一种新数系及其微积分(Ⅲ)——微分与积分

在建立的新数系Ｒｇｓ以及两种极限的等价原理的基础上，初步建立了Ｒｇｓ上的函数与自然扩张函数的某些分析理论，包括函数的连续性、微分、积分等概念的基本定理及公式。这一理论为进一步展开非标准微积分的内容提供了一个基础。最后，对非标准分析的作用与前途作了简略的分析。     

论极限方法

(一) 问题的提出近年来,国内数学界的同志学习马克思的《数学手稿》,努力学会运用唯物辩证法,探讨微积分的理论基础,并分析和研究当代数学发展中提出的新问题——非标准分析。这样,对极限方法如何正确评价和理解的问题,就显得更为突出了。不少同志在这方面发表了很多意见。本文试图以唯物辩证法的观点为指导,结合非标准分析的成果,对极限方法从哲学基础等各个方面进行探讨,并对极限方法的实质提出新的理解。     

马克思对微分学历史的科学总结——学习马克思《数学手稿》体会之一

伟大的无产阶级革命导师马克思,从革命斗争的需要出发,十分注意研究自然科学。从十九世纪五十年代到八十年代,大约三十年左右的时间,马克思一直没有停止对数学的研究。在此期间,他写下了大量的关于数学的读书笔记和研究心得。内容包括关于初等数学及其历史的研究;关于微积分发展历史的研究;关于微积分基本概念(函数、导数、微分、积分和泰勒级数)的研究,特别是关于导数与微分概念的辩证本质的研究。正如恩格     

什么是微分及其本质?——学习马克思《数学手稿》体会之二

自从微积分这门学科于十七世纪后半叶问世以来,关于它的基本概念及理论基础问题引起了长期的争论。最近几年以来,我国数学界很多人认真学习马克思的数学手稿,努力运用辩证唯物主义批判数学领域里的唯心主义和形而上学,热烈开展对微积分基本概念及理论基础问题的讨论。究竟什么是微分其及本质?什么是无穷小量、极限和导数的本质?     

空间解析几何课程改革的探索

空间解析几何是数学学科的专业基础课程,为后续的高等几何、微分几何及多元函数微积分等课程的学习奠定了基础,且已被广泛应用于物理学、天文学等其他自然学科中.但现行该课程的教材内容、课程设置、课堂成效、师范生的师范性等方面都存在不足之处.本文探究了以上问题形成的原因,并从教材思想现代化,融解析几何与高等几何教材为一体,增加附...     

关于非标准分析

在微积分的创立和发展过程中,无限小量和无限小量方法起着重要的作用。长期以来,数学家和哲学家们围绕着“无限小量是什么?它们是否实在的量?实数直线上的点是否就是不可再细分的最小元素?”等问题展开争论。到十九世纪下半叶马克思和恩格斯分别在《数学手稿》和《自然辩证法》中才对这些问题给出了正确的回答。在本世纪六十年代初,数学家A.鲁宾逊利用数理逻辑的严谨方法奠定了非标准分析(这名称是相对于现在一般称做标准分析——十九世纪在极限理论基础上发展的微积分理论而取的)的基础。在这个非标准模型中,论域从一般的实数域R拓广到包含无限小量、无限大量和一般实数的域R,它既保存了无限小量又把微积分     

极限论教学

数学分析课是数学系一二年级的课程,它以极限论为基础,建立了微积分(包括级数论)。它为数学系的几乎一切后继课程提供了具体原型和解决某些问题的方法。它对于培养学生的逻辑思维能力,数学抽象能力,分析处理问题能力以及计算能力都起着很大的作用。因此,数学分析课无论从内容或培养智能来看,都是数学系一门很重要的课程。从目前情况看,数学分析处在较大的变革过程中。一方面中学教学改革,学了一点集合和微积分初步知识。看来有进一步加强的趋势。一方面,近十几年来,无论从内容到方法看,还是从现代数学的要求和发展上看,微积分特别是多元微积分与传统相比都有很大     

第五讲 微分(上)

微分是微积分的基本概念之一,它在微积分的理论和实际应用中有着十分重要的作用。在《手稿》关于微分这一部分中,马克思阐明了下列的基本思想:第一,用唯物辩证法科学地揭示微分概念的本质,指出微分概念和其它事物一样也有二重性。作为一个数学量,     

修正微分定义统一数学分析

第二次数学危机爆发至今一直都存在不同的意见,无穷小分析这套微积分工具对问题的解决颇具启发性,但其理论基础备受质疑;而现今极限理论框架下的微积分失去了无穷小分析的简明直观性。该文修正了极限理论中微分和无穷小量的定义,根据“Bolzano连续性赋值”建立微商引理,统一了无穷小分析与极限理论;举例推证了部分微分学公式,揭示了无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系,指出了L’Hospital法则、等价无穷小代换本质上就是求出函数在0/0处的值,和Euler的观点吻合。同时用纯粹数学描述Marx的数学手稿,证明其“微分为特定的0”的观点的正确性,表明可以从本质上彻底解决第二次数学危机。     

微积分在大学数学学习和生活中的应用

微积分是函数的微分和积分的数学分支,是建立在函数、实数以及极限的基础上的.微积分是解决变量的瞬时变化的,在大学数学当中主要研究的是变量在函数当中的作用,在物理方面是解决人们关于速度以及加速度的问题,所以,微积分对于我们解决问题有很大的应用.本文主要介绍了微积分的应用.     

