函数不动点在数学解题中的一些应用

本文以实验来说明函数不动点在数学解题中的一些应用与技巧 ,供读者参考。　　一、函数不动点用于求函数解析式例 1　若 F ( x ) =ax+b ( a≠ 1) ,则 F ( x )的不动点是 b1- a,函数 F ( x)的几次迭代函数的解析式可以用 F( x)的不动点表示为 :Fc… ( F( x) )… )n个 F=an( x- b1- a) +b1- a证明 :用数学归纳法证明如下 :当 n=1时 ,F ( x ) =a( x- b1- a) +b1- a=ax+b,结论正确。设当 n=k时结论成立 ,即Fc… ( F( x ) )… )k个 F=ak( x- b1- a) +b1- a。则当 n=k+1时 ,Fc… ( F ( x) )… )k+1个 F=a· Fc… ( F ( x) )… )1个 F+b=a[a…     

一个不等式的指数推广

给出不等式(1/xai-xai)≥[(n/s)a-(s/n)a]｝n (1/xai-xai)≤[(n/s)a-(s/n)a]｝n和成立的充分条件.这里0＜xi＜1,i=1,2,…,n;α＞0,s=x1 x2 … xn.     

函数Riemann和式的类Taylor级数展开式

如果一元解析函数f(x)无f限阶可导,其Taylor级数展开式f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)/2!x~2+…+f~((k))(0)/k!x~k+…=∞∑k=0f~((k))(0)/k!x~k.本文讨论将一元无限阶可导函数f(x)在区间[a,b]上的Riemann和式b-a/nn∑k=1f(a+k/n(b-a))展开成1/n的级数:b-a/nn∑k=1f(a+k/n(b-a))=A_0+A_1·1/n+A_2/2!·(1/n)~2+···+A_i/i!·(1/n)~i+···可以看到,这个展开式在形式上与函数的Taylor级数展开式非常相似.     

与Gauss-Turán求积公式有关的极小值

对于给定的权函数 dμ(x) ,若存在 n次首 1多项式 P*n (x) (称为 s-正交多项式 )使下列积分F(s,μ) =∫R[Pn(x) ]2 s+ 2 dμ(x)达到极小 ,Pn(x) =xn +an- 1 xn- 1 +… +a1 x +a0 ,则以多项式 P*n (x)的 n个不同零点 x1 >x2 >… >xn- 1 >xn 作为节点的下列求积公式 (称为 Gauss-Turán求积公式 )∫Rf (x) dμ(x) =∑2 sj=0 ∑nk=1Ajkf ( j) (xk) +E2 s,n(f ) .具有代数精确度 2 (s+1 ) n -1 .但我们对 F (s,μ)所知不多 .Milovanovic′在他最近的一篇文章里提出计算 F(s,μ)的值 .本文主要解决了若干权函数下的上述极小值问题     

Banach代数上n-上循环的Hyers-Ulam稳定性

设A是Banach代数,M是BanachA模,从An到M的n元线性映射f:An→M称为n-上循环是指任给x1,…,xn+1∈A都有x1f(x1,…,xn+1)+(-1)n+1f(x1,…,xn)xn+1+nΣi=1(-1)if(x1,…,xi-1,xixi+1,xi+2,…,xn+1)=0.证明了从An到M上的n-上循环是Hyers-Ulam稳定的.     

柯西(Cauchy)不等式的一种证明方法

柯西 ( Cauchy)不等式是指 :( a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤ ( a12 +a2 2 +… +a2n) ( b12 +b22 +…+b2n) ( ai,bi∈ R,i =1 ,2 ,… ,n) ,当且仅当 a1b1=a2b2=… =anbn时等号成立。这个不等式的证明方法很多。现利用二次型理论来证明柯西 ( Cauchy)不等式。证明 :记 f ( x1,x2 ) =( a1x1+b1x2 ) 2 +( a2 x1+b2 x2 ) 2 +… +( anx1+bnx2 ) 2　　 =( a12 +a2 2 +… +a2n) x12 +2 ( a1b1+a2 b2 +… +anbn) x1x2 +( b12 +b2 2+… +b2n) x2 2　　 =X′AX　　其中 X =x1x2　　　 A =Σni=1a2i　　Σni=1aibiΣni=1aibi　　Σni=1bi2　　显然 f …     

关于“Bellman问题的一个证明”一文的注记

指出文[8]中主要结论证明中的问题,证明了如下定理:设x1,x2,…,xn为正整数,且x1+x2+…+xn=m,则存在正整数a1,a2,…,an,使(a1+a2+…+an)tr(A1x1A2x2…Axnn)(A1x1A2x2…Anxn)H≤a1trA12m+a2trA22m+…+antrA2nm对所有Hermite矩阵A1,A2,…,An成立,并由此得到Bell man问题的一个证明。     

单调增加的连续函数的Picard迭代序列的收敛定理

证明了若f:[a,b]→[a,b]为单调增加的连续函数,λ∈(0,1),定义Fλ:[a,b]→[a,b],Fλx=(1-λ)x+λf(x),x1∈[a,b],xn+1=Fλxn=Fλnx1,n≥1,则{xn}单调地收敛于f的1个不动点.     

一类丢番图方程的正整数解

当丢番图方程a1y^21 a2y^22 … an-1y^2n-1=any^2n有一组非平凡的整数解y^*1，y^*2，…，y^*n(y^*n≠0)时，给出了方程a1/x^21 a2/x^22 … an-1/x^2n-1=an/x^2n满足(x1，x2，…，xn)=1的全部正整数解的公式。     

两个与初等对称函数有关的S-几何凸函数

给出了S-几何凸函数和正数对数控制的定义.通过建立两个S-几何凸函数,推广了一个关于初等对称函数的著名的不等式Ek2(x)>Ek-1(x).Ek+1(x),其中x∈Rn+={x=(x1,x2,…,xn)|xi>0,i=1,2,…,n},n≥2,2≤k≤n-1,Ek(x)=Ek(x1,x2,…,xn)=∑1≤i1<…相似文献