关于极大左零化子

本文讨论环Ω的极大左零化子。对于半质环的极大左零化子,我们证明了它包含左与右奇理想。 对于极大左零化子两边理想A,我们证明了有含A的最小质理想 对于具有极大左零化子的元素α或适合左零化子极大条件环的非幂零元素中具极大左零化子的元素x,我们证明了它们在Ω生成的右理想αΩ_1或xΩ~1作为环,其幂零元素的全体恰构成其Baer根。     

具诣零单边理想链条件的环

本文利用诣零半边理想的升链条件,证明了: 假定环Ω具有诣零左理想的升链条件,那末环Ω的任意诣零半边理想K一定是幂零的。本文的结果是有名的Levitzki定理的推广。     

近似零化根

§1.近似零化理想与根之定义设Ω为任意环,A为Ω的两边理想,Ω中所有使xA=0(或Ax=0)的元素x的集合A_L(或A_R),显然是Ω的一个两边理想.称为a在Ω中的左(或右)零化子.而Ω中所有使xA=Ax=0的元素x所组成的Ω的两边理想A_t,即称之为A在Ω中的两边零化子.     

关于环的零化子的一个命题

<正> 设Ω是任一环,S是Ω的一个非空子集,则Ω中所有这样的元素a: as=0,对S中所有s,的集L,叫做S在Ω中的左零化子。易证,L是Ω的一个左理想。类似地可定义非空子集S在Ω中的右零化子R。如果我们对S附加条件时,譬如设S是Ω的左理想,那末这时说S在Ω中的左零化子L,不仅是Ω的左理想,而是Ω的两边理想了。同样对Ω的右零化子R来说,也有此结果。 如果环Ω中的左零化子满足降(升)链条件时,那末Ω的任意子环S中的左零化子也满     

格环的近似诣零根

本文将环的近似诣零概念推广到格环上,定义了格环的近似诣零根,证明了此根的继承性,得到了ι-q-nil 半单环的结构定理。此外,还证明了格环上的ι-全阵环的近似诣零根是格环的近似诣零根上的ι-全阵环以及对ι-左(右)理想适合极小条件的格环的近似诣零根、ι-Q 根和ι-根的一致性.     

一般環之局部有界理想

设Ω为任意一个环.Ω的一个理想(左、右或两边)A叫做是一个指数有界的诣零理想,如果有正整数n存在,使A中每个元秦x均适合x~n=0.当A是一个指数有界的诣零理想时,则把A中元素的冪零指数的最大数叫做A的上指数.环Ω的一个理想A叫做是一个局部有界理想,如果A含有Ω的一个異於0而指数有界的詣零理想。在第一节中,我们首先证明了:上指数为n(n>1)的诣零理想恆含有上指数为2或3的诣零理想;上指数为3者恒含有上指数为2者;上指数为2的理想则必为若于个(有限或无限个)冪零理想的併集(即定理1-3).其次我们举出一个例子说明理想之指数有界性只是幂零性之必要条件而非充分条件,即使上指数为2亦     

Artin环与Noether环

通过讨论满足理想链条件和诣零理想链条件的环之间的关系。得到了Ａｒｔｉｎ环成为Ｎｏｅｔｈｅｒ环的等价条件。其结果如下：（１）设Ｒ为结合环,则Ｒ的右理想极小条件包含右理想极大条件Ｒ的诣零右理想满足极大条件。（２）设Ｒ为非幂零的结合环,则Ｒ的右理想极小条件包含右理想极大条件存在主幂等元ｅ,使ｅ在Ｒ中的右零化子ｒ（ｅ）具备右理想极大条件。     

左理想几乎满足链条件的环

本文证明了下述结果: 1.设A为环Ω的一个非诣零左理想。若Ω的含于A的主左理想几乎满足降链条件,则A有非零幂等元。 2.环Ω的诣零左理想L是幂零的充分必要条件是Ω的含于L的左理想几乎满足升链条件;环Ω的诣零单边理想均为幂零的充分必要条件是Ω的诣零左理想几乎满足升链条件。 3.设A为环Ω的一个含于其反单纯根的理想。则A是幂零的充分必要条件是Ω的含于A的理想几乎满足降链条件。 4.左理想几乎满足降链条件的环为指数有界的π-正则环。 5.在理想几乎满足降(或升)链条件的环上,每个超幂零根性S与满足S′≥S的最小特殊根性S′重合。     

半幂零环与Levitzki根的一些性质

设M是任意环Ω的一个子环,如果M中任意有限个元素所生成的子环均为幂零的,则说M是一个半幂零子环.当一个半幂零子环M又是环Ω的一个左(右或两边)理想时,则说M是环Ω的一个半幂零左(右或两边)理想(参看Levitzki,J.,1943).按此定义不难依次证明下列这些断言(其中3°-5°之证明可参看谢邦傑1956):1°半幂零环之同态象仍为半幂零环.     

