关于有限群不可约特征标的零点

设G是一个有限非Abel群,并设x是G的一个非线性不可约(复)特征标(character).写T(x):={g∈GLx(g)=0},即T(x)表示x的零点组成的集合.众所周知,T(x)是非空的且是G的一些共轭类的并.置z(x)=k_G(T(x))-1,其中k_G(T(x)),表示G的含于T(x)中的共轭类的个数,并置z(G)=∑{z(x)| x∈Irr_1(G)},其中Irr_1(G)表示G的全体非线性不可约特征标组成的集合.在这篇文章中,作者确定了z(G)≤3的有限非Abel群G.     

交错群A_5的新刻画

利用在不同的共轭类上取值均不相同的特征标的个数刻画了A_5.60阶群除了A_5外均可解.主要通过对所有60阶可解群的结构以及它们的特征标的性质进行分析,得出在各个60阶可解群的特征标中,满足在不同的共轭类上取值均不相同这一条件的特征标的个数均不为2.最后分析了A_5的特征标性质,得出只有A_5是满足条件的60阶群.采用由特殊到一般以及一一排除的方法,证明了如果一个有限群G,其阶为60,并且满足在G的所有不可约特征标中,恰好存在两个不可约特征标,使得这两个特征标在不同的共轭类上均为不同的取值,则这个群一定同构于A_5.     

非核特征标集合与正规子群

讨论了当N≤｜G时,IBrp(G｜N)对正规子群N的结构及N对G的扩张性质的影响.得到: 定理1　若N G,G/N是p′群,则对任意的非线性不可约pBrauer特征标φ∈IBrp(G｜N)有:素数p不 整除φ(1)当且仅当N有正规Sylowp子群. 定理3　设G是p可解群,G/N是{p,q}′群,N G,素数p≠q.若对所有非线性不可约pBrauer特征标 φ∈IBrp(G｜N)有q｜φ(1),则N有一正规q补. 定理4　设G是p可解群,G/N是p′群,N G.素数p≠q.若对所有非线性不可约pBrauer特征标φ∈ IBrp(G｜N′)有q｜φ(1),则N有一正规q补.     

有限群实元素和实特征标的若干性质

对有限群的实元素和实特征标性质进行了探讨,证明了奇阶实元素的共轭类长均为2-数的有限群必为可解群.刻画了不可约实特征标均是线性特征标的2-群,并给出了这类群的一个性质.     

关于Isaacs-Scott定理的注记

利用特征标与块论的方法给出了Isaacs-Scott定理的证明,并利用这个定理给出了一个推论,即,假设H是有限群G的具有p'-指数的子群且设χ为G的p幂次不可约特征标,则χH的所有不可约成份位于同一个p-块中.另外,文中用到了一类重要的代数整数,通过这类代数整数可以给出不可约特征标的某些性质;对于这类代数整数,通过两个例子给出了其计算的过程与结果.     

π-Hall 子群的线性特征标的诱导

诱导特征标研究群G的特征标与它的子群的特征标之间的关系, 其主要目的是利用G的子群已知的不可约特征标来获得G的一些不可约特征标, 从而了解G的结构.McKay猜想断言: 设G为任意有限群, p为任意素数, N为G的一个Sylow p-子群P在G中的正规化子, 则G和N的p′-次不可约复特征标的个数恰好相等. 显然N的每个p′-次不可约复特征标在P上的限制均为线性特征标.在研究G和N的p′-次不可约复特征标之间可能存在的典范对应时,Navarro于2003年在J.Alg上发表了关于Sylow p-子群P的线性特征标到N和G的诱导性质. 本文利用特征标的诱导公式,通过研究群与子群的共轭类关系,将其中的Sylow p-子群替换为π-Hall 子群,对Navarro文中的3个主要定理做了更进一步的推广,这同时是对McKay猜想π-形式的研究.     

非零点子群与不可约特征标的零点

设G是一个有限非Abel群,并设χ是G的一个非线性不可约(复)特征标.令V(χ)=｛x|x∈G,χ(x)≠0｝,Nχ=〖JB({〗x|x∈G,χ(x)=0〖JB)}〗.称V(χ)为非零点子群,而称Nχ为零点子群.在本文中，作者建立了关于不可约特征标的零点及非零点子群V(χ)的若干结果，并从关于非零点子群V(χ)的某些结果得到关于零点子群Nχ的一些结果.     

具有一些特殊维数的不可约特征标的有限群

设G为有限非交换群,χ是G的非线性不可约特征标,则有|G/kerχ|=t_χ·χ(1)对某个t_χ∈N成立.进一步地,若χ(1)~2||G/kerχ|,则G为幂零群.考虑一般情况,对满足G的任一非线性不可约特征标χ都有|G/kerχ|≤p_mχ(1)2的群G的结构得到初步结论,其中p_m为|G/kerχ|的最大素因子.利用有限单群分类定理证明群G一定非单.     

关于某些不可约特征标的核和拟核

作者建立下述两个主要结果:(i)令G是有限非Abel群,N G.设n是固定的正整数,Kn(N)≠{1}(其中Kn(N)是N的下中心列的第n+1项),Irr(G|Kn(N))中的每个非线性的monolithic特征标的次数都被p整除,则N是p-幂零的和可解的;(ii)令G是个有限非Abel群,N G.设n是固定的正整数,Kn(N)≠{1},Irr(G|Kn(N))中的每个非线性的monolithic特征标的次数不被p整除,则N有正规Abel的Sylowp-子群.利用这两个结果,作者改进了关于核和拟核及p-闭群的某些结果.     

