关于蜕型面为特征的高阶微分算子的局部估计

§1 Hormander在[1]中证明了当m阶实系数的线性偏微分算子P关于曲面φ(x)=const是“拟凸”时,对任一有界区域Ω,存在常数μ_0,K_1,K_2,使得(?)μ≥μ_0,u∈C_C~∞(Ω),     

二分图上有限制条件的(g,f)-因子分解

设G=(X,Y,E)是二分图,g,f是定义在V(G)上的正整数值函数,且对任意的x∈V(G)有g(x)＜f(x).令G是(mg,mf-1)-图,证明了:①若,g(x)≥1,H是G的任一含有m条边的子图.则G有一个(g,,)-因子分解与H-正交.②若g(x)≥2,H是G的任一含有2m条边的子图,则G有一个(g,f)-因子分解与H2-正交.     

图的第二个最小特征值的界

设 G 是 n 个顶点的简单图,λ_(n-1)(G)为 G 的第二个最小特征值。G 的非孤立点形成的图记为 G_1,V(G_1)=s,(3≤s≤n)。本文主要证明了:a.若 G_1不是完全偶图,则λ_(n-1)(G)≤λ_(s-1)(K_(2,s-2)-(?)),等式成立(?)G_1(?)K_(2,s-2)-e。其中图 K_(2,s-2)-e 为完全偶图 K_(2,s-2)去掉一边 e而得到的图 b.若 G_1既不是完全偶图.又不是 K_(2,s-2)-e,则λ_(n-1)(G)<-2~(1/2)/2。     

多维线性Sobolev型发展方程的外初边值问题

本文研究R~n中任一个有界集的外域上SObolev方程的初边值问题 是R~n中任一有界集的外域且其边界■Ω光滑. 假设有:m≥2[n/2]+3,ρ(x),ψ(x)∈H~(2(m-1))(Ω);a_(ij)(i,j=1,2,…n)及f∈■w~(k·∞)(0,T;H~(m-k-1)(Ω)),则(G)存在唯一的经典解.     

(K_(1,4);2)-图的闭包和路长

为了推广无爪图G在闭包运算下是唯一确定的并且保持路长不变这一结论,对包含无爪图的(K_(1,4);2)-图进行研究,主要采用逐一讨论、排除的方法对此类图的路长在闭包运算下保持不变的性质进行证明。结果表明:在已知K_1∨P_4-free或T_3-free的(K_(1,4);2)-图在闭包运算下也唯一确定并且仍为(K_(1,4);2)-图的条件下,如果G是K_1∨P_4-free或T_3-free的(K_(1,4);2)-图,则在闭包的运算下保持路长不变;K1∨P4-free或T3-free的(K_(1,4);2)-图G可迹当且仅当其闭包是可迹的,其中K_1∨P_4为一个点与长为4的路的联图,T_3为K_(1,3)与K_2的并图。     

Martin公理及其应用(2)

§6.MA与组合集论、无穷图论由于篇幅所限,本文所涉及MA的重要文献仅仅有Erd(?)s和Hajel的文章[30,32],Baumgartner和Hajnal的文章[8].近年来,对于组合集论紧密有关的无穷图论的研究(尤其是着色问题)已有了进展.例如在Shelah的文中[I.48](指本文(I)的[48],下同),给出了MA的一个有趣的推论.C:即有ω_1的某驻T,使得C(T)成立.这里C(T):对每个σ∈lim(T)指定递增序列η_δ→δ,若任给{h_δ∈~w2|δ∈lim(T)},则存在f∈~(w1)2,使得(?)δ∈lim(T)(?)K(?)n>k(f(η_δ(n))=h_δ(n))成立.在C(ω_1)的图论中,任给ω_1上的阶梯着色系{h_δ},每点δ处的序列η_δ的两元着色可以在ω_1上一致.Shelah证明了 C(ω_1)可推出Whitehead问题的否定(§15),在文献[I,48]中证明了(?)TconC(T) GCH).但是Devlin[I,15]却证明了CH(?)(?)C(w_1).与C相似,Reed则提出了一条SP,证明它等价于一个有趣的拓扑结论.另外,若记B为:(?)驻集T(?)ω_(-1),则B_T成立.每个下列形式的图G有色数(?),即G的顶点集为ω_1,每个顶点仅与其有限个前趋元或一个收敛于它的前趋元序列共边(称为HM图),Hajnal,M(?)t(?)证明MA (?)CH(?)B,但◇(T)(?)(?)Br,文[I,48]证明了CH与B_T协调,这正好说明HM图有可数色数是不能判定的.§7.MA与超滤,βω——ω的组合性质     

二分图上有限制条件的(g,f) 因子和f 因子

设图G=(X,Y,E)是二分图, g,f是定义在V(G)上的正整值函数, 且对任意的x∈V(G)有g(x)＜f(x), 证明了: 如果图G是(mg,mf-1)-图, M是G的任一含有m条边的对集, 则存在图G的一个(g,f)-因子F, 使F包含M任意给定的一条边, 并且不包含其他的m-1条边; 二分图G是(2m-1)-边连通的(mf)-图, 则图G有一个f-因子包含任意给定的一条边, 并且不包含任意其他的m-1条边.     