EP-内射环的等价刻画及性质

给出了EP 内射环的几种等价刻画,证明了半素右EP 内射环的每一个极大右(左)零化子是由一个幂等元生成的极大右(左)理想.     

Γ—环的一个定理的简证和一个结果

本文给出了[1]中一个定理:“左零因子具升链条件的Γ一环的强谐零单側理想恒为强幂零”的一个简证,并用同样的证明方法得到了如下结果:主左零化子具升链条件的强谐零Γ一环为Baer根Γ一环。     

关于Baer根

环M叫做一个Baer根环,如果M的任意非零同态象恒含有非零的幂零理想.环Ω的一个理想A叫做一个Baer理想,如果环A是Baer根环.任何环Ω的所有Baer理想之并集仍为Ω的Baer理想,叫做Ω的Baer根(参看谢邦傑1955,§1).定理1.不含单位元素之环恒可扩张为含有单位元素之环使其Baer根不变.证明.设Ω是一个不含单位元素的环,若将Ω扩张为Ω_0那样的环(参看谢     

有零因子的交换环上w-理想的升链条件

讨论了一般交换环上w-模的性质,进一步刻画了w-Noether环,证明了w-Noether环上有限型的GV-无挠模只有有限个极大素理想,且每一个都是其中某个非零元素的零化子.推广了Orzech定理,得到了更一般形式的Vasconcelos定理.     

关于零化子凝聚环

给出了零化子凝聚环的概念,并讨论了该环的基本性质以及此环与凝聚环、∏-凝聚环、AF-环等的关系,以及在一定条件下零化子凝聚环上的零化子理想、有限生成理想及其商模的自反性.最后,引入了零化子平坦模的定义,利用它将Chase定理推广到了零化子凝聚环上.     

环的几个定理的新证明和根的两个定理

谢邦杰证明了环R的上指数有限的诣零右理想必含R的上指数为2的诣零右理想;R的上指数为2的诣零右理想是R的幂零右理想的并集。Herstein证明了满足(xy—yx)~n=0的环的全部幂零元集为环的一个理想(参见文献[3])。本文给出以上两个结果和某些根的存在与结构定理的新证明。此外,本文给出一个环性质是一个根性的充分必要条件和R_n是半单纯环的一个充分条件。     

近似诣零理想与根

在一般珠之构造理论中,关于Kthe(1930)所定义之根是否在一般环中存在的问题至今尚未解次.其主要困难在于不易证明两个诣零左(或右)理想(即仅含幂零元素之理想)之和仍为诣零左(或右)理想.有凿于此,我们才考虑用近似诣零理想之概念(参看§1)去代替诣零理想之概念.这样便能在一般环中定义出根来.当一环之根为{0}时,则该环叫做半单纯环;当一环之根为该环本身时,则该环叫做根环.环{0}则既为半单纯环又为根环.     

互极大的极小素理想和零化子

本文在有单位元的交换环R中,给出了R的一个元对于R的一个理想的相对零化子的概念及相对零化子的一些性质,并得到了关于环R的素理想的几个命题。最后,通过相对零化子给出了R的一些极小素理想互极大的条件。     

關於Kthe問题

Kthe,G.(1930)曾提出问题:右理想适合极大条件之诣零环是否为冪零环?Levitzki,J.(1945)解决了这个问题,但其方法还不夠直接.本文是对此问题给出一个较简的解法.引理1.设B是任意环A的两边理想.若B中含有A的诣零右理想R≠0,则B中必含有A的非0的诣零左理想。证,在R中任取r≠0,由R之诣零性知Ar是A的含于B中的诣零左理想.     

环之诣F性

结合环的 Kthe 根,近似诣零根都是由环的元素的冪零性质决定的,在根的存在性证明及其性质的讨论中,元素之若干方即为零,看来是很难推广的一个条件。本文将环之诣零性用一般的诣 E 性来代替之,其中 E 是成根映象(定义见§1),这样就将结合环之两种根——Kthe 根与近似诣零根推广为两类根,诣 E 根与近似诣 E     

格蕴涵代数上的相对零化子

在格蕴涵代数中,提出对合理想的概念,证明全体对合理想之集是一个完备Boolean格;继而提出相对零化子概念,研究它的若干性质,证明相对于某一固定点的全体零化子之集是一个完备格;并用相对零化子给出理想的一个分解定理,证明格蕴涵代数的素理想定理。