求解非对称线性方程组的总体拟极小向后扰动方法

在利用QPMR方法求解非对称线性方程组(尤其是病态方程组)的Lanczos过程中通常会发生算法中断或数值不稳定的情况．为解决这个问题，将求解非对称线性方程组的QMR方法与总体向后扰动范数拟极小化的技巧相结合，给出求解非对称线性方程组的总体拟极小向后扰动方法(TQMBACK方法)，同时，为减少存储量和运算量，新算法将采用重新开始的循环格式，通常人们采用残量范数作为判断算法终止的准则，但是，当近似解非常接近真值时，残量范数是小的，而反过来不一定，为克服残量范数作为算法终止准则的不足，将总体向后扰动范数作为判断算法终止的准则，得到求解非对称线性方程组的循环总体拟极小向后扰动方法(RTQMBAK方法)，数值实验表明，新算法比Lanczos方法和QMR方法收敛速度更快．而且，新算法对求解病态的非对称线性方程组很有效。     

解对称线性方程组的总体最小扰动方法

在利用Lanczos方法求解大型对称线性方程组时,由于舍入误差的影响,Lanczos过程易发生中断和数值不稳定.本文提出求解对称线性方程组的总体极小向后扰动(TMINBACK)方法,新方法利用Lanczos过程产生Krylov子空间km(A,r0)的一组基,并求xo km(A,r0)中的近似解xm,使矩阵[A,b]的向后扰动范数‖[ΔA,△b]‖F极小化.同时,为减少计算量和存储量,本文给出新算法的循环格式.在迭代过程中,利用残量范数作为判断算法终止条件的缺点是,若近似值是精确的,残量范数是小的,反之,不一定.本文利用总体向后扰动范数作为判断算法终止条件,克服了范数作为判断算法终止条件的不足,提出了求解大型对称线性方程组的循环总体极小向后扰动(RTMINBACK)方法.数值实验表明,新方法比一些旧的方法求解大型对称线性方程组更有效,并且RTMINBACK方法适合求解病态线性方程组.     

用遗传算法解大规模病态线性方程组

大规模病态线性方程组的求解是相当困难的。本文尝试使用遗传算法求解大规模病态线性方程组,采用了改善方程组病态程度的预处理及多种杂交手段相结合改善遗传算法搜索性能两项措施,结果表明遗传算法求解大规模病态方程组是可行有效的。     

病态线性方程组的并行迭代求解

分析了病态线性方程组的相关概念及判别方法,给出了一种病态线性方程组并行迭代的求解算法。算法首先对病态线性方程组的系数矩阵进行严格对角占优预处理,在此基础上,用并行的Jacobi迭代法进行多步迭代求解。新算法易于在多核架构的微机中实现,且数值实验也验证了算法具有良好的收敛性和并行性。     

病态线性方程组的粒子群算法

本文提出了一种求解病态线性方程组的新方法：粒子群算法。首先,详细介绍了粒子群算法;然后,为了利用粒子群算法,通过变分原理将病态线性方程组的求解问题转化为求解无约束函数最优化问题;最后,给出了计算机模拟结果并与其他方法作了对比。     

基于神经网络的病态线性方程组求解

提出了一种基于神经网络的病态线性方程组求解方法。将病态线性方程组的一般系数矩阵转化为对称正定矩阵,然后将此方程组的求解转化为一个无约束优化问题。以此优化问题的目标函数作为神经网络的能量函数,利用最速下降原理构造神经网络的动力学方程,并证明该神经网络系统的稳定性。从而把原病态线性方程组的求解问题转化为一个等价的神经网络优化问题。最后通过两个算例的数值仿真求解以及与其他求解方法的比较,验证了该方法的可行性与有效性。     

ABS方法在求解非线性方程组中的一个应用

本文作了ＡＢＳ法求解病态线性方程组的数值试验,所得结果表明,它比共轭斜量法解病态线性方程更有效;提出了在求解非线性方程组中用ＡＢＳ法解线性方程组的组合迭代算法;讨论了组合迭代法的局部收敛性和Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ收敛性。     

条件数对病态线性方程组数值解的影响

由条件数对病态线性方程组数值解的相对误差的影响，通过分析及数学实验，得出条件数在一定程度上反映了病态线性方程组的性态及数值求解过程中舍入误差的影响，实际数值解法中应引起高度重视，避免误差危害。     

关于实nxn非奇异病态线性代数方程组数值解法的进展

据中国科学院计算中心的不完全统计,工程实践中提出的计算问题,有一半以上包括求解线性方程组问题,例如结构应力分析问题,电力传输网分析问题,大地测量问题,数据拟合问题,各种晶体管分析问题等等。求解线性方程组的最普遍来源之一是用差分方程组来逼近求解常微或偏微分方程问题,对于某些问题来说,此差分方程组是病态的线性代数方程组。求解线代数方程组的第二个非常重要的来源是线性最小二乘     

