同谱但不同构的群的例子

本文找到了两个不同构的pn(p≥5,n≥5)阶群G和H使得这两个群的各阶子群个数,各阶循环子群个数,各阶交换子群个数,各阶正规子群个数均相等.     

正规子群及群阶与表现的关系之相关问题的证明

本文利用了“正规子群及群阶与表现的关系”中的理论及有关定理证明了8个相关问题:(1)奇阶群中非单位元的任何不能与其逆元共轭。(2)奇阶群的阶与共轭元类之个数 r(G),有关系式O(G)r(G)(mod16)。(3)有限群 G 之正则表现如有非恒同的实不可约成份,则 O(G)为偶数。(4)奇阶群中任一个共轭元素类与它的逆类互异(单位元类除外)。(5)奇阶群 G 中共轭元素类之个数也必为奇数。(6)有限群 G 之共轭元素类的个数等于1/(0(G))O(Z_G(x))。(7)H 是群 G 之真子群,则 r(H)<[G:H]·_r(G),但 r(H)与 r(G)分别为 H、G 中共轭类个数。(8)H 是 G 之子群。不论 x 是 G 之任何元,恒有 O(Z_G(x))≤[G:H]·O(Z_H(x))。又“等号”成立的充要条件是 G=H·Z_G(x)。在证明中问题4利用问题2的结论。问题5利用了问题4的结论。问题7利用了问题6的结论。     

除中心外群G之共轭元类至多为4的群的构造

设G为有限群、r为G中非中心的共轭元类的个数,若G除中心外至多有4个不同的共轭元类,即r≤4,那么我们有:1×当r=2时,仅有1种类型的群;2°当r=3时,有4种类型的群;3°当r=4时,有7种类型的群。     

元阶集中有少数合数的有限不可解群

设πe（G）是有限群G的元的阶之集,φ（G）为πe(G)中合数的个数。 给出了φ（G）≤2的有限不可解群的分类。     

对称群S5的特征性质

通过计算机计算,作获得了Ｓ５的下列重要特征性质;（１）Ｓ５的子群的阶是：１,２,３,４,５,６,８,１０,１２,２０,２４,６０,１２０;（２）Ｓ５共有１５６个子群,每个子群的构造已清楚;（３）Ｓ５有１９个共轭子群类;一个非平凡正规子群：（４）Ｓ５中各阶子群的个数,各共轭类型中所含子群的个数均已清楚。     

有限群的几个计数定理

本文给出几个有限群G中某些类型p—子群个数关于模p或其方幂的计数定理.Frobenius关于X~n=1在G中解数的定理本文给出了一个精密化.     

交错单群A_6的一个新刻画

设G是有限群,Te(G)为G中同阶元的个数的集合.证明了:群G同构于A6当且仅当Te(G)={1,45,80,90,144}.     

有关CC-子群的一些性质

设G为有限群,H≤G．称H为G的一个CC-子群,如果对任意的1≠x∈H,都有CG（x）≤H．讨论这类群的一些基本性质,得到了： 定理2 设G为有限群．若Z（G）≠1,则G的CC-子群唯一． 定理3 若G为单群,则G的CC-子群个数不等于2． 定理4 若｜G｜—pq^n（p〈q,其中p,q为素数）,则G的CC-子群个数必为奇数且不等于3．     

齐线性微分方程非零解的零点个数定理

对于高阶的变系数齐线性微分方程,我们没有统一的方法可以求出其所有非零解的函数表达式,因此从宏观上研究其非零解的性质是非常必要的．本文基于常微分方程解的存在唯一性定理,讨论了各阶齐线性微分方程非零解的一个重要性质,就是其非零解在有限闭区间上的零点个数至多为有限个．     

交错单群AS6的一个新刻画

设G是有限群,τc（G）为G中同阶元的个数的集合。证明了：群G同构于A6当且仅当,τE（c）={1,45,80,90,144}。