一元二次矩阵方程的迭代解法

本文讨论一元二次矩阵方程MZ~2+QZ-R=0 (1)的解法。这里M、Q、R是给定的n×n阶实矩阵,M是非零阵,Z是需求的n×n阶阵。文章给出了一个求解(1)的迭代公式,并且证明了如下收敛定理: 若Q是非奇异阵,且满足条件||Q~(-1)M|| ||Q~(-1)R||≤1/2那么迭代公式求解(1)得到的序列{Z_k} k=0,1,2,……,将收敛于方程(1)的唯一解。     

广义逆矩阵简介

§1、g-逆对于每一个非异的 n 喻方阵 A,必有逆矩阵 A~(-1)。它是以确定的关系AA~(-1)=A~(-1)A=I_n与 A 相伴的唯一的 n 阶方阵。n 个未知数 n 个方程的线性方程组 Ax=b,当 A 非异时,其唯一解可由 A~(-1)表为 x=A~(-1)b。当系数矩阵 A 为任意矩阵(包括奇异的方阵和 mn的 m×n 矩阵)时,方程组 Ax=b的解是否也可以通过一个与 A 以某种恰当的关系相伴的矩阵表示出来呢?下述定理肯定地回     

用基于矩阵正常分裂的迭代法求解长方或奇异线性方程组

本文证明了对于长方或奇异的线性方程组Ax=b,可以基于系数阵A的适当的正常分裂A=M-N,构造收敛的迭代矩阵MT,S^（1,2） N,使得迭代xj＋1=MT,S^（1,2） Nxj＋MT,S^（1,2） b对任何x0均收敛到Ax=b的一个解x∞≡limxj j→∞=（I-MT,S^（1,2） N）-1MT,S^（1,2） b=AT,S^（1,2）b.     

适合λ~2+aλ+b=0的方阵相似于若当标准形的一个简单证法

在高等代数中有这样一个性质:设n阶矩阵A适合方程λ~2+aλ+b=0(a,b是任意复数)则 (ⅰ) 当a~2-4b≠0时,A相似于矩阵 (1) 此处λ_1,λ_2是λ~2+aλ+b=0的两个根,γ=秩(A-λ_2I_n); (ⅱ)当a~2-4b=0时,A相似于矩阵此处λ_1是λ~2+aλ+b=0的二重根,γ=秩(A-λ_1I_n); (ⅲ)如果A又是厄米特矩阵时,A酉相似于矩阵(1)     

一类迭代参数的最优化和不精确迭代的收敛性

设F:R~n→R~n是非线性算子,b是R~n中任一向量。本文涉及到求解方程X+Fx=b x∈R~n (1)的凸组合迭代过程: x~(n+1)=(1-t_n)x~n+t_n(-Fx~n+b) (2)W.R.Dotson[2]在F为单调与非膨胀情形下,证明了当sum from n=0 to ∞(t_n(1-t_n))发散时,迭代(2)收敛于方程的唯一解;[3]在F为单调与Lipschitz连续的假设下,证明了当t_n→0和sum from n=0 to ∞t_n发散时迭代(2)收敛于方程的唯一解,在F为强单调和Lipschitz连续的条件下,游兆永对迭代(2)的实际计算提出了可行的方案[3],并讨论了带误差迭代的收敛性[4]。本文在F为单调和Lipschitz连续的条件下,得到了迭代(2)的最优值,并指出在某一区间     

一些特殊结构的布尔矩阵行空间基数

设Bm×n是所有m×n布尔矩阵的集合,R(A)为A∈Bn的行空间,|R(A)|表示行空间R(A)的基数,m,n是正整数,k为非负整数.证明了如下3个结果:(1) 设A∈Bm×n,m,(ⅰ) 如果A是幂等矩阵,即A2=A,那么|R(Am)|=|R(A)| ;(ⅱ) 如果A是对合矩阵,即A2=I,那么当m是奇数时,|R(Am)|=|R(A)|,当m是偶数时|R(A)|=2n.(2) 设A∈Bm×n,A含1的元素个数为k,0≤k≤min{m,n},且A的每行每列元素中1的元素个数最多为1,那么|R(A)|=2k.(3) 若A∈Bm×n是形如A=(O OO A1)的分块矩阵,A1=(aij)k×k,aij=0(i>j),aij=1(i≤j),i,j=1,2,…,k,则|R(A)|=k+1.     

