常微分方程的化归思想

通过分析一阶微分方程初等解法、皮卡逐步逼近法、高阶微分方程解法、线性微分方程组解法,揭示了常微分方程求解过程中的化归思想,指出正确把握化归思想对培养数学思维能力、应用能力具有重要意义.     

化归思想在常微分方程教学中的应用

通过分析常微分方程(组)的解法及一阶常微分方程解存在唯一性定理的证明,全面总结了常微分方程中的化归思想,并阐述了在常微分方程教学中融入化归思想的意义.     

布希涅斯克(Boussinesq)问题的一种推广

本文在、基础上,讨论一种非线性半空间基本问题的模型。经分离变量化归拟线性的常微分方程组的边值问题,并给出一种数值解法。本工作结果把、作为特例,从而推广了Boussinesq问题。     

解读《微分方程》中的数学思想方法

本文对常微分方程中的数学思想方法进行分析探讨。认为其基本性与重要性可以归纳为：方程、数学模型、化归、逼近思想与抽象化、符号化思想几个方面。     

浅谈几种常用的化归方法

化归思想是中学数学中常用的解题思想。从化归思想的定义可以看出,在化归思想过程中,包括三个基本的要素:化归对象、化归目标和化归方法。化归对象就是我们在原问题中需要转化的成分;化归目标就是我们在化归过程中希望能够达到的目标;而化归方法就是我们进行化归的措施、手段和技巧。     

常微分方程的梯形外推法

利用外推思想,改进了常微分方程初值问题的数值解法-梯形方法,得到了较高精度的常微分方程初值问题的梯形外推加速法,通过算例,验证了该方法是与理论推导相吻合的具有较高精度的常微分方程初值问题的数值解法.     

一阶常微分方程的解法探讨

本文针对一道具体的一阶微分方程,通过运用不同的思想方法和技巧,揭示了一阶常微分方程的常见解法。     

变动参数法在构造辅助函数中的应用

本文采用常微分方程 Lagrange 变动参数法的思想,结合常微分方程边值问题的解法,给出在证明一类数学分析命题过程中构造辅助函数的方法。     

方程组x＇=Ax待定系数法定理

本文给出常系数线性微分方程组的待定系数解法定理,以期节省基础课教材的篇幅。常系数齐次线性微分方程组的解法,在目前通用的《常微分方程》课本中大致有三种:循环列;解expAt;待定系数法.前两种方法理论完善,但计算繁琐,待定系数法省去化若     

边值问题在构造辅助函数中的应用

采用常微分方程Lagrnge变动参数法的思想,并结合常微分方程边值问题的解法,给出在证明一类数学分析命题过程中构造辅助函数的方法.     

非线性长波方程新的复合型精确解

在齐次平衡法和辅助方程法的基础上,引入两种函数变换,把二阶线性偏微分方程转化为二阶常系数线性常微分方程,并通过讨论常微分方程的解来构造一些非线性发展方程的精确解.借助符号计算系统Math-ematica,构造了非线性长波方程新的复合型精确解,验证了方法的有效性.     

一类一阶常微分方程的推广及应用

利用变量变换的方法,给出一类一阶常微分方程的可积性条件及其通解公式.推广了一阶常微分方程及Riccati方程的有关可积性结果,拓展了一阶常微分方程的可积性范围,并举例验证公式的正确性.     

积分微分KP层次方程的精确行波解

对KP层次方程进行积分变换和行波变换得到常微分方程,利用扩展试验方程法把求解常微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题,根据不同情况得到了KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式,这些解的显示表达式是首次求出的.这种方法对于求解非线性偏微分方程十分有效并且能够得到许多新的精确解.     

Gardner方程的自相似解

对Garndner方程通过变换先将其化为mKdV方程,再利用相似变换,化为具有Palinleve性质的常微分方程,最后利用Birkhoff Morgan方法求得Gardner方程的2种渐近自相似解.     

一阶常微分方程若干求解技巧

一般的一阶常微分方程没有通用的初等解法,变量分离方程和全微分方程是一阶常微分方程中最基本的类型,文章以题为例介绍这两类方程求解过程中变换的技巧和规律.     

改进的截断展开法及其在变系数非线性方程中的应用

本文对截断展开法进行了改进.首先,通过行波变换,将偏微分方程(PDE)转化为常微分方程(ODE).然后,在截断展开中,采用了非线性Riccati方程F′=p qF rF2将复杂的变系数非线性方程转变为一组超定代数方程组.再利用计算软件mathematic求解出代数方程组.从而得到变系数非线性演化方程的精确解.我们将这种方法应用于第一类变系数KdV方程和广义变系数KdV方程,得到了一系列精确解,其中包括一组Weierstrass椭圆函数解.这组解可以表示成Jacobi椭圆函数解,在模数m→1或m→0时这组解又可以分别退化为双曲函数解和三角函数解.     

一类一阶常微分方程的可积性条件及应用

本文利用变量变换的方法,给出一类一阶常微分方程的可积性条件及其通解公式.它包含了传统和现代一阶常微分方程及Riccati方程的有关可积性结果,进一步拓展了一阶常微分方程的可积性范围.最后举例验证公式的正确性.     

一类热传导方程逆时反问题的数值解法

讨论一类热传导方程逆时反问题(BHCP)的数值解法.中心差分法的思想是基于对原问题只进行空间离散,转化为一个不适定的常微分方程组的初值问题,然后利用变量变换把该问题转化为一个适定的常微分方程组的初值问题,最后利用Runge-Kutta方法进行数值求解.数值结果说明了数值解与精确解吻合良好.     

(n+1)维Sine-Gordon方程的双周期行波解

将(n 1)维S ine-Gordon方程行波约化,得到一个常微分方程。用未知函数的变换将此方程变换成新未知函数及其导数为变元的多项式型的非线性常微发方程。该常微分方程可用扩展的F展开法求解。利用齐次平衡原则和扩展的F展开法求出了(n 1)维S ine-Gordon方程的Jacob i椭圆函数表示的双周期行波解,在极限情况下可得孤立波解。