关于Abercrombie一个结果的注记

设θ∈[1, ∞ )为任意实数,序列 B_θ={[nθ]|n∈N|叫作由θ决定的Beatty序列Beatty序列近年来由于同半群的联系而受到关注(见文献[1]及其参考文献).Abercrombie考虑了Beatty序列中的除数问题.设k≥2为固定正整数,令D_k(θ;x)=sun from n ≤x/θd_k([nθ])=sum from n≤x n∈B_yd_k(n).则文献[2]证明了,在Lebesgue,测度意义下.对几乎所有的θ≥1,有D_2(θ;x)=θ~(-1)D_2(1;x) O(X~(5/7 ε),     

一个由线性微分算子确定的函数类的最佳逼近问题

1.设p_1(x),p_1(x),…,p_r(x)∈C[0,1],r≥2.p_0(x)≠0,,P(D)=p_0(x)D … p_(r-1)(x)D p_r(x)1是一r阶线性微分式,其中1表示恒等算子。W~r表示[0,1]区间上的函数类,其中任一f(x)的r—1阶导数f~((r-1))(x)在[0,1]上绝对连续者。记(?)={f(x)∈W~r:||P(D)f(·)||L_p≤1},     

一个数值微分公式的余项

微分插值公式f(x)=H_n(x)+R_n(x) (1)导出数值微分公式f(k)(x)=H_n~(k)(x)+R_n~(k)(x) (o≤k≤n),(2)这里H_n(x)为函数f(x)的n次插值多项式。设其节点为a_0,a_1,…a_n,则(1)式的余项可     

Lienard方程零解的全局渐近稳定性

本文研究Lienard方程 x+f(x)x+g(x)=0 (1)的零解的全局渐近稳定性问题。已知的结果请参看文献[1—4]。以往大都采用Liapunov第二方法研究这个问题,而本文则采用Filippov变换的方法。所得结果包括已有的结果作为特例。本文总设 (ⅰ) f,g:R→R连续,xg(x)>0,x≠0。记F(x)=integral from n=0 to x f(s)ds,G(x)=integral from n=0 to x g(s)ds。令F_+(x)=max{O,F(x)},F_(x)=max{O,-F(x)},Γ_+(x)=integral from n=0 to x (1+F_+(s))~(-1)g(s)ds,Γ_(x)=integral from n=0 to x(1+F_(s))~(-1)g(s)ds,     

周期系数Riccati方程之周期解

考虑周期系数Riccati方程 dy/dx=A(x)y~2+B(x)y+c(x),(1)其中,A(x)、B(x)、C(x)是以2π为周期的周期函数。 设特征方程 F(y,x)=A(x)y~2+B(x)y+C(x)     

用Fourier部分和子列的线性平均逼近周期函数

设f(x)∈L_(2x),f(x)～a_0/2 sum from n=1 to ∞a_n cos nx b_n·sin nx。以s_n(f,x)表示其第n部分和。设M={m_j}为自然数子列,记σ_n~a(M,f;x)=1/((a)_v)sum from j=0 to n(a-1)_(n-j)s_m_j(f,x),其中(a)_v=(a v 1)/(a 1)(v 1)。对于空间X=L_(2x)或G_(2n)以E_v(f)_x表示在X中用阶不     

在迁移理论中一类非线性积分方程的极大解和极小解

一在文献[1]中给出方程u(x)=ψ(x) u(x)∫K(x,t)u(t)dμ(t)在L~1(μ)中存在唯一解的充分条件.在文献[2]中给出H方程H(x)=1 xH(x)∫_0~11x 1ψ(t)H(t)dt存在两个解的充分条件(但这个条件不易检验),本文是对于一般形式的双线性型方程     

Banach函数空间内的В.В.Немыцкий算子的连续性和有界性

定义1设G是欧氏空间中的可测集且mesG<∞,G×R~1上的实函数f(x,u)满足Caratheadory条件,即它对于几乎所有的x∈G关于u连续,而对于每个u关于x可测。算子h表示 (hu)(x)=f(x,u(x))。定义2 对于G上的Banach函数空间X,如果(i)存在C>0使当U(X)∈(X)时‖u‖_1 ≤C‖u‖_x,(ii)当u_1(x)∈L_1,u_2(x)∈X和|u_1(x)|≤|u_2(x)|时,u_1(x)∈X且‖u_1‖x≤‖u_2‖x,(iii)G上的特征函数x_G(x)∈X;则称X为理想空间。X的闭子空间X_o是具有绝对连续范数的函数的全体(见文[2])。     

可化为一个“积分小”系数的二阶微分方程解的振动性质

本文讨论二阶微分方程 (r(t)ψ(x)x′)′+p(t)f(x)=0, t≥t_0≥0 (1)和它的特殊形式 (r(t)x′)′+p(t)x=0 (2)的解的振动性。其中r∈C~1([t_0,∞),(0,∞)),     

环Z/(2e)上本原序列最高权位的0,1分布(Ⅱ)

