一维波动方程的适定边值问题

双曲方程边值问题的适定性取决于边界性状。本文给出一维波动方程的“第一边值问题”在一类区域中解的表达式,进而证明了解的存在性和唯一性。     

一维波动方程的对顶点定理

证明了无限长弦的振动方程的解满足对顶点定理,利用该定理求解了古尔沙问题和达布问题．     

具奇异非线性项p-Laplace方程Dirichlet问题解的存在唯一性

针对p-Laplace方程拟线性及非线性项在边界上的奇异特征,运用弱比较原理、上下解方法得到了该方程解的存在唯一性,证明了一类奇异拟线性方程边值问题的解的存在性和唯一性.通过研究该问题的逼近问题的解的存在性,得到了该问题的解存在且唯一,并且逼近问题的解收敛于该类问题的解.此外,还研究了一类奇异拟线性椭圆方程Dirichlet问题解的存在性,该类问题主要运用了上下解方法等得到了其解的存在性,并且通过证明其逼近问题解的存在性,得到了该类奇异拟线性椭圆方程Dirichlet问题解的存在性,所得到的解是弱解.     

热传导方程随机Dirichlet问题解的唯一性

本文就热传导方程讨论了其随机 Dirichlet 问题解的唯一性。得到了使其唯一的最一般条件,推广了 J.L、Doob 的结果。     

求解波动方程混合问题的曲线积分法

传统的求解一维波动方程混合问题的方法是分离变量法,进而求出该问题的Fourier级数解.本文首先用特征线将求解区域分割成若干个小区域,然后在每个小区域内用曲线积分法求出该问题的解,最终给出该问题在求解区域内解的显式表达式.     

一维随机微分方程解的存在性与唯一性条件

本文利用随机时间变换及漂移变换方法,证明了具有可测系数的泛函型随机微分方程dX(t)=σ(t,X)dB(t)+b(t,X)dt,在没有σ和b的有界性和一致正定性条件下,其弱解的存在性;给出一个具有解唯一性的充分条件。     

一维波动方程混合问题的通解

一维情形下波动方程的混合问题(初边值问题)是一类重要的物理模型,常用求解方法是波的反射原理,计算特征线在边界上的反射次数得出问题的解,但是弊端在于计算量大,且没有通用的求解公式,并不能反映出波的反射实质,另一种方法是Fourier级数法,利用分离变量将原方程化为常微分方程组,再利用常微分方程特征理论得出级数解,同样不易计算。为了简化计算过程,先对初值条件φ(x),ψ(x)根据边值条件进行相应的奇偶性延拓,可将原问题化简为初值问题,由D’Alambert公式给出问题在R上的解,再将问题的全局解限定在有限区间[0,l]上得出通解公式,结果具有一般性。     

一维拟线性退化抛物方程的Dirichlet问题

考虑了一类一维拟线性退化抛物方程的Dirichlet问题,证明了其弱解存在性,主要思想是采用了压缩半群的方法,首先构造了一个耗散算子A0,然后用正则化方法和椭圆方程理论,证明了方程u-λA0u=v存在惟一解.结合指数公式,在L1(Ω)上就可以构造压缩半群S(t)v.最后证明了由压缩半群构造的解S(t)u0满足方程.     

拟线性椭圆型方程Dirichlet问题非平凡弱解的存在性

研究了一类具有非光滑泛函的拟线性椭圆型方程的渐近线性问题.利用非光滑泛函的临界点理论,采用截断函数法并结合弱解的意义,证明了这一类与非光滑泛函相对应的Euler-Lagrange方程当其右端项f(x,t)关于t在无穷远处渐近线性时非平凡弱解的存在性.     

非Newton多方渗流方程Cauchy问题弱解的惟一性

对于非Newton多方渗流方程ut=div(|(Δ)um|p-2(Δ)um),(m≥1,p≥2)Cauchy问题解的惟一性,本文在给出了一般意义上的弱解定义之后,在假设初值满足0≤uo(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)的条件下,得到了一个新的结果.在证明中首先应用了Steklov均值方法得到一个关键恒等式,其次应用partial summation技巧和处理关于空间和时间双变量的Kruzhkov方法论证了一个比较定理,最后证明了Cauchy问题弱解的惟一性.     

四阶非线性波方程整体解的存在唯一性

梁和板振动是重要的物理现象,在数学上通常用四阶非线性波动方程来研究,所以探讨四阶波动方程具有重要的理论价值和实际意义。方程解的存在唯一性是研究方程解的性态和分析解的性质的前提和基础。本文研究了四阶非线性弱阻尼波动方程uσ＋au1＋△^2=f（t,x,u,▽u）的整体解的存在唯一性。利用了空间序列技巧和能量估计方法,验证了当非线性项f（t,x,u,▽u）满足一定条件时,方程存在整体解;并证明了四阶非线性弱阻尼波动方程整体解的唯一性。本文主要扩展了非线性项,在已有文献中的非线性项为丨u丨^p-1u或者为f（u）,不含有导数,而本文研究的非线性项为厂（t,z,x,u,▽u）,所以适用范围更加广泛。     

共振条件下的半线性波动方程的周期Dirichlet 问题

利用minmax原理的一个非变分形式和Galerkin方法,在共振条件下证明了半线性波动方程的周期Dirichlet问题的一个存在唯一性结果,推广了现存的结果.     

一类粘性扩散方程弱解的存在唯一性

主要考虑一类粘性扩散方程u/t-λΔu/t-div(g(|▽Gσ*u|)▽u)=0的Neumann边值问题。此类方程也称为伪抛物型方程,它具有丰富的物理背景,在土壤力学、热传导及流体力学中有着广泛的应用,与图像恢复也有着密切联系。主要利用不动点方法证明其弱解的存在性,进一步证明弱解的唯一性。     

具有很弱边界值的非齐次(A)-调和方程弱解的唯一性

在边界值很弱的条件下，利用容量的性质及Sobolev空间的嵌入技巧，证明了非齐次A-调和方程弱解的惟一性．     

关于非线性椭圆型方程径向对称解的唯一性

证明了一类非线性椭圆型方程径向对称解的唯一性。     

半线性波动方程组周期解的存在唯一

利用Ｂａｎａｃｈ 空间中同胚方法得到了半线性波动方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题渐近非一致条件下周期解的存在唯一性的几个定理．     

波动方程组的椭圆余弦波解

利用Jacobi椭圆函数得到了非线性波动方程ht (hu)x uxxx=0 uxxt-ut-hx-uux-0 ut hx uux=0 ht ux=0的椭圆余弦波解及若干性质。