关于丢番图方程x~3-1=py~2

设t为正整数,素数p=12t2+1,证明了丢番图方程x3-1=Dy2仅有平凡整数解(x,y)=(1,0)。     

关于丢番图方程x~4-2py~2=1

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0,且不是平方数,(1)Ljunggren,Cohn和本文作者都有过不少工作,现简述如下:1.1942年,Ljunggren证明了丢番图方程(1)最多只有二组正整数解(x,y)。2.1966年,Ljunggren证明了,当D=ρ是一个奇素数时,则丢番图方程(1)在ρ≠5,29时,没有正整数解。在ρ=5时,仅有正整数解x=3,y=4,在ρ=29时,仅有正整数解x=99,y=1820。     

关于丢番图方程x~3±27=py~2

利用初等方法得出了:p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))为奇素数时,丢番图方程x3+27=py2无正整数解;p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))为奇素数时,丢番图方程x3-27=py2无正整数解.     

关于丢番图方程x~4-q~4=py~5

设p,q均为奇素数,且p≡3(mod 4).利用同余理论和代数数论的有关结论证明了:丢番图方程x~4-q~4=py~5(gcd(x,y)=1)有正整数解的必要条件是q=20m~2(m-1)~2-1,m≡0,1(mod 4),m≥3,并且x满足qx(lq)~(5/4),这里■.从而改进了Savin的结果.     

关于丢番图方程4x~4+py~4=z~2

利用初等方法给出了丢番图方程4x4+py4=z2,(y,z)=1当p=Q2+1,4 Q,p为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了王洪昌关于4x4+py4=z2的结果,即完全解决了p=Q2+1,p为奇素数的情形.     

关于丢番图方程x~3+1=13py~2的整数解

设素数p≡1(mod 24),(p/13)=-1。关于丢番图方程x3+1=13py2的初等解法至今仍未解决。主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质,证明了丢番图方程x3+1=13py2仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于丢番图方程x~4+4py~4=z~2

利用初等方法给出了丢番图方程x4+4py4=z2当p=2Q2-1,2|Q时的全部正整数解,从而拓展了Mordell关于x4+4py4=z2的结果。     

关于丢番图方程x~4-2Dy~2=1

对于丢番图方程x(?)-2Dy~2=1,(1)当D=p 是奇素数时,柯召、孙琦得到了一个完满的结果,即定理1.设D=p 是一个奇素数,则方程(1)除p=3,x=7,y=20外无其它正整数解.本文内容之一,在于给出定理1的一个初等而简短的证明.后来,柯召、孙琦又证明了:设D=pq,p,q 为不同的奇素数,p≡q≡1(mod4),((p/q))     

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1

定理1.如果D≡3(mod 8),且当x~2-Dy~2=1的基本解ε=x_0 y_0D~(1/2)满足2|x_(?)时,则(1)无正整数解。不难证明适合定理1的条件且非素数的D有无限多个,例如在[1]中我们证明了D≡3(mod 8),对于D的任一对因子 m>1,n>1,D≡mn,均适合(m/n)=-1,这里(m/n)是Jacobi符号,(2)     

关于丢番图方程x~3-1=371y~2

利用同余、平方剩余、递归序列、Pell方程的解的性质证明了丢番图方程x~3-1=371y~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于丢番图方程x3-1=7y2的初等解法

关于丢番图方程x3-1=7y2的初等解法的问题至今仍未得到解决.主要运用递归序列、同余式方法、Maple小程序和二次剩余初等方法以及Pell方程的解的性质,证明了此方程仅有整数解(x,y)=(1,0),(2,±1),(4,±3),(22,±39).     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

关于丢番图方程x~2 b~y=c~z

设ｓ,ｔ为满足（ｓ,ｔ）＝１,ｓ＞ｔ的正整数,ａ＝２ｓｔ,ｂ＝ｓ２－ｔ２,ｃ＝ｓ２＋ｔ２．证明了：若ｃ为素数幂且ｂ≡±５（ｍｏｄ８）,则不定方程ｘ２＋ｂｙ＝ｃｚ仅有一组正整数解（ｘ,ｙ,ｚ）＝（ａ,２,２）．     

关于丢番图方程x~3-27=119y~2

利用平方剩余,同余式,Pell方程解的性质以及递归数列的方法证明了丢番图方程x~3-27=119y~2仅有整数解(x,y)=(3,0)。     

关于丢番图方程x~3+1=427y~2

证明了丢番图方程x3+1=427y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~2+7=2~n

用完全初等的方法即Pell方程、递推序列和指数的一些简单性质证明了丢番图方程x2+7=2n仅有五组正整解.     

关于丢番图方程x~3±1=3Dy~2

对于丢番图方程x~3±1=Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6k 1或形状的素数整除,(1)以及丢番图方程x~3±1=3Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6k 1形状的素数整除,(2)Ljunggren在1942年证明了(1)和(2)最多只有一组正整数解x,y.实际上,Ljunggren关于方程(1)和(2)的结果,可推出     

关于丢番图方程x~2=4p~m 4p~n 1

本文证明了以下不定方程为素数除p=3,n=1,(x,m)=(5,1),(11,3)和p=2,n=2,(x,m)=(5,1),(7,3)和(23,7)之外,仅有平凡解。     

关于丢番图方程x~3+1=959y~2

该文应用递归数列、同余方程、勒让德符号等方法,证明了丢番图方程x3+1=959y2无正整数解.     

关于丢番图方程x~3+1=559y~2

该文证明了丢番图方程x~3+1=559y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0).