图的圈长分布和圈长分布唯一的图

阶为ｎ的图Ｇ的圈长分布是指序列（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ），其中ｃｉ是Ｇ中长为ｉ的圈数．若不存在，使Ｇ’与Ｇ有相同的圈长分布，则称图Ｇ是圈长分布唯一图．本文确定了Ｋｎ－Ａ（｜Ａ｜＝ｊ，ｎ≥｜Ａ｜＋３）的最小、最大的４圈和５圈数．证明了当ｎ≥９时，Ｋｎ－Ａ（｜Ａ｜＝４）以及当ｎ≥１４时，Ｋｎ－Ａ（｜Ａ｜＝５）都是圈长分布唯一图．     

一类由圈长分布确定的图

阶为ｎ的图Ｇ的圈长分布是序列（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ），其中ｃｉ是Ｇ中长为ｉ的圈的数目．本文证明了下述结果：设Ａ　Ｅ（Ｋｎ），｜Ａ｜３，ｎ≥｜Ａ｜十３，，则Ｋｎ—Ａ是由它的圈长分布确定的．     

偶图Kn，n＋8-A（｜A｜≤3）的圈长分布唯一性

阶为n的图G的圈长分布是序列（c1，c2，…，cn），其中ci是图G中长为i的圈数．设A真包含E（Kn,n＋8），在情况①G=Kn,n＋8（n≥13）；②G=Kn,n＋8-A（｜A｜=1，n≥15）；③G=Kn,n＋8-A（｜A｜=2，n≥17）；④G=Kn,n＋8-A（｜A｜=3，n≥19）时，图G由其圈长分布唯一确定．     

由圈长分布确定的偶图

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，作者得到如下结果：设n≤r≤min{n 6，2n-3}，则Kn,r是由它的圈长分布确定的。     

偶图Kn,n-A(|A|=6)圈长分布的唯一性

阶为v的图G的圈长分布是序列（c1,c2,…,cv）,其中ci是图G中长为i的圈数．计算了Ka,a-A（A∈E（Ka,a）,｜A｜=6）的4圈数,以及证明了Ka,a-A（｜A｜=6,n≥22）是由它的圈长分布确定的．     

完全图Kn和完全偶图Km,n中的圈数

通过建立ｉ个不同元素的项链排列集合与Ｋｉ和Ｋｉ，ｉ中不同的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈集合间的双射，计算出了Ｋｎ和Ｋｍ，ｎ中所有不同圈的总数及这两类图中经过给定长的任一条路的所有圈数     

由圈长分布确定的偶图的几个定理

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，得到如下结果：(1)设A包含于E(Kn，n)，则当Kn，n[A]≌K1，j或Kn，n[A]≌K2时，Kn，n－A是由它的圈长分布确定；(2)设A包含于E(Kn，n，|A|=4，n≥11，则Kn，n－A是由它的圈长分布确定的。     

偶图Kn,n+8-A(│A│≤3)的圈长分布唯一性

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1,c2,…,cn),其中ci是图G中长为i的圈数.设A(∈)E(Kn,n+8),在情况①G=Kn,n+8(n≥13);②G=Kn,n+8-A(│A│=1,n≥15);③G=Kn,n+8-A(│A│=2,n≥17);④G=Kn,n+8-A(│A│=3,n≥19)时,图G由其圈长分布唯一确定.     

关于唯一r－偶泛圈图

设ｒ是不小于４的偶数，一个阶为ｖ（ｖ为偶数）的偶图Ｇ称为唯一ｒ－偶泛圈图，如果对每一偶数ｔ（ｒ≤ｔ≤ｖ），Ｇ恰含一ｔ圈，而不含长小于ｒ的圈。若Ｇ是唯一ｒ－偶泛圈图，则称Ｇ为ｒ－ＵＢ图，设Ｇ是ｒ－ＵＢ图，Ｃ是Ｇ的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈，本文约定Ｇ中不在圈Ｃ上的边全画在Ｃ的内部，并称这些边为Ｇ的桥．如果Ｇ的一条桥的两个端点在圈Ｃ上分离另一条桥的两个端点，则称这两条桥是交叉的．有ｎ对交叉桥的ｒ－ＵＢ图称为ｒ－ＵＢ［ｎ］图．本文确定了所有ｒ－ＵＢ［１］图．     

点泛圈偶图

设Ｇ是连通偶图，（Ｘ１，Ｘ２）是其顶点的二分类，｜Ｘ１｜＝｜Ｘ２｜＝ｎ，δ（Ｇ）≥ｔ≥３，且对于Ｘｉ中的任意两点ｕ和ｖ，均有｜Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）｜≥ｎ－（ｔ－２），ｉ＝１，２，文中对ｔ≤６的情况，证明Ｇ是点泛圈偶图。     

有向图的有向圈长分布

阶为v的有向图D的有向圈长分布是序列(c_1,c_2,…,c_v),其中C_i是D中长为i的有向圈的数目。设0≤x_i≤v-i-1,证明了存在v个顶点的有向图D,使D的有向圈长分布为(0,0,x_1,x_2,…,x_(v-3),1),并且给出了具有有向圈长分布为(0,0,x_1,x_2,…,x_(v-3),1)的有向图的最大可能的弧数以及具有有向圈长分布为(0,0,k,k,…,k,k-1,…,3,2,1)(其中1≤k≤v-2)的有向图的最小可能弧数的上界。     

二分图中含有大圈的2-因子

设G=(V₁,V₂;E)是一个二分图,其顶点数目满足|V₁|=|V₂|=n≥(k+1)s+1,s和k是满足s≥3并且k≥1的两个正整数. 定义σ_1,1为图G的属于不同分划中的不相邻顶点的最小度和,证明了如果σ_1,1(G)≥2[(1-1/s)n]+2, 则G有一个2-因子包含至少k个圈,使得每个圈的长至少为2s.     

唯一偶泛圈图的一个定理

设G是一个偶图,u是偶数且是G的阶,若对每个偶数t,4≤t≤v,G恰有一个长为t的圈,则称G是唯一偶泛圈图（简称UB－图）。作者证明恰有6个v 4条边的UB－图。     

至多有2个等长圈的简单图的最大边数

设Sn是具有n个顶点至多有2个等长圈的简单图的集合。若Sn中不存在图G’使|E(C’)|>|E(G)|,Ng称G是简单的最大图分布(2)图(简记为简单MCD(2)图)。用f~*(n,2)表示具有n个顶点的简单MCD(2)图的边数。作者证明了f~*(n,2)≥(n-l)+[1/2(11n-20)~(1/2)]且当3≤n≤10时等式成立。     

非连通图Gn-1k∪i=0C3i（2n＋1）的优美性

证明了当自然数n≥2时,非连通图Gn-1k∪i=0 C3i（2n＋1）是优美图,其中C3i（2n＋1）是有3i（2n＋1）个顶点的圈（i为自然数）,Gn-1是任意一个有n-1条边的优美图.     

拟无爪图的完全圈可扩性

拟无爪图是比无爪图更广泛的图类.证明如下结论:(i)顶点数 n ≥ 3 的连通、局部连通的拟无爪图是完全圈可扩的;(ii)若 G2是顶点数 n ≥ 3 的连通的拟无爪图,则G2是完全圈可扩的.这些结论推广了无爪图及拟无爪图中的相应结论.     

完全二部图的S(n)={Ki:1≤i≤n}-因子数

本文给出了路、圈、正则二部图的S^(n)={Ki：1≤i≤n)-因子数。