关于数论函数方程S(SL(n))=φ_2(n)的可解性

对于任意正整数n,S(n),SL(n),φ2(n)分别为Smarandache函数,Smarandache LCM函数和广义Euler函数。利用S(n),SL(n),φ2(n)的基本性质并结合初等方法研究了方程S(SL(n))=φ2(n)的可解性,给出了该方程的所有正整数解为n=20,24,25,32,36,50,54。     

关于Smarandache LCM函数的方程S(SL(n~(14,36)))=φ_2(n)的可解性

令S(n)为Smarandache函数,SL(n)为SmarandacheLCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数。讨论方程S(SL(n~(14)))=φ_2(n)和S(SL(n~(36)))=φ_2(n)可解性,利用初等方法并结合函数φ_2(n)与函数S(n)的性质,给出了这两个方程的所有正整数解。     

包含广义Euler函数φ3(n)和Smarandache函数S(n)的一方程的解

令φ_e(n)为广义Euler函数,S(n)为Smarandache函数,其中e为正整数。探讨包含广义Euler函数φ_3(n)和Smarandache函数S(n)的方程φ_3(n)=S(n~8)的可解性问题,利用这2个数论函数的有关性质,给出了这一方程在φ_3(n)=3~(-1)φ(n)条件下无正整数解的结论。     

Euler函数φ(n)与广义Euler函数 φ2(n)混合的两个方程

令φ(n)为Euler函数,φ_e(n)为广义Euler函数.讨论了Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)混合的两个方程φ_2(φ(m-φ_2(m)))=2与φ(φ_2(m-φ2(m)))=2的正整数解,利用分类讨论的方式及初等方法,分别得到了这两个方程各自的所有正整数解.     

数论函数方程tφ(n)+φ2(n)=S(SL(nk))的正整数解

设t∈N,n∈Z⁺,其中N和Z⁺分别是所有非负整数集合和所有正整数集合，利用欧拉函数φ(n)、广义欧拉函数φ₂(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质以及初等数论的方法，得到了方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹³))只在t=0、1、2、3、4、5、7、10、13、15时有正整数解n及方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹⁸))只在t=0、1、3、6、7、9、14、18、19时有正整数解n,并给出了这两个方程的所有正整数解n。     

方程kφ(m)=S(mt)的正整数解的讨论

Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)是数论中的两个重要的数论函数.包含Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)的方程的可解性问题引起了众多数论爱好者的关注,并取得了丰富的研究成果.本文将考虑方程kφ(m)= S(m31)的可解性,基于Euler函数φ(n)与Smarandache...     

方程φ(n)=2~(ω(n))P~(Ω(n))的可解性

Euler函数φ(n)是数论中的一个十分重要的函数,其中n为一正整数.有关Euler函数φ(n)的性质以及与Euler函数φ(n)有关不定方程可解性问题得到不少数论爱好者的关注与研究,得到很多极富意义的结果.讨论包含Euler函数φ(n)的方程φ(n)=2^(ω(n))P(ω(n))P^(Ω(n))的可解性,其中P为一个奇素数.基于Euler函数φ(n)的计算公式,采用分段讨论的方式,解决了方程φ(n)=2(Ω(n))的可解性,其中P为一个奇素数.基于Euler函数φ(n)的计算公式,采用分段讨论的方式,解决了方程φ(n)=2^(ω(n))P(ω(n))P^(Ω(n))的可解性,给出了其具体正整数解n=1以及其余正整数解的形式.根据本文所给出的结论,可相应的给出某些方程的正整数解.     

关于数论函数方程S(SL(n~2))=φ(n)的解

利用φ(n)和S(n)和SL(n)的基本性质并结合初等数论方法研究了方程S(SL(n~2))=φ(n)的可解性,证明并给出该方程仅有正整数解n=1,24,25,50.这里对任意的正整数n,φ(n)、S(n)和SL(n)分别表示关于n的Euler函数、Smarandache函数和Smarandache LCM函数.     