特征标次数集是由1,一些素数和一个奇素数幂组成的有限群

令不可约特征标次数的集合cd(G)={1,m,p1,p2,…,pm},其中m是奇素数幂,Pi是素数,给出了这种有限群G的完全分类.     

实特征标和实表示

有限群的不可约实特征标未必由实表示提供.证明了当有限群G恰有3个不可约实特征标时,其中次数较大的非主不可约实特征标一定由实表示提供,并且还给出了其中的两个非主不可约实特征标的某些性质.     

特征标的π-诱导

在有限群的特征标理论中,研究子群上特征标的不可约诱导是一个基本而重要的问题.Navarro证明了在奇数阶群中关于子群的π-特殊特征标的不可约诱导的三个定理,在Isaacs的π-理论中具有重要的应用.文章去掉奇数阶群的条件,在π-可分群中使用特征标的π-诱导代替通常的诱导,证明了关于π-特殊特征标的不可约π-诱导的三个类...     

某些有限单群的一个新的数量刻画

用有限群的阶和不可约特征标的次数的素因子的个数来刻画某些有限单群。     

不可约特征标次数的整除性

设G为有限群,H为G的一个子群,χ∈Irr(G)及φ∈Irr(H).Isaacs在1995年证明了:当G为奇数阶群时,存在χH的一个不可约分量φ′使得φ′(1)整除χ(1),以及存在φG的一个不可约分量χ′使得χ′(1)整除Gφ(1).文章进一步将G为奇数的条件减弱为G∶CoreG(H)为奇数,证明了该结果仍然成立.     

关于不可约π—部分特征标的扩张条件

讨论了π－可分群中极大子群,正规子群,Hall子群及其它子群的不可约π－部分特征标的可扩张条件。     

一类DMD-群

称有限群G是单基点群 (monolith) ,如果G只有一个极小正规子群 ;称 χ是有限群G的monolithic特征标 ,如果 χ∈Irr(G)且G/ker( χ)是单基点群 ;称有限群G是个DMD 群 ,如果G的全体非线性的monolithic特征标的次数互不相同 .作者的目的是确定一类DMD 群的结构 .主要结果是下述定理 :设G是个非Abel群 ,并设换位子群G′是G的一个极小正规子群 .如果G的全体非线性的monolithic特征标的次数互不相同 ,即如果G是个DMD 群 ,则下述之一成立 :( 1 )G=P×A ,其中P是个超特殊 2 群 ,A是个奇阶Abel群 .( 2 )G′是初等Abelp 群 ,G =G′L×P1 ,其中L是G的一个Abelp 补 ,P1 是一个Abelp 群 ( p是个固定的素数 ) ,G′L/CL(G′) G/Z(G)是以G′CL(G′) /CL(G′) G′为核和以循环群L/CL(G′)为补的双传递Frobenius群 ,并且Z(G) =P1 CL(G′) .从这个定理我们立刻得到只有一个非线性的monolithic特征标的有限群的分类 .     

关于有限群的不可约特征标的限制和零元的注记

作者首先建立了关于有限群的不可约特征标的限制和零元的某些基本结果，然后，作为所建立的基本理论的一个应用，改进了一些相关结果.     

有限可解群的Brauer特征标表的一个注记

Masahiko Miyamoto证明了如果A是有限群G的一个初等交换的正规q-子群,Q是G的一个西罗q-子群,那么G的所有不可约特征标都不会零化Z(Q)∩A.本文将该结果推广到Brauer特征标上,证明了若x∈Z(Q)∩Oq(G)是G的q阶元素,那么G的所有不可约p-Brauer特征标都不能零化它,其中p≠q.此外,得到对于非p-群的有限可解群,其Brauer特征标表必有一非平凡的列不取零值.     

Bπ-特征标的正规分量的原核构造

在π-特征标理论中，Isaacs定义了π-可分群G上不可约特征标的原核并引入了B_π-特征标，并给出了在商群G/N为π′-群的条件下，从正规子群N的B_π-特征标的原核构造其上方群G的B_π-分量的原核的方法。文章在相同条件下，由群G的B_π-特征标的原核构造了其在正规子群N的某个不可约分量的原核，作为应用，得到B_π-特征标一个基本性质的简化证明。     

正规子群及群阶与表现的关系之相关问题的证明

本文利用了“正规子群及群阶与表现的关系”中的理论及有关定理证明了8个相关问题:(1)奇阶群中非单位元的任何不能与其逆元共轭。(2)奇阶群的阶与共轭元类之个数 r(G),有关系式O(G)r(G)(mod16)。(3)有限群 G 之正则表现如有非恒同的实不可约成份,则 O(G)为偶数。(4)奇阶群中任一个共轭元素类与它的逆类互异(单位元类除外)。(5)奇阶群 G 中共轭元素类之个数也必为奇数。(6)有限群 G 之共轭元素类的个数等于1/(0(G))O(Z_G(x))。(7)H 是群 G 之真子群,则 r(H)<[G:H]·_r(G),但 r(H)与 r(G)分别为 H、G 中共轭类个数。(8)H 是 G 之子群。不论 x 是 G 之任何元,恒有 O(Z_G(x))≤[G:H]·O(Z_H(x))。又“等号”成立的充要条件是 G=H·Z_G(x)。在证明中问题4利用问题2的结论。问题5利用了问题4的结论。问题7利用了问题6的结论。