解病态线性方程组的遗传算法

提出了求解病态线性方程组的一种新方法－遗传算法，这是一种模拟自然遗传和达尔文进化理论的并行随机优化算法，首先，详细描述了遗传算法，然后，为了应用遗传算法，将病态线性方程的求解转化为无约束优化问题来解决，最后，给出计算机模拟结果并与其他方法作了比较。     

求解病态线性方程组的共轭向量基算法

结合最速下降法计算量小和共轭方向法收敛速度快的特点,提出了一种求解病态方程组的共轭向量基的方法。线性方程组的精确解能够由共轭向量基线性表示,利用迭代的方式给出了构造共轭向量基以及对应系数的方法,证明了算法所构造的向量基的共轭性。同时给出了一个改进算法以适合不同精度要求,加快迭代的收敛速度。通过对5000阶的Hilbert方程组进行求解,结果的相对误差小于0.45％,并与当前普遍使用有效的方法进行了比较,数值实验结果表明,该算法适合求解大型病态线性方程组,且具有快速收敛,精度较高的特性。     

主元加权迭代法求解病态线性方程组

由于病态线性方程组的系数矩阵条件数很大,使用迭代法求解病态线性方程组时,收敛速度慢且数值解的精度很低.针对此问题,设计了一种主元加权迭代算法.该算法在系数矩阵主元上叠加一个权值,以此来降低系数矩阵的条件数.最后以希尔伯特矩阵构成的病态线性方程组为例,对提出的主元加权迭代算法和高斯-赛德尔迭代法以及雅克比迭代法进行了测试.对比试验结果表明:主元加权迭代算法能有效地提高数值解的精度.     

预处理共轭梯度法在电磁正演中的应用

对于电磁场中的正演数值模拟,不论采取何种方法,最后都演变成求解一个规模庞大的线性方程组;而方程组的解法对数值计算的求解效率及精度起很大的决定作用。利用Pascal矩阵预处理共轭梯度法,克服了复线性方程组中系数矩阵病态特性和加快收敛速度,不但提高了正演计算速度和精度,而且保证了求解的数值稳定性及高效性。经粗细网格不同剖分方式验证,该算法可行有效。     

嵌入共轭梯度算子的遗传算法

分析病态线性方程组的机理,将原线性方程组的求解问题转化为一个等价变分问题的极少值点寻优问题。在遗传算法产生的子代群体的个体以固定的概率采用共轭梯度法产生新子群,即采用共轭梯度法在局部进行搜索。将共轭梯度法局部搜索能力与遗传算法全局搜索能力有机结合,从而实现了混合算法的优化。算例结果表明,该算法对于病态方程组的求解效果明显优于一般的遗传算法和共轭梯度法。     

关于求解病态和奇异方程组的Marchuk算法的註记

本文讨论了求解病态和奇异线性方程组的Marchuk算法在具体实现中的某些数值计算问题(例如,正则方程的求解及其初始近似的选择等),给出了将该算法应用于对称正定方程求解时得到的一个特殊结果。基于上述讨论,给出了一个具体的Marchuk算法;对于一些高度病态方程组求解的数值试验表明,这个算法具有很好的数值稳定性,而且计算量不大。     

对流扩散方程参数识别的扰动方法

采取扰动方法确定对流扩散方程的未知参数,并应用正则化方法求解所得到的线性方程组,具有计算稳定,易于实行等优点。     

一类抛物型方程逆时反演的正则化方法

在文献[9]的基础上,采用修正泛函含有一个导数的项作为惩罚项,这样保证方程的解具有一定的光滑性。为了克服反问题的不适定性,利用正则化思想,把原问题分解为一系列适定的正问题和一个病态线性代数方程组。利用无条件稳定的Crank-Nicolson有限差分格式求解正问题和用截断奇异值分解法求解病态线性方程组。数值结果验证了正则化方法的可行性和有效性。     

求解病态线性方程组的混合算法

首先通过变分原理将求解线性方程组的问题转化为等价的求解无约束函数最优化问题的极小值.通过研究BFGS算法和模拟退火算法的优缺点,鉴于BFGS的良好的局部搜索能力以及模拟退火法的全局搜索能力,提出了一个BFGs-SA的混合算法.数值实验表明该混合算法校正了BFGS的局部搜索能力,达到了全局最优解,从而得到了原病态线性方程组的解.     

逆热传导问题的一种新型无网格方法

将基本解和径向基函数相结合反演一种逆热传导问题的初值和热源.由于方程的系数矩阵是病态的,所以文中用Tikhonov正则化方法求解线性方程组,通过L-曲线方法选择正则化参数.通过几个数值例子验证了方法的有效性和精确性.     

求解病态线性方程组的自动控制步长法

在Wilkinson迭代法的基础上,采用嵌入式的欧拉公式和二阶R-K方法,构造了求解病态线性方程组的迭代格式,讨论了其步长的确定,对迭代格式从hn是一个常量和hn是一个变量两个方面,证明了其收敛性,并验证了算法的有效性。