第四讲 数学是一种辩证的辅助工具和表现方式——学习《自然辩证法》〔数学〕札记(Ⅱ)

数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的科学,而现实世界又充满着矛盾的辩证发展过程,因此,数学也必然充满矛盾,充满辩证法。正如恩格斯所指出的,高等数学充满着矛盾,“连初等数学也充满着矛盾”。(《反杜林论》第119页)“数学:辩证的辅助工具和表现方式”(《自然辩证法》第3页。以下凡引用此书中的话,只注明页码。)根据这一基本观点,恩格斯在《自然辩证法》〔数学〕的第2-14、16个札记中,列举大量材料,以数学概念、数学运算和数学中量与质等三个方面,深刻揭示了数学内容的辩证性质。 (一)数学概念的辩证性质恩格斯在〔数学〕的第5-8、10-14个札记中,运用对立统一的观点,分析了某些数学概念的辩证性质     

线性代数的公理化体系

所谓公理化体系,就是运用公理化的研究方法而形成的知识体系。数学的公理化研究方法,即是把数学对象归类,从不同质的具体事物或过程中抽取共同量化关系,作为最基本的公理、性质(定义),再从这些公理、性质(定义)出发,采取统一的观点与方法,进行演绎推理等,以揭示和研究新的性质。这     

关于中学数学解题策略的认识和思考

从中学生数学解题现状和中学数学解题策略研究现状出发，阐述了数学解题策略的涵义、性质、实质、产生条件和结构，并提出了“三类八策略”，即信息获取策略(2条)、信息加工转化策略(4条)、解题的元认知策略(2条)。     

弱对数凸(凹)函数及其性质

目的讨论弱对数凸(凹)函数及其性质。方法采用了分析方法和数学归纳法。结果给出了弱对数凸(凹)函数的几个等价刻画。结论弱对数凸(凹)函数有很好的性质,与凸(凹)函数存在着紧密的关系。     

Archimedean Copulas的生成元与 C_measure的关系

研究了Archimedean Copulas的生成元φ(t)与C_measure,和谐性参数τc, ρc等之间的关系.得到Archimedean Copulas C_measure的大小关系可以由相应的生成元φ(t)的数学性质决定,使Archimedean Copulas的性质进一步明了化.     

Fibonacci数的若干性质（Ⅲ）

本文用组合分析和数学归纳法推导出Fibonacci数的以下一些性质: 此外,类似地还得出了Lucas数列及序列{V(n)=V(n-1)+V(n-2)+1},(V(0)=1,V(1)=2)的若干性质。     

关于重排公式的几种求法及有关性质

在n元重排数Dn 性质Dn=nDn -1 (- 1 ) n,(n≥ 1 )的基础上 ,利用数学归纳法 ,生成函数法及迭代法推导出了n元重排公式 ,并讨论了n元重排数Dn 的一个性质     

组合结构有限元法的理论研究

本文旨在探讨不同性质、不同维数元件组合结构的有限元法的数学基础,这里,分别对不同性质(A类)和不同维数(B类)两类组合结构问题,研究了其数学问题的提法、有限元解的收敛性及误差估计问题。 文中分析了两类组合的几个典型例题,确切地给出了它们的数学问题,证明了其解的存在和唯一性,分析了有限元近似的收敛性并获得了误差估计式,特别地,对于平板与膜元素以及常剪流板与桁元素组合所遇到的“非协调连接”,证明了有限元解的收敛性。     

一种基于Voronoi Cells的C∞插值基函数及其在计算流体力学中的若干应用

根据自然邻点插值(NNI)方法的思想,基于Voronoi cells的几何特性,从自然邻点(Natural Neighbors)的概念出发,对C^∞插值基函数N_i(x)的数学性质进行了研究,给出了N_i(x)的一阶导数的一种数学表达式及其数学性质。将Voronoi cells和C^∞插值基函数应用于流体力学有限元方法(即自然元方法),通过对二维Burgers方程的数值算例说明了该方法在计算流体力学中的良好应用前景。结合实例讨论了该基函数的插值效果,同时说明了插值方法可很好地应用于计算流体力学的可视化(Visualization)处理。     

类比推理：数学发现的有效方法

<正>1类比推理的含义类比推理是指根据两个(或两类)对象之间具有(或不具有)某些相同或相似的性质,而且已知其中一个(或另一类)还具有(或不具有)另一性质,由此推出另一个(或另一类)对象也具有(或不具有)这一性质。类比推理是研究数学问题的重要方法,也是学习新知识的好方法。波利亚(G.Polya)指出,"求解立体几何问题往往依赖于平面几何的类比。"拉普拉斯(P.     

