有限数域上的矩阵结构

近来随着电子计算机发展起来的一类精确算法获得了巨大的进展,有别于通常的有舍入误差的计算方法,精确算法没有丝毫的误差影响,因此可以在一些特定的问题上得到应用。在精确算法中最基本的算法是解线性代数方程组问题。这一问题已经在以素数为基底的有限数域上得到了解决,但是现有的算法仍然停留在高斯一约当消去法的基础上来处理矩阵以及矩阵求逆的计算上,也就是在有限域上,线性方程组问题的基本解法到目前为止还没有一个较好的办法。现在这篇文章试图从另一个新的角度,通过对于有限数域上矩阵群的研究来探讨线性方程组的解法问题,并获得这样的结果:在有限数域上的矩阵求逆,或线性方程组求解可以用矩阵的乘幂来实现。从而使上述问题最终得解。     

关于有限数域上的矩阵结构的注记

本注记为有限数域上的矩阵结构一文中所提出的乘幂法补充了一个具体的计算公式,使该文中的算法更具生命力,从而展开了精确算法的应用阶段。     

一类四元数矩阵方程组通解复分量的极秩

【目的】在四元数体上研究矩阵方程组［AX XD］=［B E］的通解复分量极秩问题。【方法】利用四元数矩阵的复表示将原方程组转化为等价的复方程组，再通过复矩阵奇异值分解获得等价方程的通解表达式。【结果】根据分块矩阵秩的关系得到原方程组通解的复分量极秩计算公式，并在方程组无解时得到最小二乘复矩阵解的极秩公式。【结论】结果拓展了四元数体上方程组解的极秩理论并获得复分量表示通解的极秩计算方法。     

一个四元数矩阵方程组的η-Hermitian解

对于四元数矩阵方程组AXA^η∗+ BYB^η∗= E, CYC^η∗+ DZD^η∗= F , 首先运用 4 个矩阵的奇异值分解, 给出四元数矩阵方程组有η-Hermitian解的充要条件; 然后, 利用该充要条件给出矩阵方程组η-Hermitian解的表达式.     

四元数实表示的代数应用

在四元数和四元数向量、矩阵空间上引入并交替使用三种不同的实数表示方式，将四元数体上的李雅普诺夫矩阵方程和二次型转换为实数域上的等价方程组和等价二次型，并在此基础上把四元数自共轭矩阵特征值、四元数向量和矩阵的常用范数、四元数矩阵的数值半径等运算问题一律转换为实数域上的等价运算问题．     

圆域上的双调和光顺样条

本文讨论圆域上的最优光顺解,论证其特征性质及唯一可解性,说明它是双调和光顺样条;求解归结为系数矩阵对称非奇异的线性代数方程组;光顺参数的选择可与求解一并迭代进行.     

r-循环矩阵求逆的一种新算法

利用欧几里德算法给出了任意数域上非奇异r-循环矩阵求逆矩阵的一个新算法,该方法不需要计算三角函数并且具有很少的计算量.     

四元数矩阵的奇异Beta分布和F分布

应用四元数矩阵的奇异Wishart分布的密度函数表达式和奇异四元数矩阵奇异值分解的工具,求得了奇异四元数矩阵变换X=BYB~T的Jacobi行列式.利用奇异四元数矩阵的广义逆定义了四元数矩阵的奇异Beta分布和F分布,结合奇异四元数矩阵数乘变换的Jacobi行列式,给出了四元数矩阵的奇异Beta分布和F分布的密度函数表达式.最后,给出了满足两种分布的奇异四元数矩阵的非零特征值的联合密度函数.     

具有超复函数Cauchy核的奇异积分方程组

本文讨论了超复函数带Ｃａｕｃｈｙ核的奇异积分方程组，得到了指标公式和非齐次超复函数奇异积分方程组的可解条件。在可解条件下，得到了非齐次超复函数的奇异积分方程组的求解公式。     

四元数矩阵M-P逆变换的Jacobi行列式

应用奇异四元数矩阵的奇异值分解,给出了奇异四元数矩阵的外微分式,并由此得出了M-P广义逆变换的Jacobi行列式.本文所得到的结果在求奇异四元数矩阵正态分布及Wishart分布的密度函数表达式中发挥重要作用.     

夹杂尖端奇异性场的新型杂交元分析

提出了一种夹杂尖端邻域杂交元模型,与全域杂交应力元结合,求解夹杂尖端的奇性应力场的数值解. 利用高次内插有限元法求解特征问题, 得到反映夹杂尖端场奇异性状况的特征值和特征角分布函数;利用Hellinger-Reissner 变分原理以及特征问题的解,推导夹杂尖端邻域的单元矩阵.模型只考虑夹杂尖端邻域的边界, 避免了在夹杂尖端划分高密度网格. 采用正方形夹杂作为算例, 数值结果显示了良好的精确性.     

