关于Lebesgue积分理论中按测度收敛问题的教学研究

在实变函数教学中,与按测度收敛有关的问题一直是一个难点.本文研究了按测度收敛在Lebesgue积分理论中的运用技巧,并给出了可测函数列按测度收敛与其Lebesgue积分的极限二者之间关系的一个新结果.     

Hausdorff测度的规范化处理

讨论了Hausdorff测度的规范化问题,给出了球覆盖下规范Hausdorff测度的定义,获得了其与任意超平面中的Lebesgue测度在数值上的关系.证明了在整数维时,规范Hausdorff测度与任意超平面中的Lebesgue测度在数值上是相容的.并通过实例说明了Hausdorff测度规范化的意义.     

凸函数的扩充单调性及其在积分上应用

讨论了凸函数的连续性和有界性,定义了扩充单调的概念,以此为基础给出了开区间内和闭区间内凸函数的扩充单调性质,并将该性质应用在可积函数上,得到了一个判断n阶积分的凸性和单调性的方法.     

广义λ测度及其分解

文献[1]提出了g_λ测度的概念,本文将此概念拓广为λ测度。进一步又定义了广义λ测度,并讨论其Hahn,Jordan和Lebesgue分解等问题。     

关于维他利复盖定理

维他利(Vitali)复盖定理在实变函数的理论中具有极其重要的意义。在经典的实变函数教科书〔1〕和〔2〕中已有详细论述,但它们都限于勒贝格测度,本文对实轴上的点集把维他利复盖定理推广到连续的(?)测度。设E是实轴R,中任意点集,在R_1上定义了连续的正度量(?)〔2〕,则有如下定理。定理设E依照维他利的意义被一闭区间集M所复盖:即对于E中任意一点x及任意一个正数ε,M中有一闭区间i满足     

有关Hausdorff测度的两类覆盖形式

讨论了测度定义的具体覆盖形式,在普通球覆盖的基础上引入了广义球覆盖.利用两类球覆盖给出了Hausdorff测度定义的两种形式,并证明了在维数大于零时两种定义形式是等价的.指出了可数覆盖具有拒零性,Hausdorffδ-测度当δ为零时不存在,同时Lebesgue零维测度也没意义.计数测度在形式上不能统一到Lebesgue测度里,也不能统一到普通球覆盖下的Hausdorff测度里.只有在广义球覆盖下,才能形式上统一到Hausdorff测度中.同时,与普通球覆盖相比,利用广义球覆盖来定义测度,会使许多证明得以简化.     

单调集值测度空间上的Lebesgue与Egoroff型定理

对一类取值于m维正欧氏空间子集上的单调集函数,引进了单调集值测度的概念,定义了单调集值测度的连续性.在此基础上,给出了单调集值测度空间上可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛、几乎处处一致收敛等概念,并且讨论了它们之间的关系,将经典测度论中的Lebesgue定理、Egoroff定理等重要结论推广到了单调集值测度论中.     

Lebesgue测度与Lebesgue积分的简化定义

给出了Lebesgue测度与积分的简单定义，并通过此定义作出了一系列命题的简单证明，对Lebesgue积分取代Riemann作了初步的探索尝试。     

开区间连续函数的最大(小)值

本文将微积分中闭区间连续函数最大(小)定理推广到开区间内连续函数,在一定条件下证明了在开区间内连续函数最大(小)值的存在性,并在此基础上给出了一个求开区间内连续函数最大(小)值的一般方法.     

一个新的CANTOR集合的构造及其运用

<正> 一、前言在实变函数里,我们是这样构造Cantor集合的:将封闭的区间[0,1]均分为三段,删去中间的开区间(1/3,2/3),剩下两个闭区间[0,1/3]、[2/3,1],又把这两个闭区间都均分为三段,删去中间的两个开区间,即(1/9,7/9)和(7/9,8/9)。如此继续下去,自然有些点是永远删不去的,所有这些永远删不去的点作成的点集C称为Cantor集合。该集合C不包含任何区间,即于任意区间[α,β],恒有[α,β]-E≠0,且集合C是一个完备集     

