDMA;最后对这两种算法进行了比较和时间复杂度分析．     

求解最小覆盖问题的快速近似算法的进一步研究

分析了已有求覆盖平面上给定的若干个点的尽可能小的圆的问题的算法。给出了一个新的求解最小覆盖问题的算法，其计算时间复杂度为平面上给定的点数量的线性函数，该算法已编程实现，通过几万例随机算例的实际计算比较，表明算法所得结果的平均精度比已有的各种快速近似算法所得的精度要高，而且具体每例所需的计算时间均比已有快速近似算法对应的计算时间要短。     

多源数据在国防交通图编制中的应用

针对多源数据综合制图过程中出现的数据格式不统一、数据的数学基础不统一,空间尺度不统一等问题,文章提出了解问题的思路,建立了采用多源数据综合制图的作业流程,并采用该流程编制了内蒙古自治区国防交通图,证明该流程可行,为多源数据综合制图提供了有益探索。     

离散广义系统的奇异LQ问题及最优代价单调性

研究了离散广义系统的奇异线性二次指标最优控制问题。在给定的条件下，给出线性二次（LQ）问题的惟一最优控制和最优状态，并将最优控制综合为状态反馈。闭环系统正则，因果，稳定。并给出离散广义系统的最优代价比较定理。     

一类具有高逼近阶的3带正交尺度函数的构造

基于3带完全重构的低通滤波器,构造出有高逼近阶的3带完全重构的低通滤波器.证明了若所给的低通滤波器满足Cohen条件,则构造出的低通滤波器也满足Cohen条件.因此,当所给低通滤波器为正交尺度函数的两尺度符号时,构造出的3带完全重构的低通滤波器能生成3带正交的尺度函数,且逼近阶为原来的2倍.这一构造过程可以重复应用.另外,讨论了支撑区间的变化情况,并给出了3个构造算例.     

广义系统的奇异LQ问题及最优代价单调性

研究了广义系统的奇异线性二次指标最优控制问题（即LQ问题）．在给定的条件下,给出LQ问题的惟一最优控制和最优状态,并将最优控制综合为状态反馈．所得闭环系统正则,稳定,无脉冲模．并给出广义系统的最优代价比较定理。     

基于神经网络的温度测量方法研究

介绍基于神经网络的温度测量方法，给出系统原理图及温度测量误差自动校正方法；采用错位累加计算法(LEA判别法)以实现梯度迭代法和牛顿迭代法的有效结合，使神经网络学习步数明显减少而收敛率提高；采用DSP技术实现温度实时快速测量，并给出实验结果。     

Goppa码一致校验位数目的下限

给定一个Ｇｏｐｐａ码，如何求出它的一致校验位数目问题，至今尚未解决。估计一致校验位数目，一般只用上限来估计．本文提出了不仅可用上限也可用下限来估计一致校验位数目的观点，并且给出了估计方法。用这种方法，某些特殊的Ｇｏｐｐａ码是能够求出它的一致校验位数目的。     

双曲空间H3(-1)内给定主曲率函数的一类特殊曲面的位置向量场

通过对一类常微分方程组的求解条件的讨论,给出了H3(-1)内给定主曲率函数的一类特殊曲面的整体存在定理和求出了该类曲面的位置向量场,从而对黄宣国提出的一个问题给出了完满的解答.     

信息融合-分离与隐性属性的显性特征

基于具有属性合取特征的动态数学模型与信息融合的交叉,给出了信息融合与信息分离生成的复合概念:信息融合-分离,给出了融合度量、分离度量与信息融合-分离属性定理,给出了隐性属性的显性化原理,给出了信息融合-分离的加密-解密及其安全获取。利用这些理论结果,给出它在案例侦察、证据获取与案例结论的安全认证的应用。