两个互素因子链上的幂GCD矩阵的行列式与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1. 如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(S~a)表示. 类似可定义a次幂LCM矩阵[S~a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成并且1∈S. 若a|b,则det(S~a)|det(S~b),det[S~a]|det[S~b]和det(S~a)|det[S~b].若S由两个不互素的因子链构成, 则如此分解定理不成立.     

定义在三个互素因子链上的交错幂GCD和交错幂LCM矩阵的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并且设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素定义为(-1)~(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)_a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因子的a次幂,则称这个矩阵((-1)~(i+j)(x_i,x_j)~a)是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)交错矩阵,简记为(AS~a).类似可定义a次幂最小公倍数(LCM)交错矩阵((-1)~(i+j)[x_i,x_j]~a),简记为[AS~a].在本文中,设S由三个互素的因子链构成,且1∈S.作者证明了如下结果成立:(1)若a|b,则det(AS~a)| det(AS~b),det[AS~a]| det[AS~b],det(AS~a)| det[AS~b];(2)在n阶整数矩阵环M_n(Z)中,若a|b,则(AS~a)|(AS~b),[AS~a]|[AS~b],(AS~a)|[AS~b];若ab,则(AS~a)(AS~b),[AS~a][AS~b],(AS~a)[AS~b].     

最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S=x1,x2,...,xn是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(Sa)表示.类似可定义幂LCM矩阵[Sa].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb];如果max{xi}xi∈S<12,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb].     

关于GCD封闭集上幂矩阵行列式之间的整除性

设a,b,n为正整数,S={x_1,…,x_n}是由n个不同正整数x_1,…,x_n构成的集合,(S^a) ([S^a])表示n×n矩阵,其中第i行第j列元为x_i和x_j的最大公因子(x_i,x_j)(最小公倍数[x_i,x_j])的a次幂.本文我们给出以下结果：若a|b,n≤3, 则det?(S^a ) |det?(S^b ), det?[S^a ]|det?[S^b ],det?(S^a)|det?[S^b];若a|b,n≥4,S是n个不同正整数构成的n-3重最大公因子闭集,则det?(S^a ) |det?(S^b ), det?[S^a ] |det?[S^b ], det?(S^a)|det?[S^b];对任意正整数n≥4,存在n-4重最大公因子闭集S,使得det?(S)?det?(S^2), det?[S]?det?[S^2],det?(S)?det?[S^2]. 我们的结果加强和推广了Hong在2003年和Chen等在2020年得到的结果.     

因子链上幂矩阵行列式的整除性

设S＝{x1,……,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z ,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最大公因数(xi,xj)的ε次幂(xi,xj)ε,就称这个矩阵是定义在S上的最大公因数的ε次幂矩阵,简记为(S)εn;如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最小公因倍数[xi,xj]的ε次幂[xi,xj]ε,就称这个矩阵是定义在S上的最小公倍数的ε次幂矩阵,简记[S]εn为.如果S中元素满足1≤i≤j≤n有xi|xj,就称S是一个因子链.研究了对ε∈Z ,定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εn和[S]εn的行列式det(S)εn与det[S]εn间的整除性.     

定义在多重互素GCD封闭集上Smith矩阵行列式的整除性

设f为算术函数,S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数构成的集合.用(f(S))=(f(x_i,x_j)(1≤i,j≤n)表示一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在x_i和x_j的最大公因子(x_i,x_j)处的取值.用(f[S])=(f[x_i,x_j])(1≤i,j≤n)表示另一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在x_i和x_j的最小公倍数[x_i,x_j]处的取值.设h为正整数,如果S可划分为■,其中S_i(1≤i≤h)为最大公因子封闭集,且满足1≤i≠j≤h,(lcm(S_i),lcm(S_j))=1,则称S为多重互素最大公因子封闭集.给出定义在多重互素最大公因子封闭集上Smith矩阵(f(S))与Smith矩阵(f[S])行列式之间的关系.     

两个互素因子链上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵的行列式的整除特征

设S是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a大于等于1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂,则称该矩阵是定义在S上的最大公因数(GCD)的a次幂矩阵;类似定义LCM的a幂矩阵．作者证明了：若S由两个互素的因子链构成,如果a整除b,那么GCD a次幂矩阵的行列式整除GCD b次幂矩阵的行列式;LCM a次幂矩阵的行列式整除LCM b次幂矩阵的行列式;GCD a次幂矩阵的行列式整除LCM b次幂矩阵的行列式．     

两个拟互素因子链上倒数幂GCD与倒数幂LCM矩阵的非奇异性

设S={x1,x2,…,xn}是一个正整数的集合,a是一个正实数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素定义为1/(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的倒数幂GCD矩阵,用(1/Sa)表示.类似可定义倒数幂LCM矩阵[1/Sa].作者得到了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵的行列式公式,并由此证明了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵均是非奇异的.     

