最大公因数与最小公倍数的矩阵求法

本文通过讨论，给出一个求两个整数的最大公因数和最小公倍数的矩阵求法。经过整数矩阵的初等变换，可在一个整数矩阵上同时求得（m,n）与[m,n]。这个方法有助于求解整数的标准分解式。     

关于最大公因数闭集上平方矩阵的行列式整除性的注记

设S={x1，…，Xn}是由n个不同正整数组成的最大公因数闭集。在本文中我们的主要结果是：对max{xi}xi∈s 〈18中除去12∈S的最大型因子集是{2，3}的其余情形均有det（S）n^2｜det[s]n^2.     

最大公因数闭集上平方矩阵的行列式的整除性

设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的最大公因数闭集．得到的主要结果是：（1）如果n≤3,则det（S）n^2整除det[S]n^2;（2）如果max{xi si∈S}〈12,则det（S）n^2整除det[S]m^2;（3）当n=4时,存在最大公因数闭集．S,有det（S）n^2不整除det[S]n^2．     

F闭集上的LCM矩阵

本文将定义在集Ｓ上的最大公因子（ＧＣＤ）矩阵〔Ｇ（Ｓ）〕推广到Ｓ上的最小公倍（ＬＣＭ）矩阵〔Ｌ（Ｓ）〕。我们给出了矩阵〔Ｌ（Ｓ）〕的结构定理以及行列式ｄｅｔ〔Ｌ（Ｓ）〕的计算公式。当Ｓ为因子闭集时，我们给出了行列式ｄｅｔ〔Ｌ（Ｓ）〕的一个简洁优美的公式。     

因子链上的最大公因数幂矩阵与最小公倍数幂矩阵

设S={x1,…，xn}是由n个不同正整数组成的集合，ε∈Z^ ．本文研究了对ε∈Z^ 定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)n^ε和[S]n^ε的奇异性及它们的行列式det(S)n^ε：与det[S]n^ε间的整除性．     

GCD矩阵和LCM矩阵的性质

设Ｓ＝（ｘ１，ｘ２，．．．．Ｘｎ）是含几个不同正整数的集合，（Ｓ），（Ｓ）分别是定义在Ｓ上的ＧＣＤ矩阵和ＬＣＭ矩阵，给出了对偶因数封闭集的定义，讨论了对偶因数封闭集的最小公倍数封闭集上的矩阵（Ｓ）和（Ｓ）的性质。     

对洪关于幂LCM矩阵的一个猜想的注记

一个含有n个不同正整数的集合S={xt，…，xn}称为是gcd闭的，如果S中任两个整数的最大公因子也在S中，洪绍方在2002年猜想：对于给定的一个正整数t，存在一个仅由t决定的正整数k(t)，使得当n≤k(t)时，定义在任意gcd闲集S={xt，…，xn}上的幂LCM矩阵([xi，xj]^t)是非奇异的；而当n≥k(t) 1，则存在一个gcd闭集S={xt，…，xn}，使得定义在其上的幂LCM矩阵([xi，xj]^t)奇异，洪于1999年证明了k (1)=7，在本文中，作者证明了若t≥2，则有k(t)≥8．     

整数矩阵及其应用

首先给出了整数矩阵的定义及性质,然后讨论了它在求整数的最大公因数和解整系数不定方程中的应用.     

矩阵初等变换在数论中的两个应用

矩阵论的应用十分广泛。文章将以矩阵的初等变换为理论工具，通过对两个命题的证明，给出了用矩阵的初等变换求整数的最大公因数和解线形不定方程的方法。     

关于幂LCM矩阵非奇异性的洪猜想的注记

作者研究了关于幂LCM矩阵非奇异性的两个洪绍方猜想,得到了几个非奇异性定理.     

关于LCM矩阵整除性的洪绍方猜想的注记

称n元正整数集合S={x1,…,xn}因子链,如果存在n元置换σ, 使得xσ(1)|…|xσ(n). 作者证明：若S由两个互素的因子链构成,那么在n阶整数矩阵环中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵［S］.这部分证明了洪绍方的一个猜想.     

关于平方LCM矩阵和LCM方程的注记

设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合.第i行j列元素为xi和xj的最小公倍数[xi,xj]的n×n阶矩阵([xi,xj])称为定义在S上的LCM矩阵.如果对所有的1≤i,j≤n,有(xi,xj)∈S,称S是最大公因子封闭的(gcd closed).作者考虑了方程11+1(y2,y3)=0[y1,y2,y3,y4]-∑4(y1,y3)+1(y1,y2)+1yii=1的二次幂整数解,证明了对于给定的整数x,如果用ω(x)表示x的不同素因子的个数并令y=[y1,y2,y3,y4],那么当ω(y)<4时,方程没有t(≥2)次幂整数解,并且给出ω(y)=4时方程有二次幂整数解的必要条件.进一步证明了y≤1334025时方程无二次幂整数解.     

对称Loewner矩阵的若干性质

利用对称Loewner矩阵与有理函数插值之间的内在联系,给出2个非对角对称Loewner矩阵的乘积仍为复对称Loewner矩阵的充要条件,以及条件满足时乘积的明确表达式.     

惟一因子分解整环上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵

设S={x1,x2,…,xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合,e≥1是一个正整数．(xi,xj)和[xi,xj]分别表示xi,xj的最大公因子和最小公倍数．S称为因子封闭集(简称FC集),如果对S中的任何元xi,它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元．以(xi,xj)的P次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵,记为(S^e);以[xi,xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵,记为[S^e]．作者证明了若S是FC集,则(S^e)整除[S^e],即[S^e]等于(S^e)与R上另一个矩阵的乘积,推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果．     

两个互素因子链上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵的行列式的整除特征

设S是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a大于等于1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂,则称该矩阵是定义在S上的最大公因数(GCD)的a次幂矩阵;类似定义LCM的a幂矩阵．作者证明了：若S由两个互素的因子链构成,如果a整除b,那么GCD a次幂矩阵的行列式整除GCD b次幂矩阵的行列式;LCM a次幂矩阵的行列式整除LCM b次幂矩阵的行列式;GCD a次幂矩阵的行列式整除LCM b次幂矩阵的行列式．     

两个互素因子链上的幂GCD矩阵的行列式与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1. 如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(S~a)表示. 类似可定义a次幂LCM矩阵[S~a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成并且1∈S. 若a|b,则det(S~a)|det(S~b),det[S~a]|det[S~b]和det(S~a)|det[S~b].若S由两个不互素的因子链构成, 则如此分解定理不成立.     

幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n)是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的口次幂GCD矩阵,用(S~a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S~a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a∣b.如果n≤3,那么det(S~a)I det[S~b];如果max{x_i)＜12,那么det(S~a)f det[S~b].x_i∈S