关于测度论的一点注记

目前在建立测度理论方面有多种不同的方式,其主要的不同在于可测集合的定义。第一种理论是先讨论有界集合,如果某有界集合E的外测度m~*E和内测度m_*E相等就定义E为可测集。这样定义比较直观,但是在整个理论的展开上比较复杂麻烦。第二种理论是只引入外测度的概念,对任何一个集合E若它对任何一个集合T都     

分析学第3卷

本书是瑞士和德国两位学者撰写的分析学高级教材,全书共4卷,德文原版于2000年前后陆续问世。 本卷论述现代积分理论,包括第9—12章。9．测度论基础,给出关于线、面积、体积及高维空间中的集合的度量的一般性理论,包括可测空间、测度和外测度的概念,可测集的构造,最后建立Lebesgue测度;10．积分的系统理论,讨论了Lebesgue空间、卷积和Fourier变换,并着重研究了n维Bochner—Lebesgue积分,这是偏微分方程的现代理论必不可少的数学工具;     

Fuzzy向量测度及其积分

本文首先在欧氏空间Ｒ￣ｍ中引进序“≤”关系,定义了取值于Ｒ中的Ｆｕｚｚｙ向量测度。在第三部分讨论了取值于Ｒ中的可测向量函数列的收敛,在第四部分定义了可测向量函数关于Ｆｕｕｚｙ向量测度的积分并讨论了这种积分的收敛性。     

连续偏序集上的测度

给出了连续dcpo上测度的一个内在刻划定理，讨论了连续偏序集乘积上的测度，此外还引入了全有界测度的概念，并讨论了Lebesgue测度与全有界测度之间的关系，同时还研究了测度的核空间的拓扑性质。     

Rolle定理的一个证明

Rolle定理通常在数学分析中是利用闭区间上连续函数的最值性和Fermat定理加以证明的。1979年Abian和Samelson给出了两个利用闭区间套定理的证明,1981年朱水庚给出了一个利用有限复盖定理的证明。本文对Rolle定理是利用Dedekind分划的基本定     

度量测度空间上的Morrey空间和Campanato空间理论

经典的Morrey空间和Campanato空间的理论是在欧氏空间的开集上、运用Lebesgue测度定义的,这些理论在偏微分方程的正则性研究中发挥着非常重要的作用.本文在度量测度空间上定义了Morrey空间和Campanato空间,并讨论了它们的一些性质,推广了经典的Morrey空间和Campanato空间理论.     

哥西定理之推廣

本文主要系构造一辅助函数,从而将哥西中值定理推广到n个函数。茲先讨论三个函数的情形。定理1 设函数f(x),φ(x),ψ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间[a,b]上可微,则一定有这样—点c(a相似文献   

不可测集的性质

研究了不可测集的性质:如果一列互不相交的集合并集的外测度小于外测度的和,则其中至少有两个是不可测集。通过具体例子说明:存在一列互不相交的不可测集使得它们并集的外测度小于外测度的和。     

关于Hausdorff非紧测度

本文讨论Hausdorff非紧测度的一些性质；并利用Hausdorff非紧测度给出完备性的一个刻划；最后利用非紧测度证明了一个较深刻的结论：无限维Banaeh空间中的单位球不能被有限个半径＜1的球所复盖。     

关于正测度Smale马蹄的注记

R.Bowen 利用具有正 Lebesgue 测度的 Cantor 集,构造了一个 C~1映射 f,举出了 f 的不变集∧具有正测度的 Smale 马蹄的一个例子。但文[1]未用符号动力系统语雷完整地证明 f丨_∧拓扑共轭于两个符号的双边 Bernoulli 移位。本文给出了完整的证明,并对 Bowen 的结果作了一些推广。定理存在 C~1马蹄映射 f,其移位不变集具有正的 Lebesgue 测度,且 f丨_∧拓扑共轭于两个符号的双边符号动力系统σ:∑(2)→∑(2).首先引入文[1]描述过的以下结论。引理存在具有正 Lebesgue 测度的 Cantor 集,证明设 I_φ=[a,b],a_n>0,a_n相似文献