相对增益阵列■A~(-T)=1/nJ_n的实数解的不变性

设Dn(R),Pn(R)分别是Rn×n上的非奇异对角矩阵、置换矩阵的集合,Gn(R)={X=U1U2…Ut｜Ui∈Dn(R)∪Pn(R)}.证明了矩阵乘法下的群Gn(R)可表为Dn(R)与Pn(R)的乘积.如果B=UAV(U,V∈Gn(R)),则称A与B是G 等价的,矩阵方程Φ(X)=1nJn的实数解在G 等价下具有不变性.     

相对增益阵列A o A-T=1/nJn的实数解的不变性

设Dn(R),Pn(R)分别是Rn×n上的非奇异对角矩阵、置换矩阵的集合,Gn(R)={X=U1U2...Ut|Ui∈Dn(R)∪Pn(R)}.证明了矩阵乘法下的群Gn(R)可表为Dn(R)与Pn(R)的乘积.如果B=UAV(U,V∈Gn(R)),则称A与B是G-等价的,矩阵方程Φ(X)=1/nJn的实数解在G-等价下具有不变性.     

线性奇异系统输出反馈极点的配置

通过对奇异系统系数矩阵作正交变换，证明了存在微分和比例输出反馈(G，F)使奇异系统正则、无脉冲模且可对n1个极点配置的充要条件是(i)E33=0，E55=0，A33和A55非奇异；(ii)rankec=n2 rank M；(iii)m p-1≥n1，进一步证明了在条件(i)、(ii)成立时，存在联合输出和状态反馈可对奇异系统n1 n2 n4个极点配置。     

一类特殊矩阵AOR迭代的最优参数选取

考察了当n元线性方程组Ax=b的系数矩阵A为(1，1)相容次序矩阵，且其Jacobi迭代矩阵J的特征值为一对重数是n／2的共轭纯虚数(设其模为α)时，AOR迭代的收敛范围及最优参数及相应的谱半径问题，得出比其它迭代法更优良的性质，即在最优参数点γb=2／(1 √α^2),ωb=1/√1 α^2)处有ρ(Lγb，ωb)=0，并用数值例子说明了它的优越性。     

惯量任意的符号模式

矩阵A的特征值的集合(含重数)记为σ(A),A的惯量是指三元有序数组i(A)=(i (A),i-(A),i0(A)),其中i (A),i-(A)和i0(A)分别表示具有正,负,零实部特征值的个数.n阶符号模式矩阵S=(sij)是指元素取自{1,-1,0}或者{ ,-,0}的矩阵,S的定性矩阵类是指集合Q(S)={A=(aij)∈Mn(R):对所有的i和j,sign(aij)=sij}.S的惯量是指集合i(S)={i(A):A∈Q(S)}.若对任意满足n1 n2 n3=n的非负三元数组(n1,n2,n3),都有(n1,n2,n3)∈i(S),则称符号模式S为惯量任意模式.考虑n阶符号模式Kn=(kij)n×n:当1≤j-i≤n-2或i=j=n时,kij=1;当1≤i-j≤n-2或i=j=1时,kij=-1;当|i-j|=n-1时,kij可以取任意固定值;其余情形时,kij=0.本文证明了Kn(n≥3)是惯量任意模式.     

左右逆特征值问题及其最佳逼近问题的(R,S)对称矩阵解

令R∈Cm×m和S∈Cn×n是2个非平凡卷积矩阵,即R=R-1≠±Im,且S=S-1≠±In。如果一个矩阵A∈Cm×n满足RAS=A,则矩阵A称为(R,S)对称矩阵。本文首先分别给出了左右逆特征值问题的(R,S)对称矩阵解的可解条件和一般表达式;然后,给出了左右逆特征值问题相应的最佳逼近问题的(R,S)对称矩阵解。     

大型稀疏方程组的MIMD分布式异步并行求解

采用MIMD(多数据流多指令流)分布式异步并行迭代软计算法,分析了大型稀疏方程Au=B的M×M阶系数矩阵A=(aij)的性态数值计算任务ψ:u=Du+R迭代格式收敛的相互关系,在分布式并行方式下,对数值计算任务ψ:u=Du+R的各子任务ti∈T,引入了时间步τi∈τ和多处理机pi∈P,实现了异步进程迭代运算,并当稀疏迭代矩阵D满足不可约弱对角占优阵的条件时,构造了分布式MIMD下数值解迭代矩阵软计算的异步并行迭代格式ui((ni+1)ri)=di1ui(t)+di2u2(t)+Λ+dinun(t)+ri(i=1,2,Λ,n),给出了该迭代格式的收敛证明及类Jacobi法稀疏矩阵分块有关异步并行收敛的一个有效推论.     

