二阶微分方程全局渐近稳定性的充要条件

在适当的条件下研究二阶微分方程 x+p(x,x,t)f(x)Φ(x)+q(t)g(x)h(x)=e(x,x,t)及其特殊方程的零解x=x=0为全局渐近稳定的或一切解及其导数均趋向于(0,0)的充要条件。并在具有无界阻尼的条件下,对p(x,x,t)给出一个增长条件,以保证其零解为全局渐近稳定或一切解及其导数均趋向于(0,0)。     

多变量函数的可微性

本文论证 n 变量函数可微的充要条件,怀莱布然(de la Vall'ee Poussin)在差分的观点上建立二元函数可微的充要条件,即二元函数 F(x,y)在点 P(x,y)处可微的充要条件为i)函数 F(x,y)在点 P(x,y)处具有确定而有限的偏导数;ii)函数 F(x,y)的第二差分Δ~2F=F(x+h,y+k)-F(x,y+k)-F(x+h,y)+F(x,y)是的无穷小量.但是奥斯脸罗斯基(A.Ostrowski)引用均匀可导的概念建立二元函数可微的主要条件,即二元函数 F(x,y)在点 P(x,y)处可微的主要条件为函数 F(x,y)在点 P(x,y)处对 x 及 y 都是均匀可导:本文首先叙述 n 变量函数 K 度均匀可导的定义,借此来推广奥斯脱罗斯基定理,再通过条件等价性的论证来推广怀莱布然的定理.一、n 变量函数 R 度均匀可导的定义二、奥氏条件的推广三、奥氏条件和怀氏条件的扩充四、和奥氏条件等价对怀氏条件的扩充(一)五、和奥氏条件等价对怀氏条件的扩充(二)     

单侧条件下Liénard系统的调和解

研究了一类二阶微分方程x″+f(x)x′+g(x)=e(t)调和解的存在性.假设f(x)有界,g(X)满足新的单侧条件,即当x≥d时g(x)/x≥a,以及当x＜d时g(x)满足次线性条件或者有界,应用连续引理,得到了调和解的存在性定理.     

收敛无穷积分的若干问题

研究在无穷积分∫ ∞a f(x)dx ,收敛的条件下 ,被积函数f(x)的一些性质以及f(x) → 0 (x→ ∞ )的几个充分条件。     

一类置换多项式的另一种证明

Luyan Wang给出了当3|(-1)和5|(q-1)时,f(x)=xμ(xμ+1)∈Fq[x}是置换多项式的等价条件,并给出相应的证明,本文给出f(x)=xμ(xμ+1)是置换多项式的另一种等价条件。     

Lienard方程存在唯一、稳定周期解的一个充分条件

本文给出了在下列条件下:1) f(x)∈C~0(-∞,∞);f(x)是偶函数;f(0) <0;2) F(x)=(?)f(t)dt;F(x)=0有唯一的正实根 x=a;0a 时F(x)>0且为单调不减函数;3) g(x)∈C~0(-∞,∞);g(x)是奇函数,且满足 Lipschitz 条件;xg(x)>0,x≠04) F(+∞)>+∞;G(+∞)<+∞;其中 G(x)=(?)g(t)dt 方程(?)+f(x)(?)+g(x)=0存在唯一稳定周期解的一个充分条件.     

具有连续时滞的双曲型偏微分方程解的振动性

研究了一类具有连续时滞的双曲型偏微分方程t2 A(x,t)u(x,t) ba∫B(x,t,τ)f(u(x,r1(t,τ)))dm(τ)=C(t)Δu(x,t) b∫aD(t,τ)Δu(x,r2(t,τ))dm(τ)解的振动性,获得了该方程在Rob in边值条件和D irc ichlet边值条件下解振动的充分条件。     

Max(f,g)与 Min(f,g)的若干性质及其应用

设 f(x)与 g(x)是定义在实数集 X 上的二实值函数,则 max(f(x),g(x))与 min(f(x),g(x))也是定义在 X 上的二实值函数,记 M(x)=max(f(x),g(x)),m(x)=min(f(x),g(x)),x∈X.本文将在 f(x)与 g(x)满足某些条件下,导出函数 M(x)与 m(x)应具有的若干性质如下:性质1(有界性) 设 f(x),g(x)均在 X 上有界,则 M(x),m(x)也在 X 上有界。证由条件,则必存在数 k>0,使对任意的 x∈x,有|f(x)|≤ k和|g(x)|≤k 成立从而有|M(x)|≤k,|m(x)|≤k 成立.即 M(x)与 m(x)在 X 上有界。     

非线性微分方程系的周期解

§1.小引 本文将讨论含有参数的非线性微分方程系 dx/dt=X(x,t) q(x,t,k)周期解的存在和稳定问题,其中x,X(x,t)及q(x,t,k)都是n维向量,而且满足下面的条件: (i)X(x,t)是(x,t)的连续函数,也是t的期周函数,周期为π,对x来说满足李氏条件,又     