非标准分析及其在谱论中的应用

“非标准分析”是60年代由美国逻辑学冢A.Robinson创立的。他和他的后继者都是以数理逻辑为基础的。但是数理逻辑最基本的结果,今天仍未成为数学系毕业生的公共知识。本文不用数理逻辑,只以一般集合论为基础。在第一节中建立了非标准实数系;在第二节中,把标准分析的极限方法和非标准分析的无穷小方法进行了比较,并且证明了它们的等价性;在第三节中,建立了具体的非标准Hilbert(希耳伯特)空间H及H上的自伴算子A,(目前未发现国内外有人这样做过。)并且只用泛函分析自伴算子谱分解知识,解决了量子力学中关于连续谱点的本征元的一个数学问题。     

非标准分析及其在谱论中的应用

“非标准分析”是60年代由美国逻辑学家A.Robinson 创立的。他和他的后继者都是以数理逻辑为基础的。但是数理逻辑最基本的结果,今天仍未成为数学系毕业生的公共知识。本文不用数理逻辑,只以一般集合论为基础。在第一节中建立了非标准实数系;在第二节中,把标准分析的极限方法和非标准分析的无穷小方法进行了比较,并且证明了它们的等价性;在第三节中,建立了具体的非标准Hilbert(希耳伯特)空间H 及H 上的自伴算子A,(目前未发现国内外有人这样做过。)并且只用泛函分析自伴算子谱分解知识,解决了量子力学中关于连续谱点的本征元的一个数学问题。     

论“无限小量”和R模型的哲学意义

无限小量(又称无限小或无穷小)是不是实在的量?它有没有客观现实的原型?无限小方法能不能作为微积分的理论基础?这是数学家和哲学家长期争论不休的问题.从十七世纪以来,数学哲学的历史,几乎是微积分基础的历史.对这一基础的讨论,其实质都是围绕无限小量的争论进行的.从十七世纪牛顿、莱布尼兹提出微积分的一般理论到十九世纪哥西、维尔斯特拉斯的极限论,到二十世纪六十年代A·鲁宾逊的非标准分析的建立,无限小概念经历的曲折的辩证发展过程,从一个侧面展示了认识的辩证发展过程和科学发展的一般规律.恩格斯指出:“自然界是检验辩证法的试金石,而且我们必须说,现代自然科学为     

加拿大王中烈教授受聘为我院“客座教授”

四月十七日,加拿大里贾纳大学教授王中烈应邀来我院讲学。王教授向数学系师生作了“不等式和规划问题”等有关数学专题的学术报告,还向全院教职工介绍了“国外学术动态和师范教育”等方面的情况,受到全院师生的热烈欢迎。     

微分之讲授

正确讲授微分是数学界还未解决的问题,本文在简述《浅谈现行微积分原理的错误》和《略论作为微积分原理的完善的实变函数》发表以来学界的反应之后,指出了极限论的数学基础的欠缺,然后,指出用矩阵定义微分的做法仍然是错误的,最后,给出正确讲授微分的方法。     

无穷小分析初阶

无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用,也是理解微积分的一个关键性概念。对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述,是现今数学领域的一个引人注意的课题。例如上世纪A．Robinson建立了“非标准分析”,被视为一个重要数学进展。     

R3中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法

矢量微积分在经典场论中占有十分重要的地位.R3中的散度和旋度运算是经典矢量场函数的两种基本微分运算,并将其结果和场的源函数联系起来,从而基于亥姆霍兹定理可以唯一地确定空间场分布.关于散度和旋度运算关系的建立,一般均基于其定义关系的直接计算的基础上,其数学上的完整性并没有得到充分的体现.为此,通过对有关问题的初步分析,对矢量微分运算规则的建立给出了若干简洁明了的方法,从而有助于研究工作者对其本质的进一步认识.     

无限小量方法与非标准分析

非标准分析是近十几年来发展起来的一种新的数学研究领域和方法。它运用数理逻辑的科学方法,论证了无限小量方法的逻辑严谨性,为微积分的理论基础提供了一种新的说明。牛顿、莱布尼茨在创立微积分时,曾广泛地运用了无限小量和无限小量方法。但是,他们关于无限小量的概念是不清楚的,在运用无限小量进行推理的时候,时而把它当作0,时而把它当作不是0,因此,显现了某种神秘性。主观唯心主义的代表贝克莱主教曾经抓住     

中学数学中极限、导数和微分教学初议

微积分是现代数学的基础,是生产技术发展和科学研究必不可少的工具之一。统编中学数学教材在精简传统内容的同时,增加了微积分初步等新内容。这样做不仅对中学生进一步学习现代科学技术和参加工农业生产非常必要,而且也有利于培养学生树立辩证唯物主义世界观,并使中学数学及其它有关学科内容的教学得到更新和简化。     

关于数学分析教学改革的几点思考和尝试

一提到高等数学，通常人们首先想到的就是微积分．微分与积分是数学分析的主体结构，因此，数学分析的教学改革在21世纪的大学数学教育中显得尤为重要，文章从以下几个方面谈关于数学分析教学改革的研究：1）数学分析教材的处理；2）注意问题之间的密切相关性与系统性，挖掘问题的内在联系，培养学生掌握看问题的角度；3）注意各门学科之间的交叉关系，将高等代数、实变函数、泛函分析、点集拓扑等相关内容与数学分析进行整合；4）注意渗透现代数学思想，培养学生掌握看问题的高度．