解析函数的零点的几个定理及其应用

以有限条简单闭曲线①为边界的区域G上的解析函量的零点个数问题,Rouchè及Hurwitz等人都作了诈多研究,其主要结果是Rouchè定理与Hnrwitz定理。本文得到了下面的定理1.设D是在复平面上的一个有界区域,其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设函数f(Z)与g(Z)在D与C所组成的闭区域D上解析,并且设在C上,f(Z)与g(Z)都没有零点,且f(Z)/g(Z)不为负实数。那么在D上,f(Z)与g(Z)的零点个数相同。     

直线划分平面区域问题

本文运用欧拉公式对直线划分平面区域问题进行一些探讨。 欧拉(Euler)在研究凸多面体时,得出它们的顶点数、棱数和面数之间的一个简单关系式。这个关系式还可推广到平面上来,用图论的语言叙述就是下面的定理[1]. 定理 若一个连通平面图G的顶点数为P,棱数为q,面数为f,则 p-q+f=2 这个公式称为欧拉公式.若无限面不计在内,则有 p-q+f=1. 关于这个定理的证明,在一般图论参考书中均可查到。下面我们利用欧拉公式对直线划分平面区域问题进行一些探讨. 对于欧氏平面上的任意一条直线a(图二),它把欧氏平面分为两个”半平面”或”区域”。平面上属…     

一阶椭圆型方程组的黎曼——哈斯曼边值问题(Ⅱ)

设L是平面E上一条简单的光滑闭曲线,它把E分成含有坐标原点的内部有界区域D~+和包含无穷远点的外部无界区域D~-,L的正方向是使区域D~+位于其左边的方向。对于一阶复式的椭圆型方程组 (1)维库阿建立了所谓广义解析函数的理论,其中假设方程(1)的系数A(z),B(z)∈L_(p,2)(E),p>2。不失一般性,可设A(z)=0,这种情形的方程(1)称为标准形方程。     

切线旋转指标定理的初等证法

在平面曲线的整体微分几何中,简单闭曲线切线旋转指标定理的证明十分复杂。常见的Hopf证法,须将切向量转角θ(s)改造成平面星状区域上的二元函数。有些教科书~〔2〕写得很浓缩,看起来不长,实际并不简单。复旦大学的课本~〔1〕写得较详,即使这样,还是不能讲清细节,对于如何推广到曲面上去也未交代清楚。近年来我们曾使用过复旦的课本,感到此法不便于教学,因此另找一初等证法。我们认为,指标定理本质上是初等几何中简单多角形外角和定理的极限情形。按这一思路去寻找证明方法,要比Hopf证法更符合认识规律。对于构作切向量连续转角的定理,我们用积分来定义这个转角,使证明也得以简化。     

Banach空间算子闭值域区域的正则划分

本文讨论Banach空间算子闭值域区域和T-正则点和T-奇异点,引入算子T的约化最小模函数γr(λ),用它刻划算子闭值域区域ρD(T),得到ρrD(T)与ρsD(T)的若干结构表示定理.     

带有外裂缝的平面弹性问题

工作[1]用复变函数和奇异积分方程研究了带有任意形状内裂缝的平面弹性问题,讨论了问题解的存在性,并且最后将应力强度因子的计算化为一个第二类Fredholm积分方程(组)的求解。在本文中我们将进一步讨论带有任意形状外裂缝的平面弹性问题。如图1所示闭曲线所围的有界平面区域上有一条裂缝,的一端与交于点A(B),另一端     

Jordan曲线定理的一个证明

这里要给Jordan曲线定理一个证明。这个著名的定理的证明的记录在近代拓樸学的历史上差不多一直没有断过,因此要说这里做的证明是新的也许多少会有点勉强,不过希望这没有比别的证明复杂。 1.预备知识 假定G是欧几里德平面上条闭曲线,它的方程用复数表示起来是     

图在曲面上的可嵌入性(英文)

拓扑学中经典的约当定理指出：一个简单闭曲线Ｃ将球面分割为二个连通区域使得它们的公共边界为Ｃ．本文用与Ｋ５或Ｋ３，３同胚的图给出了图在环面上可嵌入性的一个表征．进而，用不可约图提供了图在一般可定向的曲面上可嵌入性的一个充要条件．同时，对于一般不可定向曲面，特别是射影平面，均给出了可嵌入性的表征     

等周不等式问题

对等周不等式的Hurwity证法的一般性首先给出一个直接证明,然后将等周不等式定理从西方面推广:(1)将光滑曲线推广到分段光滑曲线;(2)将简单闭曲线推广到任意闭曲线。     

欧氏空间中闭曲线的切线象

W.Fenchel曾于1928年证明:3维欧氏空间中光滑闭曲线的切线象的长不小于2π在本文中我们证明了下述定理;定理 设c’是n维欧氏空间中分段光滑闭曲线c的切线象,则必存在一个内接于c’的球面m边形(m≤n+1),其长不小于2π.它是Fenchel定理的推广.     

