魅力独特的梅森素数

梅森素数是数论研究中的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一.由于它具有许多奇特的性质和美妙的趣闻,千百年来一直吸引着众多数学家,如欧几里得、费马、梅森(M.Mersenne)、笛卡儿、莱布尼茨、欧拉、高斯、哥德巴赫(C.Goldbach)、哈代(G.H.Hardy)、向克斯(W.Shanks)、柯尔(F.N.Cole)等和无数数学爱好者.2000多年来,人类仅找到44个梅森素数;这种素数珍奇而迷人,因此被人们称为"数学宝山上的璀璨明珠".     

魅人的梅森素数

梅森素数具有许多奇特的性质和美妙的趣闻,千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究;虽然已经揭示了一些规律,但围绕着它仍然有许多未解之谜,等待着人们去探索和揭开。     

魅力无穷的梅森素数

2004年5月15日 ,美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(JoshFindley)用一台装有2.4GHZ 奔腾处理器的个人计算机 ,找到了目前世界上已知的最大梅森素数。该素数为224036583 -1 ,它有7235733位数 ,如果用普通字号将这个数字连续写下来 ,它的长度可达3万米 !它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数 ,也是目前已知的最大素数。世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介 ,认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。也许会有人感到奇怪 :素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗 ?在数…     

妙用"高斯和"、巧解"吉祥数"

长期以来,人们对素数的研究由应用而推动.它出自人们对自然美的欣赏和追求,人类的智慧光芒也在其中闪烁,人也在这种追求中显示自己的价值.2009年已经过去,笔者最近见到一道特别有趣的试题,经过推广可以进行到一般结果.     

发现新的梅森素数

正据www.mersenne.org网站报道,2013年1月25日,美国中央密苏里大学的库珀(C.Cooper)领导的研究小组,利用"互联网梅森素数大搜索"(GIMPS)项目发现了第48个梅森素数2~(57885161)-1,这也是已知最大的素数,有17425 170位。距GIMPS上次发现"最大"的12978189位梅森素数已历时四年之久。这是库珀团队第三次在这方面做     

素数——神秘表象的背后

素数是上帝用来描写宇宙的字。     

方程a λ=p(a∈A,p∈P)的解数

1964年,Sierpinsk证明了:对于给定的N,存在整数C,使得二次多项式x~2 C至少取N次素数值.1990年,Garrison将Sierpinski的结果推广到x~n C的情形.1993年,Abel与Siebert对上述结果做了进一步的推广.设有集合A={a_n}(?)N,记则下面的定理成立.定理A 若那么,对于任意给定的正整数N,存在正数C=C(N),使得a_n C表示出至少N个素数.     

妙用＂高斯和＂、巧解＂吉祥数＂

长期以来，人们对素数的研究由应用而推动。它出自人们对自然美的欣赏和追求，人类的智慧光芒也在其中闪烁，人也在这种追求中显示自己的价值。2009年已经过去，笔者最近见到一道特别有趣的试题，经过推广可以进行到一般结果。     

素数幂时完整三角和的估计

设f(x)=a_kx~k+…+a_1x+a_0(k≥3)为一整系数多项式,p为素数,(a_k,….a_1,p)=1,p~t‖(ka_k,(R—1)a_k-1),…,a_1)。若记     

关于D.H.Lehmer问题

设P为奇素数,我们知道对任一1≤x≤p—1,存在唯一的1≤(?)≤p—1使得x(?)≡1(modp)。用r(p)表示同余方程x(?)≡1(modp)满足条件1≤x,(?)≤p—1且x与(?)具有相反的奇偶性的解的个数。关于函数r(p),Lehmer曾提出求函数r(p)的值或者说一些有关它的非平凡性质。显然当p≡±1(mod4)时有同余式r(p)≡2或者0(mod4)。     

二次非剩余(mod p)之分布

令p为奇素数,(n/p)是通常的Legendre符号。记α(p)为最小的正整数n(modp)使得(n/p)=(n+1/p)=-1.关于α(p)的上界估计是数论中的困难问题之一。基于A.Weil的特征和估计立即有α(p) p~(1/2)logp.1963年,Burgess证明,若H     

