关于丢番图方程｜3x-2y｜=p解的非唯一性问题

设p为素数.2005年周科证明了p=41,43,53,59,67,71时,方程|3x-2y|=p无非负整数解.2007年周科证明了p=83,87,97时,方程|3x-2y|=p无非负整数解.该文证明当p=5,7,13,23时,方程有超过一组的整数解,并给出所有整数解.     

方程xp±y2p=z2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp y2p=z2 仅有整数解 16 2 3 =32 ;方程x2p 2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p 2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.     

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py~n

设p为奇素数.证明了:①若整数n>2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1);②若整数n=2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn在p■1(mod 8)时仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1),(3,2,2),(3,48,140),(11,98,210);在p≡1(mod 8)时的正整数解为(p,xn,yn)=(p,16t2n,4untnsn),这里p,un,tn,sn满足sn+2=6sn+1-sn,s1=3,s2=17,tn+2=6tn+1-tn,t1=1,t2=6及pu2n=16t2n+1.     

一个三次Diophantine方程的初等解法

针对三次Diophantine方程x的立方加减1等于2倍p1,p2,…,直至pi(i≥2)(其中pi(i≥2)与1对模6同余,且pi(i≥2)为互异的奇素数)与y的平方之积的整数解问题至今仍未解决的问题,主要利用同余式、平方剩余、递归序列、Pell方程的解的性质得出了Diophantine方程x的立方加减1等于2倍p,q(其中p与q对模6同余,且p,q为互异的奇素数)与y的平方之积无正整数解的两个充分条件,从而推进了该类三次Diophantine方程的研究.     

整数幂模p剩余的差的均值

设p是奇素数,l,m为满足l■m(mod p-1)的正整数,利用三角和的方法研究了整数的m次幂模p剩余与l次幂模p剩余之差的2k次均值,并得到渐近公式。     

关于Diophantine方程x~3±1=2py~2

设p是奇素数,证明了当p=6(4s+1)+1,其中s是非负整数时,方程x3-1=2py2仅有整数解(x,y)=(1,0);当p=6(4s+2)+1,其中s是非负整数时,方程x3+1=2py2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

x2≡a(modp)的Gauss整数解

对于p≡1(mod4)与p≡3(mod4)两种情况证明了x^2≡a(modp)存在整虚数解，并导出求解方法．又分析了此方程Gauss整数解集合的特性等．     

关于丢番图方程z2=(x(x+1)(x+2))2+(y(y+a)(y+b))2

证明了对任意的整数a,b,方程z~2=(x(x+1)(x+2))~2+(y(y+a)(y+b))~2有无穷多整数解(x,y,z).特别的,当a为偶数以及b=a+2,a+4时,该方程有无穷多组满足x■y的整数解.     

具有位势项的热量方程解的全局存在性与爆破现象

考虑了定义在■上的热量方程u_t=Δu~m-V(x)u+u~p,m,p1,当m+12p时,证明了解的全局存在性.若mp,假设方程的初始数据满足一定的约束条件,证明了方程的解在有限时刻一定发生爆破并获得了爆破时间的上界.如果■且pm+12p,或者N=2且p+1m+12p,确定了爆破时间的下界.     

关于费马大定理(Ⅰ)

这篇文章主要证明了以下结果:1.设p是奇素数,r是充分大的正整数,则方程x~(?)+y~(?)=z~2,(x,y)=1,无整数解.2.如果方程x~(2p)+y~(2p)=z~2((x,y)=1,p(>3)是素数)有整数解,则必有4p|x或4p|y.     

一类丢番图方程的解

本文给出了丢番图方程《x3+p2qy3+pq2z3-3pqxyz=M(M=1、2、3) ,其中p与q为某整数且q>p>0,pq无平方因子》的全部整数解 ,并给出了这些解之间的关系     

关于LCM方程的李-曹猜想的注记

在研究Hong关于定义在gcd封闭集上的幂LCM矩阵［Se］(e为正整数)的非奇异性的一个猜想时,李和曹研究了如下的不定方程(称为LCM方程)：1lcmy1,y2,y3,y4-4i=11yi+1gcd(y1,y2)+1gcd(y1,y3)+1gcd(y2,y3)[SX)]=0.他们首先证明了当ω(y)＜4时,方程无解,这里y=lcm［y1,y2,y3,y4］,ω(y)表示y的不同素因子的个数;然后他们给出ω(y)=4且y=p21p22p23p2m4时,方程有2次幂整数解的必要条件,这里pi为不同素数,m≥1;根据这些必要条件他们接着验证了方程当y≤1 334 025时没有2次幂整数解;最后他们提出猜想：若n≤9,则定义在gcd封闭集S={x1,…,xn}上的平方LCM矩阵［S2］是非奇异的,即LCM方程没有2次幂整数解.本文作者推广了李-曹关于LCM方程有2次幂整数解的研究：首先给出了当ω(y)=4且y=p2m11p2m22p2m33p2m44时,方程有2次幂整数解的必要条件,并给出了当ω(y)≥4时,方程解的表达式(如果存在的话),这里pi为不同素数,mi≥1;然后根据这些必要条件在计算机上验证了方程当y≤260 620 460 100时没有2次幂整数解,进一步支持了李-曹猜想.     

关于丢番图方程|3x-2y|=p

设p为素数.文献中证明了p=41,43,53,59,67,71时,方程|3x-2y|=p无整数解,该文证明当p=83,89,97时,该方程亦无正整数解.     

关于丢番图方程Ax2+By2p=z5

对某些类型的整数A,B以及满足一定条件的素数p,证明了方程Ax2+By2p=z5没有使得xyz≠0且x,y,z两两互素的整数解.     

与阶乘有关的一类单位方程的解

设p1, p2, … , ym为素数, 讨论了由Cipu, Luca 和Mignotte提出的与阶乘有关的一类单位方程P1y1+...+...Pmym=n!的非负整数解, 给出了当(p1, p2, p3, p4) = (2, 3, 5, p), 且p≡7(mod 24) 以及p≡11(mod 12)时方程的全部解, 推广了Cipu, Luca 和Mignotte的已有结果.     

关于|3x-2y|表素数问题

设p为素数,利用数论方法研究了｜3^x-2^y｜表素数问题,证明了当p=41,43,53,59,67,71时,方程｜3^x-2^y｜=p无非负整数解.     

与广义Euler函数φ2(n)有关的两个方程

讨论了与广义Euler函数φ_2(n)有关的两个方程φ_2(x-φ_2(x))=2与φ_2(φ_2(x-φ_2(x)))=2的可解性,利用初等的方法给出了方程φ_2(x-φ_2(x))=2所有的5个整数解,方程φ_2(φ_2(x-φ_2(x)))=2所有的26个整数解.     

关于指数丢番图方程x2+Dm=pn的一个注记

设整数D>2且不是2的幂,p>2是与D互素的奇素数。证明了当D=3,p=13时题设方程恰有两组正整数解(x,m,n)=(2,2,1),(46,4,3)适合2 m,此外,该方程适合2 m的解数不超过1。     

用流函数作台风移行的数值预报方案

预告所用的基本方程是正压涡度方程和平衡方程。且根据无辐散假设把流函数引入了这些方程。预告方程组是根据如下的方法得到的:把台风■分成两部分,即关于台风中心的圆对称■和剩余■。且对相应于这些■的两个平衡方程和两个涡度方程分别求解。于是,我们得到了相应于这两个■的两个方程组,它们是:■此处▽是水平梯度算子。J(A,B)是 A 和 B 的雅可比函数。方程组(Ⅰ)是用 Adem 的方法求解,方程组(Ⅱ)是用数值方法求解。