定义在两个互素因子链上的交错Smith矩阵的整除性

设S={x1,x2,…,xn}是n个正整数组成的集合,a是正整数.如果一个n阶矩阵的第f行第j列的元素定义为(-1)i+j(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的a次交错幂GCD矩阵,用(ASa)表示.类似可定义a次交错幂LCM矩阵ASa].作者证明...     

因子链上的最大公因数幂矩阵与最小公倍数幂矩阵

设S={x1,…，xn}是由n个不同正整数组成的集合，ε∈Z^ ．本文研究了对ε∈Z^ 定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)n^ε和[S]n^ε的奇异性及它们的行列式det(S)n^ε：与det[S]n^ε间的整除性．     

定义在三个拟互素因子链上的倒数幂矩阵的非奇异性(英文)

首先给出定义在三个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵的行列式的计算公式,由此证明定义在三个拟互素因子链S上且S的最大公因子属于S时的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵是非奇异的.但当构成S的三个因子链不素时,如此的结果不成立.     

F闭集上的LCM矩阵

本文将定义在集Ｓ上的最大公因子（ＧＣＤ）矩阵〔Ｇ（Ｓ）〕推广到Ｓ上的最小公倍（ＬＣＭ）矩阵〔Ｌ（Ｓ）〕。我们给出了矩阵〔Ｌ（Ｓ）〕的结构定理以及行列式ｄｅｔ〔Ｌ（Ｓ）〕的计算公式。当Ｓ为因子闭集时，我们给出了行列式ｄｅｔ〔Ｌ（Ｓ）〕的一个简洁优美的公式。     

使得幂GCD阵（Se）整除幂LCM矩阵［Se］的四元gcd封闭集S的一个刻画

Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|≤3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e≥1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.     

对洪关于幂LCM矩阵的一个猜想的注记

一个含有n个不同正整数的集合S={xt，…，xn}称为是gcd闭的，如果S中任两个整数的最大公因子也在S中，洪绍方在2002年猜想：对于给定的一个正整数t，存在一个仅由t决定的正整数k(t)，使得当n≤k(t)时，定义在任意gcd闲集S={xt，…，xn}上的幂LCM矩阵([xi，xj]^t)是非奇异的；而当n≥k(t) 1，则存在一个gcd闭集S={xt，…，xn}，使得定义在其上的幂LCM矩阵([xi，xj]^t)奇异，洪于1999年证明了k (1)=7，在本文中，作者证明了若t≥2，则有k(t)≥8．     

使得幂GCD矩阵$(S^e)$ 整除幂LCM矩阵$[S^e]$的四元gcd封闭集$S$的

洪绍方在 2002 年证明了如下结果： 若 $S$ 为 gcd 封闭集且 $|S| \leq 3$, 则在 $|S|$ 阶整数矩阵环 $M_{|S|}(\mathbf{Z})$ 中,GCD 矩阵 $(S)$ 整除 LCM 矩阵 $[S]$. 设 $e\geq 1$ 为给定的整数. 在本文中,我们给出了关于四元 gcd 封闭集 $S$ 的充分必 要条件,使得在环 $M_4(\mathbf{Z})$ 中, 定义在 $S$ 上的 $e$ 次幂 GCD 矩阵 $(S^e)$ 整除 $e$ 次幂 LCM 矩阵 $[S^e]$. 这部分解决了洪绍方在 2002 年提出的一个公开问题.     

关于LCM矩阵整除性的洪绍方猜想的注记

称n元正整数集合S={x1,…,xn}因子链,如果存在n元置换σ, 使得xσ(1)|…|xσ(n). 作者证明：若S由两个互素的因子链构成,那么在n阶整数矩阵环中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵［S］.这部分证明了洪绍方的一个猜想.     

矩阵的最大公因子的结构

提出任意两个方阵 A,B的行 (列 )最简形右 (左 )最大公因子的概念 .证明任意两个 n阶方阵A,B的行 (列 )最简形右 (左 )最大公因子的存在唯一性 ,利用行 (列 )最简形右 (左 )最大公因子给出了 A,B的所有右 (左 )最大公因子构成的集合的表示 ,给出求它们的简便方法 .最后将其推广至多个矩阵情形 .     

相对极值超曲面的Bernstein性质

设x:M→A~(n+1)是一个局部严格凸的超曲面,由Ω(<)A~n上的凸函数x_(n+1)=f(x_1,…,x_n)定义.考虑M上的相对度量G~α=p~(α+1)∑δ~2f/x_ix_jdx_idx_j,其中P=(det(δ~2f/δx_iδx_j))-1/n+2,α为常数.作者对由一个四阶偏微分方程的凸解所给出的局部严格凸超曲面进行了研究,给出了这个非线性偏微分方程凸解的Bernstein性质的证明.     

一道有奖征解题的推广

本文建立 Mitrinovic—Djokovic 型的不等式的一种推广,特别情形正是[1]中的命题。