不确定线性奇异系统的有限时间控制

针对具有时变外部扰动的不确定线性奇异系统,研究基于状态反馈的有限时间控制问题,系统的状态矩阵和输入矩阵均含有范数有界不确定项。利用Lyapunov泛函方法和线性矩阵不等式(LMI)工具,给出了不确定奇异系统经由状态反馈的有限时间有界(FTB)的充分条件。这些充分条件都可转化为线性矩阵不等式可行性问题。并通过一个数值实例说明了该方法的有效性。     

二维磁场积分方程奇异点处理的有效方法

基于积分方程的矩量法求解电磁散射问题需要奇异积分计算,而且奇异阻抗矩阵的计算是影响矩量法计算精度的重要因素之一.论文将基于二维磁场积分方程的脉冲函数作为基函数、δ函数作为检验函数,对奇异矩阵元素的计算进行特别处理,将对角元素的计算分为两个子部分,每个子部分的贡献采用非奇异传统方法计算,于是对角元素的值为奇异值与两个子部分的贡献之和.数值结果表明:该方法用于曲线散射体求解具有有效性和正确性.     

广义对称系统有穷固定模的判别

给出了广义对称系统和广义状态空间对称系统的定义,并对它们的固定多项式分别进行了分析;利用矩阵秩的不等式关系,研究了广义对称系统的有穷固定模的判别问题,给出了不可控模态与不可观模态的关系,并提出了一种新的求解有穷固定模的方法;结果表明,广义对称系统的有穷固定模集合由系统的所有不可控且不可观的有限模态构成·与已有结果相比,本文给出的方法更加有效且简洁·     

基于伪协方差矩阵 Otsu 方法的信源数估计

为提高高斯色噪声背景下信源数估计的成功概率, 提出了一种基于伪协方差矩阵的 Otsu 类间方差法。 伪协方差矩阵对一定条件下的高斯白噪声和高斯色噪声具有免疫特性, 而且利用阵元间的时间相关性增加了 阵列的有效孔径, 进而提高了伪协方差矩阵奇异值分解后信号奇异值与噪声奇异值的差异程度。 在此基础上, 利用 Otsu 类间方差法对信号奇异值与噪声奇异值进行分类。 仿真结果表明, 该方法可进一步提高信源数的估 计成功概率。     

用无限阶矩阵求微分方程在奇点处的级数解

应用线性微分算子在幂基下的无限阶矩阵, 研究线性微分方程在奇点处的级数解. 得到一个计算无限阶矩阵属于零的特征向量的递推公式, 进而用这些特征向量表示级数解. 给出用有限阶矩阵判断奇点正则性的方法, 并改进了Fuchs定理.     

基于观测器的不确定广义系统D稳定极点配置

研究了具有D稳定约束的不确定广义系统鲁棒状态观测器问题。基于参数矩阵不等式和广义逆理论，提出了一种广义鲁棒状态观测器的设计方法，目的是对于所有容许的参数不确定性，相应的广义状态估计系统是正则，无脉冲，且其有限极点配置在预先给定的圆盘中，从而使整个观测过程具有所希望的鲁棒性和暂态性能；并获得了希望的鲁棒状态观测器增益的存在条件及其解析表达式。     

用惩罚拟协调元法分析二维N—S问题

给出构造 Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ问题罚有限单元的拟协调元法。在处理剂次约来离散 矩阵的奇异性问题时，暂代减缩积分，利用多套函数的灵活性和秩的分析方法，进行 秩的预先设计，成功地构造出－１２参三角形拟协调单元。以求解正方形空穴流动为 例，在网格的粗的情况下，求得了雷诺数为３ ０００的稳定、收敛的解。在求解离散 化的非线性方程组时，将最优化法与增量－牛顿法结合使用，改善了迭代格式的适应 性能，提高了计算效率。公式推导过程和试验结果表明分忻与求解方法是有效的。     

奇异热流密度场的数值分析(I)——热传导特征解问题

为得到用于分析奇异热流密度场的高效的有限元列式,针对不同材料中界面裂纹尖端的扇形区域,推导出二维热传导特征解问题的基本方程和边界条件的弱形式.利用特征方程展开方法,可获得分析裂纹尖端处二维热传导特征解的一维有限元列式.该列式只需对扇形区域在角度方向上离散,最后得到一个二次特征根矩阵的总体方程.求解该方程可得到二维热传导问题的特征解.数值计算表明,该方法可高效准确地求解奇异热流密度场特征解.     

奇异热流密度场的数值分析(Ⅰ)——热传导特征解问题

为得到用于分析奇异热流密度场的高效的有限元列式,针对不同材料中界面裂纹尖端的扇形区域,推导出二维热传导特征解问题的基本方程和边界条件的弱形式．利用特征方程展开方法,可获得分析裂纹尖端处二维热传导特征解的一维有限元列式．该列式只需对扇形区域在角度方向上离散,最后得到一个二次特征根矩阵的总体方程．求解该方程可得到二维热传导问题的特征解．数值计算表明,该方法可高效准确地求解奇异热流密度场特征解．