一种降低条件数的迭代格式

设要解线性方程组Ay=f这里A=(a_(ij))为n阶正定方阵,且a_(ij)≤0,i≠j。不妨假定A=I—L—L~τ,其中L是严格的下三角形矩阵,L~τ是L的转置矩阵(因为其它情形可以经过简单的代换化成这种形式,即D~(-1/2)AD~(-1/2),其中D是由A的对角线元素所构成的矩阵)。由A正定则有ρ(L+L~τ)=ρ<1,又因ρ=0时,A=I没有讨论价值,故以下认为ρ>0。本文的要旨是寻找一个矩阵C,使CAC的条件数变小,但在进行迭代求解时,运算量并不比通常的增多,这样就能使收敛加快,因为许多迭代格式的收敛率都是仅与条件数有关的。文     

相关矩阵的Hadamard乘积不等式的奇异条件

1973年Styan用多元统计分析的方法证明,相关矩阵R的Hadamard乘积满足s1(R)=R?R-2(R^(-1)?R+I)^(-1)≥0,且给出了s1(R)为奇异的充分且非必要条件. 从研究半正定Hermitian矩阵的相应不等式出发,应用奇异值分解方法得到了正定矩阵A,B的S1(A,B)=A?B-(A?I+I?B)(A?B^(-1)+A^(-1)?B+2I)^(-1) (A?I+I?B)( ≥0)为奇异的充分必要条件. 作为得到结果的应用,给出了 为奇异的充分必要条件.     

指数型丢番图方程x4-1=2ynz

研究了指数型丢番图方程x4-1=2ynz(n为正奇数)的非负整数解,证明了(1)x为偶数时仅有平凡解x=2m,y=0,z=1,n=16m4-1;(2)z为偶数时无解;(3)x为奇数且z=1时仅有解为x=2y-2n0±1,y≥4,z=1,n=n0(2y-3n0±1)[2y-2n0(2y-3n0±1)+1],其中n0为正奇数;(4)(y-2,z)≥3或(y-3,z)≥3时无解;(5)n为奇素数时仅有唯一解x=3,y=4,z=1,n=5.     

计算Moore-Penrose逆的基于矩阵分裂的迭代法

本文给出了使用基于矩阵分裂A=M-N的迭代格式Xk+1=M+NXk+M+(k=0,1,2,…)计算矩阵A∈Cm×n的Moore Penrose广义逆A+的迭代法收敛的充要条件以及满足收敛性条件的矩阵M的取法.     

关于矩阵方程Xs+ATX-tA=In的正定解

文章研究了矩阵方程Xs+ATX-tA=In的正定解.给出了当矩阵A奇异时,正定解X的最大特征值为1;利用迭代方法讨论了A非奇异时,解X的存在性和收敛性.     

关于矩阵方程X^s＋A^TX^-tA=In的正定解

章研究了矩阵方程X^s A^TX^-tA=In的正定解。给出了当矩阵A奇异时，正定解X的最大特征值为1；利用迭代方法讨论了A非奇异时，解X的存在性和收敛性。     

格上传递矩阵的性质

假设格L是有最小元0的分配格,(A)x,y∈L,定义x与y的二元运算x(-)y为:当x≤y时,x(-)y=0;否则,x(-)y=x.定义格上矩阵(R_(ij))n×n与(S(ij))_(n×n)的(-)合成为(R_(ij)(-)Sij)n×n.对幂零矩阵R,证明了(R/R)+=R~+;对非自反传递矩阵R,证明了R/R≤S≤R与R/R=S/R等价,其中R/S=R(-)(R⊙S),⊙是sup-inf合成算子,R~+是R的传递闭包.