Haar引理的推广及其应用

1.引言在1919年Haar证明了一个在变分法中相当重要的引理:让D是在(u,v)平面内由一条简单闭曲线所范围的区域并让P(u,v),Q(u,v)是连续于D上的函数。如果对于任意的在D上属于C~1类并在D的边界上为零的函数(?)(u,v)均有     

环域定理与奇点概念的推广

环域定理在常微分方程定性理论中是人所熟知的。近年来有人研究此定理是否可以推广到三维实心环体中去,也有人把它向流形的分叶理论方面去推广。本文的目的是要把环域定理推广到平面多连通区域去。由于当区域的连通数大于2时,即使轨线都从外部进入内部,区域中仍必然存在奇点,因此不一定存在闭轨线。本文首先引进内外广义焦点与奇闭轨线的概念,估计从奇点跑出的分界线的最少条数,得到确定奇闭轨线内部或外部的奇点指标之和的公式。然后引进内外广义奇点的概念与确定其内外指标的公式。利用这些工具我们证明:在原来的边界条件之下如果环域中有有限个奇点,则必存在包含内境界线在其内部的奇闭轨线。最后推广此结果到平面n连通区域中去。     

二维定常系统闭轨线不存在的判别法则

本文给出了方程(1)闭轨线不存在的一个定理。我们利用这个不存在定理得到了Bendixson—Dulac,Poincare判别法则(参阅[1])和陈广卿最近的结果(参阅[2])。     

关于凸像函数和星像函数的偏差定理和系数

§1.引言 设w=f(z)=z+a_2z~2+……这个函数在单位圆|z|<1中是正则单叶的,它把单位圆照相成一个凸区域,那末函数f(z)叫做凸像函数。这种函数显然要满足条件 设w=f(z)=z+a_2z~2+……这个函数在单位圆|z|<1中是正则单叶的,对于任何rε(0,1),它把圆|z|=r照相成这样一个闭曲线,它包含点w=0,并且与每一条通过点w=0的直线相交成一个线段,那末函数f(z)叫做星像函数,这种函数显然要满足条件     

凸曲面上的卵形线的长

若一凸曲面上一条简单封闭曲线围成一个同胚于平面的自凸域，则该曲线称为卵形线。Ａ．Ｖ，Ｐｏｇｏｒｅｌｏｖ曾证明，若正则凸闭曲面Ｆ的Ｇａｕｓｓ曲率不小于正的常量Ｋ，则Ｆ上的简单封闭测地线的长不大于作者将这定理推广成为如下的定理１若凸曲面Ｆ的比值曲率≥Ｋ，Ｋ一正的常量，则Ｆ上的卵形线的长不大于．     

关于Berge的“4正则图猜想”的一个注记

<正> Berge 在1973年曾提出一个猜想:“每个4正则简单图一定包含有3正则子图”。这个猜想至今未被证实也未被否定。本文将证明在加强的条件下此一猜想不成立即有:定理一:存在有4正则简单图它不含有3正则去边子图。定理二:存在有4正则简单图它不含有3正则去顶子图。只需注意不存在有含奇数个顶点的3正则子图即证明了定理一。现证明定理二。W魂正财图G二Jx让甲首先证明G中没有不含W的3正则去顶子图。     

方程(dx)/(dt)=-y dx mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1 ax)的轨线的全局结构

本文就方程dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)已知不存在闭轨线和含奇点闭轨线,且d=m时的各种可能情况来分析其全局结构及在(a,m)参数半平面上分歧曲线的存在性与相对位置,同时证实了文[2]的关于分歧曲线的一点猜想:当方程d=0,m′<-a′时的(?)是一条真正的曲线,它不可能有内点,也不可能多于一条。     

关于Vitali的遮蓋盖定理

本文对于尽人皆知的Vitali遮蓋定理作进一步的讨论。为简便计,这些讨论都是在一维空间里进行的.设E是一个点集,M是闭间隔族,其中每一个都不退化为一点.若对于x∈E及任意∈>0存在d∈M使得x∈d,md<∈则称点集E依Vitali意义被M所遮盖.我们常把M中可能存在的可数多个的两两不相交的闭间隔记为:(1)d_1,d_2,…,d_k,…,d_id_j=0(i≠j).定理(Vitali).若有界集E依Vitali意义被M所遮盖,则对于任意∈>OM中存在有限个两两不相交的闭间隔.(2)d_1,d_2,…,d_n d_id_j=0(i≠j)使得     

单叶黎曼曲面的非线性拟保角映射

所谓黎曼曲面,就是一个具有直接保角的相邻关系的二维流形;如果黎曼曲面上的任一条简单闭曲线分离此曲面,则称它为单叶黎曼曲面。由书[1]、[2]中可知:任一单叶黎曼曲面R保角等价于复平面的一区域G,即R能一一且保角的映照为G,而G可取为某些典型区域,这是保角映照理论中的主要定理,很多人如P. Koece, R. Courant, M. Heins等都     

极小与临界2-连通图

我们仅仅限于讨论简单图。k((G)表示G的连通度,若K(G)=2,则G称为2~*-连通图。回路指图中点不相交的闭通道。若G是2~*-连通图,u、v是G中的两个不同点,设l是联结u、v的任何道路,假如联结l上的某两点的G中棱都属于这条道路,则称u、v是相容点。