关于Pell方程x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4的公解

该文证明了：1) 若p1，…，ps是不同的奇素数，则当D＝p1…ps(1≤s≤3)时除开D为11,11×89×109,11×97×4801外，方程组G：x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4仅有平凡解(x，y，z)＝(±5，±2,0)；2)若D是无平方因子正整数，则当D为偶数且D没有适合p≡1(mod 24)以及p≡7(mod 24)的素因数p，则方程组G仅有平凡解(x，y，z)＝(±5，±2,0).     

关于不定方程组x2－22y2＝1与y2－Dz2＝1764的公解

利用Pell方程的解的性质及递归序列的方法,证明了不定方程组x2－22y2＝1与y2－Dz2＝1764有以下结果：当D＝2p1…ps,1≤s≤4(p1,…,ps为互异的奇素数)时,此方程组的整数解为(i)D≠2×77617时,仅有平凡解＝;(ii)D＝2×77617时,有非平凡解＝和平凡解＝.当D＝pm(m∈Z＋,p为任意素数)时,其整数解只有平凡解＝.     

关于Pell方程x2－2y2＝1与y2－Dz2＝4的公解

设p1,…,ps是不同的奇素数,证明了当D=2p1…ps,1≤s≤6时,除了D为2×17,2×3×5×7×11×17及2×17×113×239×337×577×665857外,不定方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±3,±2,0).     

关于不定方程组x~2-26y~2=1与y~2-Dz~2=100的公解

利用递归序列的方法及Pell方程解的性质证明了不定方程组x~2-26y~2=1与y2-Dz2=100的解的情况如下:ⅰ)当D=2p1…ps,1≤s≤4时,其中p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数。除开D=2×7×743,方程组有非平凡解(x,y,z)=(±530 451,±104 030,±1 020)这一基本情况之外,仅有平凡解(x,y,z)=(±51,±10,0)。ⅱ)当D=2~n(n∈Z+)时,方程组只有平凡解(x,y,z)=(±51,±10,0)。     

关于Pell方程组x^2-42y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解

利用同余、递归序列、分解因子、奇偶分析等方法以及解的性质,研究了当D=2p 1…ps(1≤s≤4),其中p 1,…,ps是互异的奇素数时,Pell方程组x^2-42y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解。得到除了D=2×337外,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±13,±2,0)。     

不定方程x2-72y2=1与y2-Dz2=4的公解

设P1,…,Ps是不同的奇素数,证明了：当D=2p1…Ps（1≤s≤4）时除开D为D=2×577外,不定方程组x2-72y2=1与y2-Dz2=4仅有平凡解（x,y,z)=（±17,±2,0)。     

关于不定方程x2－2y4＝M(M＝17,41,73,89,97)

运用递归序列、同余式以及平方剩余的有关性质,证明了：1)不定方程x2－2y4＝17仅有正整数解(x,y)＝(7,2)和(23,4);2)不定方程x2－2y4＝89仅有正整数解(x,y)＝(11,2)和(91,8);3)不定方程x2－2y4＝41(73,97)没有正整数解.     

关于不定方程组x~2-14y~2=1与y~2-Dz~2=16的公解

设p_1,p_2,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,利用递归数列、Pell方程解的性质证明了当D=2p_1p_2…ps(1≤s≤4)时,不定方程组x~2-14y~2=1与y~2-Dz~2=16的整数解如下:当D=2×449时,方程组仅有解(x,y,z)=(±13 455,±3 596,±120)以及解(x,y,z)=(±15,±4,0);当D≠2×449时,方程组仅有解(x,y,z)=(±15,±4,0).     

Pell方程组x2-56y2=1与y2-Dz2=4的公解

利用同余、递归序列、分解因子、奇偶分析等方法,再结合Pell方程解的性质,研究了当D=2P1,…,Pk(1≤k≤4),其中P1,…,Pk是互不相同的奇素数时,Pell方程组x2-56y2=1与y72-Dz2=4的公解.得到了如下结论:当D≠2×449时,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±15,±2,0);当D=2×449时,除了平凡解外,还有非平凡解(x,y,z)=(±13455,±1798,±60).     

关于不定方程组x~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=16的解

设p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,D=2p_1…p_s(1≤s≤4),不定方程组x~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=16仅当D=2×97时有非平凡解(x,y,z)=(±1351,±1780,±56).     

关于不定方程组x2-5y2=1与y2-Dz2=16的公解

运用Pell方程的解的性质、递归序列和同余等初等方法讨论了当ps(1≤s≤4)是互异的奇素数，* 时，不定方程组x2-5y2=1与y2-Dz2=16仅当D=2t×7×23(t=1,3,5,7)时有正整数解。（注:*处代表公式）
     

关于不定方程x2-7y4＝93

不定方程x2-Dy4＝C(其中D,C为给定的整数,且D＞0为非平方数)曾引起许多人的兴趣,Cohn,Tzanakis,黎进香等都对此类方程进行过研究.本文讨论了不定方程x2-7y4＝93正整数解的情况.所用方法是先用Pell方程将x2-7y4＝93的可能整数解进行分类,使其包含在几个式子里面,然后对这几个式子取模,借助于平方剩余的理论缩小解的范围,同时还利用了一些初等的证明方法,如递推序列,同余式.最后证明了不定方程x2-7y4＝93仅有正整数解(x,y)=(10,1),(130,7).     

关于Euler一致型方程x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2

设D1,D2是无平方因子正奇数.证明了:当D2 ±1(mod 8)或D2 1,3(mod 8),则方程组x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2没有本原整数解(x,y,s,t).     

方程xp±y2p=z2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp y2p=z2 仅有整数解 16 2 3 =32 ;方程x2p 2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p 2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.     

On the integer solution of Peil's equation x2-2y2=1 and y2-Dz2=4

设P1,…,P(2)是不同的奇素数,证明了当D=2P1…Ps,1≤s≤6时,除了D为2×17,2×3×5×7×11×17及2×17×113×239×337×577×665857外,不定方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±3,±2,0).     

关于不定方程 x3±8＝19 y2

通过运用Pell方程、递归序列、同余式、平方剩余和雅克比符号等初等数论的方法,证明了:不定方程x3+8=19y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(62,±112);不定方程x3-8=19y2仅有整数解(x,y)=(2,0),(3,±1),(14,±12).证明过程中,纠正了不定方程x3-1=38y2的整数解只有(x,y)=(1,0)的结论,给出不定方程x3-1=38y2的全部整数解仅有(x,y)=(1,0),(7,±3).     

关于Pell方程x2-2y2＝1和y2-Dz2＝4的一个注记

证明了当D=kⅡi=1 PilⅡj=1 qj,其中pi,qj皆为互异的奇素数,Pj≡5(mod 8)或Pi≡7(mod 8),Qj≡3(mod 8)时,Pe11方程x2-2y2=1和y2-Dz2=4仅有平凡解z=0.     

关于Euler一致型方程x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2

设D1,D2是无平方因子正整数.该文给出了方程组x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2有本原整数解(x,y,s,t)的必要条件.     

关于Diophantine方程x^p－2^p=pDy^2

设p是奇素数,D是无平方因子正整数.本文证明了:当p>3时,如果D不能被p或2kp 1之形素数整除,则方程xp-2p=pDy2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

Diophantine方程组x2-Dy2=s2和x2-(D+2)y2=-t2有本原整数解的必要条件

证明了:若D是无平方因子正奇数,当D■3(mod 4)时,方程组x2-Dy2=s2和x2-(D 2)y2=-t2没有本原整数解(x,y,s,t).