奇数情形Goldbach问题研究

1742年Goldbach在与Euler的几次通信中提出了每一个偶数N_1≥6都能够表示成为两个奇素数的和。这就是现在熟知的Goldbach猜想。多年来,许多数学工作者为之付出了艰辛的劳动,但至今仍未得到解决。目前,关于这一问题的最好结果是:陈景润在1966年得到的     

关于R.K.Guy的一个问题

设p为奇素数,(n/p)为通常的Legendre符号.若p≡1(mod4),容易证明区间T_1=[1,(p-1)/2]与区间T_2=[(p 1)/2,p-1]中二次剩余(modp)的个数是相同的.换言之,当p≡1(mod4)时modp的二次剩余的分布具有均匀性.若p≡3(mod4),问题变得复杂起来.以h(-p)表虚二次域Q((-p)~(1/2))的理想类数,我们有Dirichlet的类数公式     

人类发现第50个梅森素数

正素数也叫质数,其特点是它只能被1和它本身整除,著名的“哥德巴赫猜想”就与素数有密切关系。我们小学背过素数,人教版高中《数学》高三数学选修也会讲到“素数及其判别法”。梅森素数是数学家梅森发现的,人们为了纪念他,将Mp是素数时的梅森数称为梅森素数!2017年12月26日,一位美国电机工程师乔纳森·佩斯,利用互联网梅森素数大搜索项目     

迄今最大的梅森素数

<正>梅森素数是目前发现最大素数的有效途径。它推动了数论研究,也促进了计算技术、密码技术、网格计算技术和程序设计技术的发展。2300多年来,人类仅发现49个梅森素数。2016年1月7日,美国数学家库珀发现第49个梅森素数,即2的74207281次方减1。这个超大素数有22338618位,是目前已知的最大素数。如果用普通字号将它连续打印下来,它的长度可超过65千米!     

寻找梅森素数

不久前,美国国家海洋和大气局(NOAA)信息技术顾问、数学爱好者乔希·芬德利使用一台家用台式电脑,发现了目前世界上已知的最大素数。该素数为2的24036583次方减1(即224036583-1),它有7235733位数,如果用变通字号将这个数字连续写下来,它的长度可达3万米!科学家们认为这项成果是数学研究和计算机技术中最重要的突破之一。半年前,美国的一位大学生曾发现第40个梅林素数。数海明珠素数又称质数,是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数,如2、3、5、7、11等。公元前300多年,古希腊数学家欧几里德证明了素数有无穷多个,并提出少量素数可写成…     

自然信息

与默森纳素数有关的大孪生素数1644年法国数学家默森纳(M.Mersenne)研究了一类形如M_p=2~p-1的数,当p是某些素数如2,3、5、7、13、17和19时,M_p也是素数,这时我们称M_p为默森纳素数,我们知道欧几里得早就证明过     

稀奇迷人的梅森素数

正2018年12月7日,来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什(Patrick Laroche)利用"互联网梅森素数大搜索"(GIMPS)项目,成功发现第51个梅森素数2~∧82 589 933-1(即2的82 589 933次方减1);该素数有24 862 048位,是迄今为止人类发现的最大素数。如果用普通字号将它打印下来,其长度将超过100公里!众所周知,素数又叫质数,是在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数。每个自然数都可以唯一地分     

素变数三角和的一个Bombieri型均值定理

在Goldbach猜想、孪生素数猜想等数论经典问题的研究中,必须处理素变数三角和S(x;α)=sum from n≤to A(n)e(nα),其中α及x≥2是实数,A(n)是 von Mangoldt函数,而 e(α)=e~(2πiα).当α接近于分母较小的分数时,例如时,有渐近公式(参看文献[1])此处及以下,L代表logx,μ(n)和(?)(n)分别是M(?)bius函数和Euler函数,而带有下标的c总     

素数与零点--黎曼假设研究概况

2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。