微分方程组(dx)/(dt)=y,(dy)/(dt)Q_3(x,y)的极限环

<正> 的极限环之若干存在和唯一性条件。当(1)仅有一奇点时,1964年我们曾作过讨论,其中部分结论与文[1]一致。本文就(1)有两个和三个奇点的情况讨论极限环的存在与唯一性,并讨论(1)二次和三次代数曲线解与极限环的存在性的关系。     

方程(dx)/(dt)=-y+dx+lx~2+xy+ny~2,(dy)/(dt)=x的极限环的唯一性

关于方程的极限环的唯一性问题已在[1,2,3]诸文中得到一些结果。为今后讨论方便计,不失一般性,可以假设(1)中有 l+n>0,d<0。那末如图1所示,在(l,n)参数平面上唯一性问题已经得到解决的是:等四种情况。本文的目的是要证明: 定理 设在方程(1)中有1-4ln>0,则如存在极限环的话,必定是唯一的。 §1.n<0的情况. 在(1)中作变换其中是方程的正实根,则(1)变为方程(5)又变为:其中可知d'+l'是d的单调递增函数,当d从0变为负时d'+l'单调减少. 引理 当d'+l'=0时方程(7)不存在闭轨线. 证:在方程中作变换可得化为二阶方程,得到最后,化到Lienard平面,得到现…     

方程(dx)/(dt)=-y dx mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1 ax)的轨线的全局结构

本文就方程dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)已知不存在闭轨线和含奇点闭轨线,且d=m时的各种可能情况来分析其全局结构及在(a,m)参数半平面上分歧曲线的存在性与相对位置,同时证实了文[2]的关于分歧曲线的一点猜想:当方程d=0,m′<-a′时的(?)是一条真正的曲线,它不可能有内点,也不可能多于一条。     

微分方程(dx)/(dt)=h(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)存在极限环的一个充分条件

For the equations dx/dt=h(y)-f(x), dy/dt=-g(x)there are some results about the existence of limiting cycle under the monotone condition provided on h(y). In this paper, the same result without the monotone assumption is proved.     

微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。     

方程(dx)/(dt)=-y-y~2 mxy dx,(dy)/(dt)=x(1 ax)的极限环的位置估计与唯一性

本文对方程(dx)/(dt)=-y-y~2 mxy dx(dy)/(dt)=x(1 ax) a<0 (1)的极限环唯一性进行探讨,得到一些初步结果。此外对方程(1)_(d=0)的分歧曲线的性质进行分析,得到此文(3)更精确的结果。     

(Ⅱ)类方程的分歧曲线(二)——方程(dx)/(dt)=-y+dx+mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1+ax)的分歧曲线的趋向及其唯一性

本文对文[1]中讨论的方程:dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)(d=m)作了进一步的研究,利用文[3]的结果证明了C_2的唯一性;研究并且确定了分歧曲线C_1的趋向,对文[1]的定理7作了修改,用此严格证明了C_2~*的存在性和唯一性。     

微分方程组(dx)/(dt)=y μxF_1(x,y),(dy)/(dt)=-x μyF_2(x,y) (1)_μ极限环之研究

本文研究平面自治系统(1)_μ的极限环问题,其中μ是参数,F_i(x,y)(i=1,2)表示x,y的二次或二次以上的多项式.由文[1]不难给出基本定理。已知单参数平面定常系统     

环面上微分系统(dx)/(dt)=Siny,(dy)/(dt)=-Sinx μSin2y (1)_μ的定性研究

在相平面上取基本正方形,S=[-π,π]×[-π,π],在S对边相对点处确定着系统(1)_μ相同的向量,将S的对边等同看待而得到的环面记为T,从而得到环面T上的微分系统(1)_μ.     

关于变系数线性系统(dx)/(dt)=A(t)x与(dy)/(dt)=[A(t) B(t)]y的渐近等价性

对于线性系统(H)和(NH),当系数矩阵A(t)=A 为常数阵时,文[2]建立了它们之间的渐近等价关系.本文的定理针对A(t)是变系数矩阵的情况,得到系统(H)和(NH)的渐近等价性。     

关于积分φ(t)=integral from n=a to b(f(x)e~(th(x))dx)的两种渐近公式

本文利用两种方法近似计算φ(t)=f(x)e~(th(r))dx给出两个重要结果,从而得到φ(t)=f(x)e~(th(r)dx的两种渐近公式。     

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的所有积分因子

本文从积分因子和微分方程的通解之间的关系入手,以具有"z(x,y)=c"形式的通解为媒介,讨论一阶微分P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0方程的所有积分因子,找到其所有积分因子的抽象表达式。     

关于Diophantine方程(xm+1)/(x+1)=yn+1

文章证明了:方程(xm+1)/(x+1)=yn+1没有正整数解(x,y,m,n)适合x>1,y>1,m>2,n>2。     

对积分公式∫(1)/(a+bcosx)dx=(1)/(b+a)(√(b+a)/(b-a))ln|tan(x)/(2)+(√(b+a)/(b-a))/tan(x)/(2)+(√(b+a)/(b-a))|+C (b2＞a2)的改进

对《高等数学》积分公式表中的一个三角函数有理分式函数的积分公式进行了研究,指出了公式中存在的缺陷,并将公式进行了改进,得出了一个方便、准确的公式.     

关于微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)的解法

讨论了微分方程dy/dx=a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2的一般解法,并给出了该微分方程的另一种解法。     

用计算机求方程Ry″+Py′+Qy=e~(λ·x)Pm(x)的理论特解

二阶常系数非齐次线性微分方程Ry″+Py′+Qy=e~(λx)Pm(x)(其中R、P、Q为实常数,λ为复常数,Pm(x)是关于x的m次多项式)通常都用比较系数法求其特解。但是这种方法当m≥2时就显得繁琐,求解速度缓慢,而且这种方法难于在电子计算机上实现。本文通过有限次的使用向量函数的线性变换.给出Ry″+Py′+Qy=e~(λx)·Pm(x)的特解的一种简单、快速的公式算法,利用框图描绘出计算过程,并对这公式算法编制程序,运用电子计算机去求方程Ry″+Py′+Qy=e~(λx)·Pm(x)的特解,将由手算特解变为电算求解。     

关于y″+py′+qy=(a_0+a_1x)e~(λx)的特解

利用待定系数法给出二阶常系数微分方程y″+py′+qy=(a0+a1x)eλx的特解的一般公式.     

关于方程dy/dx=(y-g_1(x))(y-g_2(x))f(x,y)的解的延拓性讨论

对于微分方程的解的延拓,绝大多数只能在局部范围内延拓,不能延拓到无穷区间。但是也有少部分特殊的微分方程,具有零等倾线或无穷等倾线,这类方程的解,一般     

y″+py′+qy=Pm(x)e~(λx)特解的求法公式

对自由项为ｍ次多项式与指数函数乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝Ｐｍ（ｘ）ｅλｘ（１）求特解ｙ的一般方法是先确定特解形式ｙ＝ｘｋＱｍ（ｘ）ｅλｘ（ｋ可能取０，１，２），再用待定系数法确定ｍ次多项式Ｑｍ（ｘ），这种方法虽然行之有...