微分中值定理的推广及其应用

本文在函数f(x)分别满足Rolle定理和Lagrange中值定理的条件下,以及函数(x)、F(x)满足Cauchy中值定理条件而函数g(x)满足一定条件下,推广了前述三个定理,而这三个基本定理则成为本文所建立的推广后有关定理的特殊情形。     

关于菲赫金哥尔茨定理的改进

实变函数论中的菲赫金哥尔茨(?)定理是这样的: 若F〔f(x)〕对于所有绝对连续函数f(x)常为绝对连续函数,则F(x)满足李卜希兹条件。本文利用磨光函数的方法,使上述定理中f(x)的范围缩小为满足|f′(x)|≤1的函数,从而将菲赫金哥尔茨定理的条件大大减弱。随之可得出两个推论。现叙述如下: 定理若F〔f(x)〕对于所有满足|f′(x)|≤1的函数f(x)常为绝对连续函数,则F(y)(y∈〔a,b〕)满足李卜希兹条件。     

非线性方程的极限环问题

本文首先研究非线性方程x=φ(y)-F(x),y=-g(x)的极限环存在问题,放弃了φ(±∞)=±∞的条件,包含了[3—7]的有关定理。然后对形如x F(x,x) g(x)h(x)=0的二阶非线性方程,利用[8]及本文§1的结果,给出了若干存在极限环的条件,包含了[9]的定理2及[10]p.374的Reissig定理。     

一个广义凸规划强稳定性定理

对凸规划问题 ( Pt)的强稳定性定理作了相应的改进 ,将原定理中充分性条件“f( x,t)是关于 x的可微凸函数”减弱成条件“f( x,t)是关于 x的严格伪凸函数”。在其它条件不变的情形下 ,其强稳定性结论仍然成立。     

收敛无穷限反常积分被积函数在无穷远处的极限

证明了在一定条件下,收敛无穷限反常积分的被积函数f(x)在无穷远处的极限是零,在f(x)或xf(x)单调的条件下,还得到了更好的结果.     

左定Sturm—Liouville边值问题

本文讨论了左定Sturm-Liouville方程-(p(x)y′)′ q(x)y=λy(x)y在混合型边条件下的边值问题     

Lienard系统的解的有界性、全局吸引性及极限环的存在性

研究了Lienard系统x=y-F(x),y=-g(x)及广义Lienard系统x=h(y)-F(x),y=-g(x)的全局性质，给出一切解正向有界，全局吸引及极限环存在的新的充分条件。     

拟周期平面振子平衡点的稳定性

利用主积分方法,将周期系统平衡点的稳定性判据推广到拟周期情形,即证明拟周期二阶微分方程x″+h(t)x′+a(t)x2n+1+e(t,x)=0(n≥1)平衡点x=x′=0的稳定性,其中h(t),a(t),e(t,x)是拟周期系数,其频率向量满足Diophantine条件,且在x=x′=0附近,|e(t,x)|=O(x2n+2).结果表明,具有变号阻尼项拟周期振子的平衡点在一定条件下具有稳定性.     

一类半线性退化Schr?dinger方程的无穷多大能量解的存在性

本文运用变分法和Z2山路定理首次研究了半线性退化Schr?dinger方程{-Δγu+V(x)u=f(x,u)+μg(x,u)x∈RN u∈Sγ2,V(x)(RN)无穷多大能量解的存在性.其中N≥2,Δγ 是退化椭圆算子,非线性项f(x,u)在无穷远处满足超线性条件,g(x,u)满足次线性条件.     

二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法

在(b′(x)b+2a(x)b(x))/b~2(x)≡c(常数)条件下,给出了微分方程y″+a(x)y′+b(x)y=f(x)(1)相对应的Riccati方程z′=z~2-a(x)z+b(x)(2)存在通解公式,进而得出了微分方程(1)或其齐次方程的通解公式.应用这些只与方程系数a(x)与b(x)相关的求解公式,求其通解过程十分简捷.     

S.BERNSTEIN多项式在无穷区间(-∞,+∞)上的推广

本文引进了推广到无穷区间(-∞,+∞)上的S.Bernstein多项式的更一般的形式其中f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,p为正偶数,使蔡冠华所引进的S.Bern-stein多项式为(1)式中p=2时的特殊情况。而且证明了在比文[1]更弱的条件下,对于f(x)的任一连续点x。有同时也研究了B_n~(P)(f,x)对于f(x)的逼近度,并证得当f(x)定义在E={x||x|≥1}上时,在一定条件下,B_n~(P)(f,x)与f(x)的误差比文[1]中的更小。