空间完备化后建立积分理论的Fatou引理、Fubini定理和微积分基本定理

我们知道lebesgue可积函数的全体组成一个完备空间。书[1]附录二“空间完备与积分理论”中指出,也能由空间完备化的概念,引进积分的概念。这正如,在用数表达量时,尽管每次量测只能得到有理数,但为了表达可以量测到任意精确程度这一概念。我们引进了实数,实际上是把有理数按距离|X-Y|所形成的距离空间完备化,下面,先简略介绍这种积分概念,然后给出相应于lebesgue积分理论的“Fatou引理”、“Fubini定理、”     

Φ—满射环上辛群生成元定理

文献〔2〕中给出Φ—满射环R上辛群生成元定理,但要求2∈R~*。有例子说明,在2∈R~*时〔2〕中的结论是不成立的。本文对2∈R~*的Φ—满射环R上的辛群,重新给出双曲元素的定义,并证明对任何Φ—满射环R来说,〔2〕中所得到的辛群生成元定理亦成立。     

Fuzzy积分序列的若干收敛定理

<正> 在本文中,我们将推广Sngeno〔4〕、〔5〕中Fuzzy测度和Fuzzy积分的概念,并引进集函数的自连续性等新概念,用来研究Fuzzy积分序列的收敛,给出若干重要的收敛定理。文中未加说明的符号与概念,均与经典测度论或概率论中的一致(参见〔1〕、〔2〕)。 对于可测空间(X,F)上的集函数μ:F→〔-∞,∞〕,我们引进以下诸概念。     

柯召定理的一个证明

柯召教授在文献〔1〕、〔2〕中证明了著名的“柯召定理”:设P>3是素数,则方程x~2-1=y~p没有正整数解x,y。后来,Chein、Rotkiewicz分别给出了一个简化证明。本文作者还给出了一个推广。但这些工作都是基于文〔1〕的一个结果。本文避开了〔1〕的结果,给出了柯召定理的一个简短的初等证明。     

黎曼引理的推广

在研究Fourier级数的收敛性时,用到这样一个结论。黎曼引理若f(x)在〔a,b〕上可积,则(?)其证明可见〔1〕、〔2〕。本文将首先利用同〔1〕类似的方法证明更为广泛的结论(定理1、定理2),其次对瑕义积分的情况,也给出了类似的结论(定理3)。定理1 若g(x,y)在R:a≤x≤b,y_0-η相似文献   

Fuzzy测度空间上的泛积分

本文利用R_+=〔0,∞〕上的两种二元运算给出了Fuzzy测度空间上非负可测实函数泛积分的定义,证明了泛积分的一些性质,讨论了泛积分序列的几个收敛定理,并论证了〔1〕,〔3〕,〔4〕中有关积分的定义均可作为泛积分之特殊情形。     

FUZZY半测度与FUZZY测度

Fuzzy 可测集与 Fuzzy 测度的概念肇始于 L.A.Zadeh 在〔1〕中提出的 Fuzzy 事件与 Fuzzy 概率测度。七十年代 M.Sugeno 在〔2〕中从另一途径建立了不必具有可加性的一种 Fuzzy 测度与Fuzzy 积分理论。最近,E.P.Klement 与 W.Schwyhla 在〔3〕与〔4〕中给出了 Fuzzy 概率测度与有限 Fuzzy 测度的积分表示定理。何家濡在〔5—8〕中从严格的公理系统出发,建立了 Fuzzy测度空间、Fuzzy 概率空间以及(正规)Fuzzy 半测度空间,而且在〔9〕中发展了半测度的概念,提出了建立和扩张测度的另一种非传统的框架,同时在此半测度的框架下建立了 S 型积     

积分第一中值定理的一个简明的证明

本学报1979年第2期刊登了绍文同志《关于积分第一中值定理》一篇文篇,作者给出了定理的证明。本文就C∈(a,b)的问题再给出一个较为简明的证明,并给一个例子,说明连续的条件是必要的,即若f(x)在〔a,b〕上不连续时,则结论不再成立。这个定理是这样叙述的: 积分第一中值定理设在区间〔a,b〕上f(x)与g(x)都可积,且g(x)不变号,m≤f(x)≤M,则存在μ,m≤μ≤M,使下式成立 integral from n=a to b(f(x)g(x)dx)=μintegral from n=a to b(g(x)dx) (1)如果f(x)在〔a,b〕上连续,则可进一步证明,存在C∈(a,b),使 (?) (2) 为了叙述上的完整起见,把前一部分的证明也写上。证明:先证前一部分。由f(x)与g(x)在区间〔a,b〕上的可积性知(1)式左端的积分是存     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

拓扑线性空间完备化定理证明的改进

本文指出“在拓扑空间X中一切基本定向点列的全体”的提法的错误,并给出拓扑线性空间完备化定理证明的改进。     

完备测度空间上可测函数的积分

一般测度空间(Ω,F,μ)已经有了其上可测函数的积分.在此基础上,把测度空间(Ω,F,μ)完备化而成为它的完备测度空间(Ω,F,μ),找到二者的关系.然后,给出完备测度空间上的可测函数积分的一种定义.且它与测度空间(Ω,F,μ)上的可测函数的积分是一致的.     

