两条圆锥曲线相交的判定

直线和圆锥曲线相交的充要条件是由直线方程和圆锥曲线方程导出的一元二次方程的判别式△＞0，但若仅用△＞0来判定两条圆锥曲线相交则是错误的．例1已知椭圆与抛物线y2＝6（y-3/2），当m取什么数值时，椭圆与抛物线有交点？并指明交点个数及位置关系．误解：将y2=6（x-3/2）代入椭圆方程，整理得当△≥0时，两曲线有交点，解-32m＋128≥0得m≤4．当m≤4时，椭圆与抛物线有交点．剖析：上面的解答是错误的．举一个反例，当m＝4时，椭圆是显然它与抛物线y2＝6（x-3/2）无交点．不能用判别式的值来判定两条圆锥曲线是否相交的根本原因在于，圆…     

判别式之妙用

根的判别式（△=b^2-4ac）是一元二次方程（ax^2＋6x＋c=0，其中a≠0）的重要内容，它体现了一元二次方程的根与系数a．b，c之间的密切关系．它的应用十分广泛，运用它不仅能进一步研究根的性质。还可以将其他不容易的问题转化为一元二次方程进行讨论．     

利用二次函数图象讨论二次方程实根的符号

根据二次方程的根的判别式以及韦达定理 ,对一元二次方程实根的符号和方程的系数之间的关系 ,来进行代数方法的讨论。利用二次函数的图象——抛物线的位置 ,即它的对称轴、张口方向以及纵截距 ,对其相应的一元二次方程的实根符号的关系 ,进行讨论。(一 )我们知道 ,二次函数 y=ax2 +bx+c　 ( a≠ 0 )( 1)的图象是抛物线。它的对称轴 x=- b2 a是平行或重合于 y轴的一条直线 ,当 a>0时 ,抛物线张口向上 ;a<0时 ,张口向下。当 ( 1)式的 x=0时 ,则 y=c,即抛物线在 y轴上的纵截距是 c。若令 ( 1)式的 y=0 ,则有 ax2 +bx+c=0　 ( a≠0 ) ( 2 )当 ( …     

质数模的二次同余式的根的状况

关于实系数一元二次方程的根的状况,有下面的定理 a,b,c为实数,a≠0,△=b~2-4ac,方程 ax~2 bx c=0的根的状况为: △>0(?)有两个不同的实根; △X=0(?)有两个相同的实根; △<0(?)没有实根。由此作类比推理,对于质数模的二次同余式,有定理 a,b,c为整数,a≠0(modp),△=b~2-4ac,p为≥3的质数,令 (p-1)/2=K。同余式 ax~2 bx c≡0(modp)的根的状况为:     

求解二阶线性抛物型方程的简便方法

对于含两个自变量x,y的二阶线性auxx＋2buxy＋cuyy＋dux＋euy＋fu＋g=0,当判别式△=b^2-ac=0时,称此方程为抛物型的。本文研究了如何选取适当的变量变换T,使二阶线性抛物型方程化为一阶线性常微分方程,从而简化求解过程。     

借助二次函数的图象讨论 一元二次方程的根

一、问题的提出我们对“m为什么实数时,二次方程(5m 1)x~2 (7m 3)x 3m=0(5m 1≠0)的两个根为正实数?”这一问题,常常作如下解答:若原方程有实根,须判别式△≥0;又若两根皆为正数,根据根与系数关系,须两根之和与两根之积皆为正数。据此,可得不等式组:解得:-3/11≤-1/5·结果是正确的。但是,利用上述方法处理下列两个问题,情形便不相同。“方程X~2 (m-2)x 5-m=0,若二根都比2大,求m的范围。”     

一类含有非线性对数源项的Kirchhoff型方程解的爆破

在初始能量E(0)∈(0,F_1)时,利用能量法证明了如下含有非线性对数源项的Kirchhoff型方程解的爆破性:u_(tt)-M(t)△u+u+(g*△u)(t)+|u_t]~ru_t-△u_t-△u_t+|u|~2u=uln|u|~k.当q1,0r2时,方程的解在有限时间点处爆破;当q≥1,r=0时,方程的解在无限时间点处爆破;q,r取其它值时,方程整体解存在且能量函数具有指数衰减性.     

直线参数方程应用例解

在求解直线和圆锥曲线的交点、弦长等问题时,一般的都用直线方程的点斜式、斜截式或一般式,而忽略了参数方程.实际上,参方程也是直线,好些问题若用参数方程求解,会快捷、简明些.例1 已知抛物线 y~2=2px(p>0)的焦点到直线 l:3x 4y-5=0的距离是2,求直线 l 被抛物线所截的线段的长.解∵抛物线的焦点坐标是(p/2,0),∴有 d=2=|3·p/2-5|/(3~2 4~2)~(1/2),即|3p/2-5|-10,     

谈含字母系数一元二次方程的教学

一元二次方程知识在初中是一个重要的内容.近年来,一些竞赛和中考常出现含文字系数的一元二次方程问题.本文试图联系自己几年来的教学实践,谈一些粗浅看法,同大家商讨.一、在研究二次方程是ax~2 bx c=0时要注意条件a≠0例1、方程(m-8)x~2-2(m-4)x (m 2)=0有两个不等的实数根,求m的范围.误解:由题意△=〔-2(m-4)〕~2-4(m-8)(m 2)>0解之得m<16.这是错误的.应考虑二次项系数m-8≠0.正确的答案是m<16且≠8     