设f(x)=x~n c_(n-1)x~(n-1) … C_0是Z/(2~e)上首一多项式,适合关系式a_(i n)=-(c_0a_i c_1a_(i 1) … c_(n-1)a_(i n-1)),i=0,1,2,…(1)的Z/(2~e)上序列a=(a_0,a_1,…)称由f(x)生成的线性递归序列,由f(x)生成的Z/(2~e)上的所有序列的集合记为G(f(x))_e,并记G’(f(x))_e={a∈G(f(x))_e│a≠0 mod 2}.递归式(1)等价于关系式f(x)a=0=(0,0,…),其中x表示移位算子,即xa=(a_1,a_2,a_3,…).Z/(2~e)上序列a有唯一权位分解a=a_0 a_12 … a_(e-1)2~(e-1),其中a_i=(a_(i0),a_(i1),…)是0,1序列,并称a_i是a的第i权位序列,称a_(e-1)为a的最高权位序列.对Z/(2~e)上首一n次多项式f(x),若f(0)(即c_0)是可逆元,则由文献[1],f(x)的周期per(f(x))_e≤2~(e-1)(2~n-1).当per(f(x))=2~(e-1)(2~n-1)时,称f(x)是Z/(2~e)上n次本原多项式,并称G’(f(x))_e中序列为f(x)生成的本原序列.文献[2]给出了本原多项式的系数     

I. Pivovarov的定理的反例及更正

在文献[1]中作者考察方程(?) f(x,(?)) g(x)=0,(1)其中f(x,(?)),g(x)对一切x,(?)连续且满足     

中位数交叉核实准则

考虑非参数中位数回归模型Y_(ni)=g(x_(ni)) ε_(ni),1≤i≤n,(1)其中g:[0,1]|→R是待估计的连续函数,{x_(ni):1≤i≤n}是区间[0,1]上的非随机设计点列,{ε_(ni):1≤i≤n}是iid随机变量,中位数为零,{Y_(ni):1≤i≤n}是观察值.对x∈[0,1],n≥1,记D_(nj)(x)为x的第j个近邻,j=1,2,…,n,即{D_(n1)(x),D_(n2)(x),…,D_(nn)(x)}为{x_(n1),x_(n2),…,x_(nn)}的一个置换,满足|D_(n1)(x)-x|≤|D_(n2)(x)-x|≤…≤D_(nn)(x)-x|,结按自然顺序消去.令Y_(ni)(x)和ε_(ni)(x)分别表示D_(ni)(x)(1≤i≤n)处的观察值和随机变量.下面的估计g_n(h,x)=(?){Y_(n1)(x),Y_(n2)(x),…,Y_(nh)(x)},(2)(?)表示样本中位数,这个估计称为g(x)的最近邻中位数估计(或者局部中位数估计),其中近邻个数h起着光滑参数作用.h的选择对估计的好坏起着决定性的作用.作者与郑忠     

关于一类多项式在L尺度下的加权不等式

记L(n)={sum n to i=1 a_i(1+x)~i(1-x)~(n-i):a_i≥0}.本文将文[2]在C 尺度下的不等式拓广到L 尺度下,证得定理若f(x)∈L(n),r 为正整数,则有integral from -1 to 1|f~(r)(x)|((1-x~2)~2(1/2))~_~1dx≤Cr (n~r)~2(1/2) integral from -1 to 1 |f(x)|(1-x~2)~2(1/2)dx.(1)证用归纳法证明.首先证明r=1的情形.记q_(ni)(x)=(1+x)~i(1-x)~(n-i),直接算得     

关于解非线性方程组的King-Werner叠代过程的收敛性

在解非线性方程组P(x)=0的叠代法中,最常用的是Newton法,而它的种种改进,则与叠代函数u(x)=x-P′(x)~(-1)P(x)由一目拓广为两目w(x,z)=x-P′(z)~(-1)P(x)有     

关于非参数回归核估计的强相合性

令(X,Y),(X_1,Y_1),…,(X_n,Y_n)为取值R~d×R的i.i.d随机向量,对某个p>2,E(|Y|~p)<∞。我们用x及(X_1,Y_1),…(X_n,Y_n)的函数m_n(x)来估计回归函数m(x)=E(Y|X=x)。m(x)的一类非参数核估计定义为     

关于D.H.Lehmer问题

设P为奇素数,我们知道对任一1≤x≤p—1,存在唯一的1≤(?)≤p—1使得x(?)≡1(modp)。用r(p)表示同余方程x(?)≡1(modp)满足条件1≤x,(?)≤p—1且x与(?)具有相反的奇偶性的解的个数。关于函数r(p),Lehmer曾提出求函数r(p)的值或者说一些有关它的非平凡性质。显然当p≡±1(mod4)时有同余式r(p)≡2或者0(mod4)。     

非线性退化高阶发展方程周期边值问题的古典解

考虑非线性退化高阶发展方程=g(x,t,u,u_x…,u_xM) (1)的周期边值问题u(x,0)=u_1(x,0)=0 x∈R (2)     

中值滤波中的循环序列(Ⅰ)

本文中k始终表示大于1的固定正整数.给了实数列x={x(n)}_(n=0,±1…),则对每一n,我们用x~(1)(n)表示{x(n-k),x(n-k+1),…,x(n),…,x(n+k-1),x(n+k)},这2k+1个实数由小到大重排后位于中间的那个数.通过这种重排运算,x={x(n)}可变成一个新的实数列X~(1)={x~(1)(n)},它称为x的中值滤波(窗宽为2k+1).对X~(1)     

Orlicz-Sobolev空间W~mE_A的分段多项式逼近

设π(x)是区间(0,1)的特征函数,π_h=h~(-1)π(x/h),π_h~i=h~(-1)π(x/h-i);     

具交变阻尼的Liénard方程存在极限环的条件

考虑Liénard方程(?)+f(x)(?)+g(x)=0 (1)及其等价方程组(?)=y,(?)=-f(x)y-g(x),(2)其中f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续,并令