关于第二积分中值定理

在数学分析中第二积分中值定理的基本形式是: 定理1 设f(x)在〔a,b〕(a〈b)上单调下降(即使广义的也可以),并且非负,则对〔a,b〕上的任意可积函数g(x),有integral from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(a) integral from n=a to b (g(x)dx) (1)其中ξ∈〔a,b〕。其证明可参见〔1〕、〔2〕、〔3〕。定理1仅告诉我们其中的ξ∈〔a,b〕,那么能否恰当地选取ξ,使之属于开的区间(a,b)呢?我们说,不一定!且看下面的例题。考虑〔0,(3/2)π〕上函数 f(x)=1与g(x)=cosx,显然它们满足定理1的条件,于是按照定理1,(1)式应该成立。然而     

2—距离空间与紧哈斯道夫拓扑空间上的不动点定理

本文中，作者得到几个在２－距离空间和紧哈斯道夫拓扑空间上的不动点定理，它扩弃了文〔４〕和〔５〕中一些结果。主要结果是定理１与定理２，定理４与定理６。     

关于测度正则性的一个定理

关于拓扑空间上有限Baire 测度的正则性,这是一个熟知的事实,〔1〕中对此结果已加以推广。P.R.Halmos 于〔4〕中曾研究了局部紧Hausdorff 空间上,由全体紧G_δ集所产生的σ一环上的Baire 测度的正则性。在〔3〕中,J.Maryk 也讨论过拓扑空间上可取广义实值的Baire 测度的正则性。〔1〕,〔3〕及〔4〕中的结果,看来是互不被蕴含的。本文提出了一个较普遍的关于测度正则性的定理,其结果蕴含了〔1〕,〔3〕及〔4〕中关于各种Baire 测度正则性的结论。本文是得到〔1〕的启发,并在郑曾同教授的指导下完成的,作者谨在此表示衷心的谢意。     

关于拟次加泛函的一点讨论

本文的目的是:1、指出文〔1〕§4.6定理1证明中的某一步可以简化;2、文〔2〕§2定理1和定理2关于泛函拟次加性的要求实际上可以放宽;3、给出在某种条件下广义拟次加泛函的一个特征。 下面分别说明以上三点。 一、在文〔1〕§4.6的定理1中,定义,而在文〔2〕中定义V_1=     

强p除环上方阵酉相似的一个充要条件

设Ω为强p除环。Ω上方阵酉相似的理论及应用,已在文献〔1〕中作了研究。本文作为〔1〕的补充,给出方阵酉相似的一种等价刻划,并由此得到两个推论,它对研究酉相似的理论有一定的作用。本文所有符号与〔1〕相同。     

可用积分表示的线性泛函

用M表示集Z上某些有界(实值)函数组成的线性空间,Φ为M上的线性泛函。要讨论Φ是否可表示成积分,本文给出一个充要条件。有关这方面的结果:当Z为紧拓璞空间时有Riesz定理(〔l〕,p.184),当M为格时有下面的Daniell定理(〔1〕,p.175)。 Daniell定理 设M为集Z上某些函数组成的线性空间,包含常数函数1。又设M为格,即当f∈M时必有|f|∈M,对M上的 Daniell积分Φ:即Φ为M上的线性泛函,f≥0时必有Φf≥0,f_n↓0时必有Φf_n↓0,必存在σ(M)上的测度μ使Φf=∫fdμ。这里,σ(M)表示使M中每个f为可测的最小σ环。     

L—Fuzzy一致空间的邻近结构

在〔6〕中,运用L—相重的概念,我们给出了L—fuzzy 邻近空间的定义,并证明L—fuzzy正规空间,拟度量空间是L—fuzzy 邻近空间,接着,在〔7〕,〔8〕中,我们讨论了L—fuzzy 邻近空间的拓扑性质,显示了这种定义的自然性,它以通常意义的邻近空间及〔3〕,〔4〕等文中Katsaras 定义的fuzzy 邻近空间为特款。     

哥西型积分各阶可导的一个简明证法及推广

设C由有限条逐段光滑曲线C (i=1,2,…,n) 所构成,(?)(S)在C上连续,至多在C上有有限个第一类间断点,则(?)称为哥两型积分。在解析函数各阶可导的证明以及圆内狄里赫莱问题的解的证明中都用到它。若C为一条逐段光滑曲线,(?)(S)在C上连续,在一般复变函数教科书中都谈到它存在任意阶导数,且为(?)即相当于在积分号下对Z求n阶导数。此定理的直接证明可见〔1〕,但此法以估计为主,比较麻烦,在一般书中此定理都不给予证明,本文修改介绍〔2〕给出的一个证法,此法充分发挥归纳法的作用,且本文不用含参变量复积分的知识,因为这个内容在基础课中是没有的,并他证明更为简明一些,以供     

向量极值解的必要条件

本文在Banach空间中,对非常一般的广义凸性条件,给出了择一定理、向量极值的拉格朗日乘子定理、鞍点定理和对偶定理等内容,这些结果推广了文献〔1〕〔3〕〔4〕中许多结论。