2^k元域上的方程∑（—1）^ia^ix^n—1—i=0

F是一个2^k元域,n是一个正整数,x^n-1-ax^n-2 …… (-1)^n-1a^n-1=0(a≠0)是F上的方程。本文给出该方程在F中有根或没有根的条件,当该方程有根时,则给出根的人数。     

2~k元域上的方程Σ(-1)~ia~ix~(n-1-i)=0

F是一个 2 k 元域 ,n是一个正整数 ,xn -1-axn -2 … (- 1) n -1an -1=0 (a≠ 0 )是F上的方程 .本文给出该方程在F中有根或没有根的条件 ,当该方程有根时 ,则给出根的个数     

p^k元域上的二次方程根的判定

本文中,F是一个p^k元域,0表示F的零元,e表示F的单位元.设方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）是F上的一个二次方程.利用扩域的理论,讨论它的根,完整地给出了它在F中的根的状况：两个不同的根、两个相同的根、没有根,确定了有根的必要充分条件,定义了根的判别式.同时,研究了另外两类相关的方程.     

中世纪数学家阿尔·胡塔里及其代数著作

主要研究中世纪著名数学家伊本·土热克·阿尔·胡塔里和他的有关一元二次方程的学术著作,他与同时代的花拉子米一样,研究了一元二次方程的一般解法,并给出了二次方程的求根公式.不同的是他运用判别式来讨论一元二次方程解的情况,指出当判别式小于零时一元二次方程没有实根并给出了严格的几何证明.     

具有奇异振动外力项的非自治修正Swift-Hohenberg方程一致吸引子的一致有界性和收敛性

考虑当ρ∈[0,1)和ε0时,具有奇异振动外力项的非自治修正Swift-Hohenberg(S-H)方程u_t+△~2u+2△u+au+b|▽u|~2+u~3=g(x,t)+ε~(-ρ)h(t/ε),和相应的ε=0时的S-H方程u_t+△~2u+2△u+au+b|▽u|~2+u~3=g(x,t),在外力项g∈L_b~2(R;L~2(Ω)),h∈L_n~2(R;L~2(Ω))的条件下,得到第一个方程一致吸引子A~ε的一致有界性;进一步当ε→0~+时,证明A~ε收敛到第二个方程的吸引子A~0.     

半线性椭圆方程△u+λ√(u-b)2+ε=0的解

探讨半线性椭圆方程:{△u λ√(u-b)2 ε u=0 OΩ =0,Ω当λ∈(λ1,λe)时,解的确切个数.本文的目的就是使用一种间接方法,通过研究转向点的方向,来确定方程(1)正解的确切个数.     

构造法解题浅析

纵观一些数学竞赛题 ,要求知识面广 ,难度大 ,题型新颖 ,具有创新性特征 ,有不少试题在形式结合上独有其特征。如果善于抓住其内在特征进行联想、发散 ,将欲解的问题恰当地构成另一个数学模型 (如方程、复数、不等式、函数、图形等 ) ,那么往往可以化繁为简。这种解题方法 ,习惯称为构造法。下面分类举例浅析。　　一、构造方程解题例 1　已知 a、b、c是实数 ,试确定最大的 c,使 a+b+c=5,ab+bc+ca=3分析 :由题设条件可变为 a+b=5- cab=3- c( 5- c) 联想根与系数关系构造一元二次方程 ,然后用判别式即可获解。解 :由题设构造以 a、b为两根的…     

P^k元域上的二项方程和三项方程根的状况

F是一个p~k元域,n是一个正整数,x~n=d与ax~(2n)+bx~n+c=0(a≠0)是F上的方程。本文中给出方程x~n=d与ax~(2n)+bx~n+c=0(a≠0)在F中有根或没有根的条件。若方程有根,则给出根的个数。     

二元二次方程表示直线的判定及直线方程的一种简便求法

在一些省、市自治区中学生数学竞赛中,经常看到一些关于含有参数的二元二次方程,在什么条件下表示直线的问题。为便于中学生对这一类问题的讨论,本文给出二元二次方程表示直线的充分必要条件,以及当二元二次方程表示直线时,求其直线方程的一种简便方法.设ax~2+bxy+cy~2+dx+dy+∫=0 (1)是 a、b、c 不同时为零的实系数二元二次方程.利用方程(1)的系教.令△=b~2+Aac,     

“《关于方程α^x=logα^x解的范围》的质疑”的再探究

文[1]对指数函数y=α^x与其反函数y=logα^x（α〉0，α≠1）图像的公共点个数问题作了结论．当α〉1时所作结论是正确的，但是当α∈（0，1）时认为函数y=α^x与函数y=logα^x的图像有惟一的公共点是错误的．     

双辊铸轧凝固层焊合点位置判别式的研究

在建立旋转坐标系和引进虚拟系统条件下,根据傅立叶传热微分方程,建立了双辊铸轧过程中凝固层焊合点位置的判别式K=d-4asη2ω-1arcsin(H/R)+s20+s0,由该式能够推断出凝固层焊合点的位置,即当K=0时,凝固层焊合点位于辊缝之间;当K>0时,凝固层焊合点位于辊缝之上;当K<0时,凝固层焊合点位于辊缝之下.根据这一判别式,为确保凝固层焊合点位于理想位置,铸轧速度、熔池高度和辊缝宽度三者之间应满足:arcsin(H/R)=(d+2s0)dω/4asη2.