基于人工神经网络数值求解Helmholtz方程

本文主要研究运用无网格化的神经网络方法数值求解有界域上的Helmholtz方程边值问题。与基于网格化的传统数值方法相比，无网格化的神经网络方法不会因为精密的网格剖分带来巨大的计算开销和存储开销。首先针对单位正方形区域，提出满足边值条件的神经网络，将其用于Helmholtz方程的数值求解。对于一般矩形区域上的Helmholtz方程边值问题，将通过线性变换，映射成单位正方形区域上的二阶偏微分方程边值问题，再利用上述神经网络数值求解相关问题。最后，通过数值算例，讨论神经网络方法数值求解有界域上Helmholtz方程边值问题的特点，并验证方法的有效性。     

Helmholtz问题具径向基函数的无网格法

构造了Helmholtz方程具径向基函数的无网格方法.通过引入多种径向基函数构造了Galerkin型的无网格方法.文末给出了数值算例,并与有限元方法进行了比较.讨论了无网格方法的数值精度以及径向基函数中参数对其数值解的影响.结果表明具径向基函数的Galerkin型无网格方法是求解Helmholtz方程的一种有效且精度高的方法.     

高斯型径向基函数的切比雪夫配点法

在数值模拟过程中,利用切比雪夫节点代替传统的均匀配点,用高斯型径向基函数方法求解椭圆型偏微分方程边值问题.数值模拟结果表明,基于切比雪夫节点的高斯型径向基函数数值模拟椭圆型偏微分方程边值问题能提高径向基函数的数值模拟精度,可以改进边界处的数值模拟误差.     

高维Poisson方程Cauchy问题的一种数值解法

研究了高维Poisson方程Cauchy问题的数值求解方法，将Poisson方程的cauchy问题的求解归结为先求解Hausdorff矩问题，再求解Poisson方程的混合边值问题。在求解矩问题时，利用积分方程方法设计了高维Poisson方程Cauchy问题稳定化的算法，并对三维Cauchy问题进行了数值模拟。     

二维椭圆方程边值问题拟多重网格预处理迭代法

针对二维椭圆型方程的数值求解问题,结合多重网格法和预处理方法的优点,构造出了一种求解二维椭圆型方程边值问题的迭代方法.数值结果表明,该方法能够有效地提高迭代法的收敛速度,迭代计算得到的数值解逼近精确解的精度高且稳定,较SOR方法有显著的优越性,是数值求解二维椭圆型方程边值问题的一种可靠、高效的方法.     

双互易杂交边界点方法求解Helmholtz方程

提出了一种新的边界类型无网格法——双互易杂交边界点方法,它将杂交边界点法和双互易法结合,来求解Helmholtz方程.该方法将Helmholtz方程的解分为通解和特解两部分,通解使用杂交边界点方法求解,特解则利用径向基函数近似.该方法只需要边界上离散的点,域内少数的点仅仅是为了径向基函数插值.通过数值算例对影响该方法性能的参数进行了研究.数值算例表明,该方法在求解Helmholtz方程时有较高的精度和数值稳定性.     

二阶时域波动方程的无网格方法求解

将径向基函数配点型无网格方法引入二阶时域波动方程的求解中,方程的空间导数采用径向基函数逼近,时间导数采用Crank-Nicolson方法离散,对应的边界条件直接施加在离散的边界数据点上.采用该方法对二维非规则求解域内的波传播问题进行了数值计算,并与有限元计算结果进行了对比分析.结果表明:基于径向基函数配点的无网格方法不但形式简单、易于实施,而且能够有效解决复杂求解域高维的波动问题.     

奇异杂交边界点方法求解泊松方程

用奇异杂交边界点法同双重互易法相结合来求解泊松方程,将泊松方程的解分为通解和特解两部分,通解使用奇异杂交边界点方法求解,特解则利用局部径向基函数近似.该方法输入数据只是求解域上离散的点,不需要额外的方程来计算域内物理量,后处理十分简便.数值算例表明,奇异杂交边界点法在求解泊松方程时具有较高的精度和数值稳定性.     

用径向基函数Galerkin法求两点边值问题

用径向基函数来构造Galerkin型无网格法是一种新型的数值算法,各种数值方法均得到广泛的应用.将其应用于求常微分方程中的两点边值问题,通过对算例中近似解与数值解产生的误差对比,说明用径向基函数Galerkin法稳定性好,且计算精度较高,是一种有效的求解方法.     

非线性热传导方程的Lagrange插值逼近

利用Legendre-Gauss-Lobatto节点为插值节点,构造Lagrange插值多项式,作为基函数展开问题的数值解,逼近有界杆上的非线性热传导方程Neumann边值问题的正确解。给出算法格式和相应的数值例子,表明所提算法格式的有效性和高精度。所给算法也可用于求解其他非线性问题的Neumann边值问题。