可定向曲面上的一类闭曲线系统

利用组合数学的思想、拓扑的方法研究在可定向曲面上,一类含有个数最多的不可收缩的、两两不相交、互不同伦的圈(闭曲线)系统及其性质,得出了关于这些圈的一些拓扑定性性质,并给出这些圈在曲面上的位置分布.     

(n+2)-角的平移

以三角范畴的八面体公理为基础,研究了三角范畴的(n+2)-角的平移性质。当三角范畴T存在一个(n+2)-角时,利用数学归纳法证明了T的(n+2)-角平移后还是(n+2)-角。     

拓扑指数在烃类化合物定量构效关系中的研究进展

拓扑指数是一种重要的分子结构数学描述符,在烃类化合物的定量构效关系(QSPR)研究中占有重要作用.本文主要从烃类化合物的物理化学性质、热力学性质和色谱保留指数三个方面,综述了近年来分子拓扑指数在烷烃、烯烃、炔烃、卤代烃中的定量构效关系的研究进展.     

状态函数与过程量

在研究体系的物理化学性质时,我们经常遇到两类物理量.一类是描述体系热力学性质的状态函数,如内能(U)、熵(S)、自由能(G)等.这类物理量的微小增量,在数学上是全微分,可用dU、dS、dG等表示.另一类是功(W)和热(Q),它们与过程密切相关,叫过程量.对应于体系状态的微小变化而产生的过程量的微小数量,在数学上不是全微分,而用符号δW、δQ来表示.     

青藏高原东部地区强震活动的相关性研究

作者提出了地震活动相关性(地震间有相互联系的性质)的存在准则:存在明显的对应关系;通过数学检验,有成因机制的依存关系。讨论了相关性的特征,其最明显的特征是紧密结合现象、数学和物理,综合考虑现象、数学和物理相互依存的三个方面。根据这一准则,进一步探索并验证了青藏高原东部地区地震活动的相关性,提     

半B-(E,F)-凸约束单目标规划的最优性条件

广义凸性和凸性在数学规划最优化理论以及最优化控制等很多数学领域中具有十分重要的作用,但凸性的局限性也是很显然的。可以说对于凸性和广义凸性的研究是数学规划的主要方向。基于B-凸性和半(E,F)-凸性,提出了一类新的广义凸性:半B-(E,F)-凸性,给出了半B-(E,F)-凸函数的概念,利用半B-(E,F)-凸函数的有关性质讨论了半B-(E,F)-凸函数单目标规划的最优性条件。     

关于“空间与图形”课程目标的几点认识

"空间与图形"课程的首要目标是使学生更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间.可以从以下几个方面来认识空间与图形的课程目标:(1)获得必需的知识与技能;(2)培养空间观念与几何直觉;(3)在探索图形性质的过程中发展合情推理能力,初步感受公理化思想;(4)在解决实际问题的数学活动中培养学生的创新精神.通过举例说明如何让学生经历探索、猜测、建立数学模型等数学活动.并指出正确认识空间与图形的课程目标,能让学生体验数学学习的乐趣,逐步积累数学活动经验,发展空间观念和自主创新意识,从而更好地认识和理解自己的生存空间.     

[RaY]~(2—)稳定常数的理论推测

用数学的方法,分析研究化学中的问题,结合实验数据和性质变化规律总结出数学模型,并可用其推测难于测试的[RaY]~(2-)稳定常.     

多重分形奇异谱的几何特性II.配分函数法

研究了用配分函数法定义的多重分形理论中奇异谱的几何特性 ,通过严格的数学推理证明了广义维数 Dq、质量指数 τ( q)、奇异性指数 α( q)和奇异谱 f( α( q) )的有关性质 ,明确提出了判定合理奇异谱 f( α( q) )的准则 ,给出了在参数 q→±∞时计算相应函数极限的解析算法。     

傅里叶变换中时域微积分性质的应用

傅里叶变换(Fourier Transform)是信号与系统分析中的重要数学工具,而傅里叶变换的性质经常用于求解信号的频谱函数。在具体的应用过程中,由于对性质的应用条件把握不准,会忽略一些细节问题造成计算错误。从实例出发,对时域微积分性质的应用做了更详尽的分析和探讨。