方程SL(n)=φe(n)的正整数解

设n,e>1均为正整数，利用初等的方法和技巧，以及Smarandache LCM函数和广义Euler函数的基本性质，讨论e∈{2,3,4,6}或e|φ(n)时，数论函数方程SL(n)=φ_e(n)的可解性，并给出该方程全部的正整数解．     

数论函数方程kφ(Y)=φ2(Y)+S(Y 8)的解

该文讨论了包含φ(n)、φ_e(n)与S(n)3个数论函数的方程kφ(Y)=φ₂(Y)+S(Y ⁸)的可解性.利用这3个数论函数的性质,得到了该方程只在k=1、2、4、5、9、11时有正整数解,并给出了其具体的正整数解,其中函数φ(n)是Euler函数,函数φ_e(n)是广义Euler函数,函数S(n)是Smarandache函数.     

数论函数方程tφ2(n(n+1))=S(SL(n17))的可解性

利用初等数论的方法和数论函数的性质研究了数论函数方程tφ₂(n(n+1))=S(SL(n¹⁷))的可解性问题,其中t∈Z⁺(Z⁺是正整数集),φ₂(n)为广义Euler函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,S(n)为Smarandache函数,得到如下结果：方程tφ₂(n(n+1))=S(SL(n¹⁷))只在t=1,6,9,18,20时有正整数解,并给出了相应的正整数解。该计算方法有助于解决同类型方程的可解性问题。     

关于Diophantine方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2p1p2…pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

一类包含S(n)和Euler函数的方程

对于任意正整数n,设φ(n)和s(n)分别是关于n的Euler函数和Smarandache函数。利用初等方法,得到了方程φ(n)=s(nk)当k=7时的所有正整数解。     

关于数论函数方程φ_2(n)=S(n~7)的解

利用φ(n),φ_2(n),S(n)的基本性质并结合初等数论等方法研究了方程φ_2(n)=S(n~7)的可解性,证明并给出该方程仅有正整数解n=175,225,240,350,450,841,1 682。这里对于任意的正整数n,φ(n),φ_2(n)和S(n)分别表示关于n的Euler函数,广义Euler函数和Smarandache函数。     

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n~(3,4)))=φ_2(n)的可解性

研究了数论函数方程S(SL(n3))=φ2(n)及S(SL(n4))=φ2(n)的可解性问题,其中S(n)为Smarandache函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ2(n)为广义欧拉函数,利用初等数论内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解.     

关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α 2-1)(其中2α 2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.     

关于数论函数方程S(SL(n~2))=φ_2(n)解的讨论

对于任意正整数n、S(n)、SL(n)、φ(n)分别是Smarandache函数、Smarandache LCM函数和Euler函数。利用S(n)、SL(n)、φ(n)的基本性质结合初等的方法,推广了方程S(SL(n))=φ(n),研究了S(SL(n~2))=φ_2(n)的可解性。给出并证明了上述方程的所有正整数解。     

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n~(5,6)))=φ_2(n)的可解性

研究了数论函数方程S(SL(n~5))=φ_2(n)及S(SL(n~6))=φ_2(n)可解性问题,其中S(n)为Smarandache函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数,利用初等数论内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解.     

关于方程Z(n)=φe(SL(n))的正整数解

基于广义欧拉函数φ_e(n)的计算公式,利用初等方法和技巧给出e∈{p~t,pq}时,方程Z(n)=φ_e(SL(n))没有正整数解的几个充分条件,其中p、q是不同的素数,t为正整数.最后对任意的正整数e,完全确定方程Z(n)=φ_e(SL(n))的全部正整数解.     

关于数论函数方程φ_2(n)=S(n~8)的解

利用φ_2(n),φ(n),S(n)的基本性质并结合初等数论等方法以及C++程序研究了方程φ_2(n)=S(n~8)的可解性,证明了该方程仅有正整数解n=189,243,343,375,378,486,500,686,750,867,1 156,1 734。