交换李群上的拟不变测度和相应拓扑

设G是一个拓扑群,是G中由全体开集张成的Borel σ-代数,是G的子群,Ω=(G,μ)是关于平移拟不变的有限正则测度空间,即对每一个h∈,若定义测度μ_h(A)=μ(h~(-1)A),A∈,则μ_h～μ.若上本身具有拓扑,对于每一个h∈,G中紧集K及包含h_0K的任一开集0,必存在h_0在中的环境V,使当h∈V时有hK(?)0,则称拓扑是适宜的.对于G是线性拓扑空间情形,[1]证明了上第二纲适宜拓扑总是存在的,并且具体给出了此拓扑的构造.本文将对G是以Banach空间E为参数的无限维李群进行讨论,并说明其相应的适宜拓扑必存在,从而得到了和线性拓扑空间情形相应的一些结果.我们采用的李群概念是B.Maissen在[2]中所定义的.     

二分图上有限制条件的(g,f)-因子和f-因子

设图G=(X,Y,E)是二分图,g,f是定义在V(G)上的正整值函数,且对任意的x∈V(G)有g(x)＜f(x),证明了:如果图G是(mg,mf-1)-图,M是G的任一含有m条边的对集,则存在图G的一个(g,f)-因子F,使F包含M任意给定的一条边,并且不包含其他的m-1条边;二分图G是(2m-1)-边连通的(mf)-图,则图G有一个f-因子包含任意给定的一条边,并且不包含任意其他的m-1条边.     

关于巴拿赫空间上的一类谱测度

J. Wermer在[1]中证明了关于Hilbert空间上的可列可加谱测度的一个重要的不等式。即,如果{E(σ)}是Hilbert空间H上的—个可列可加谱测度,那么必存在正数K_1,K_2,使得对于任何一个x∈H和任一组不相交的Borel集σ_1,…,σ_n都成立不等式:     

图可重构性的一点注记

设图G的顶点集为{u_1,u_2,…,u_n}。G的途径矩阵D(G):(d_(ij)是n阶方阵,此处d_(ij)是G中从u_i出发长为j的途径数,D(G)的行向量集X的子集{x_1,x_2,…,x_r}称为X的最小线性相关集,如果{x_1,x_2,…x_r}线性相关且对x的任一(r-1)之子集均是线性无关。称数r为G的最小线性相关数。当X线性无关时,定义G的最小线性相关数r=∞。对1≤i≤n,记d_i为点u_i在G中的次,G_i是图G剔除点u_i以及与u_i关联的边而得到子图。设r_i是G_i的最小线性相关数,我们有下列定理:如果存在某一数i使r_i>2d_i,则G是可重构的。特别,我们重新得到下述结果:如果存在某一子图G_,使得G_i的所有特征向量均不与C=(1,…,1)~t正交,则G是可重构的。     

(k-1)连通无爪图中的最长路

本文所涉及的图都是有限无向的简单图。设G是一个图,用V(G)、E(G)分别表示G的顶点集、边集,而P=|V(G)|。设,用G[U]表示子集U在G中的导出子图。如果图G不含同构于K_(1,3)的点导出子图,则称G是无爪的。如果对于任意,总有长至少为m的(u,v)一路,则称图G是m-路连通的。除此,本文所用术语和记号可参见[1]。     

图可重构性的一点注记

设图G的顶点集为{v_1,v_2,…,v_n}.G的途径矩阵D(G)=(d_(ij)是n阶方阵,此处d_(ij)是G中从v_i出发长为j的途径数,D(G)的行向量集X的子集{x_1,x_2,…,x_r}称为X的最小线性相关集,如果{x_1,x_2,…x_r}线性相关且对X的任一(r-1)之子集均是线性无关.称数r为G的最小线性相关数.当X线性无关时,定义G的最小线性相关数r=∞.对1≤i≤n,记d_i为点v_i在G中的次,G_i是图G剔除点v_i以及与v_i关联的边而得到子图.设r_i是G_i的最小线性相关数,我们有下列定理:如果存在某一数i使r_i>2d_i,则G是可重构的.特别,我们重新得到下述结果:如果存在某一子图G_i,使得G_i的所有特征向量均不与C=(1,…,1)_t正交,则G是可重构的.     

3连通K_(1,3)-Free图G的最长圈

该文证明如果G是3连通K_(1,3)-Free图,则G有长度至少是3δ+3的圈。如果G是3连通K_(1,3)-Free图且δ≥(p-3)/3,则G是Hamilton图。     

mC2t∨nC2t(t≥3)的点可区别Ⅰ-全染色及Ⅵ-全染色

【目的】为了确定联图mC_(2t)∨nC_(2t)点可区别Ⅰ-全染色和点可区别Ⅵ-全染色。【方法】如果?u,v∈V(G)且u,v相邻,就有f(u)≠f(v)并且?e_1,e_2∈E(G)且e_1,e_2相邻,就有f(e_1)≠f(e_2),则称f为图G的Ⅰ-全染色;如果?e_1,e_2∈E(G)且e_1,e_2相邻,就有f(e_1)≠f(e_2),则称f为图G的Ⅵ-全染色。令C(u)={f(u)}∪{f(uv)∣uv∈E(G)}是u的色集合(非多重集)。对图G的一个Ⅰ-全染色(分别地,Ⅵ-全染色)f,一旦?u,v∈V(G),u≠v,就有C(u)≠C(v),则f为图G的点可区别的Ⅰ-全染色(或点可区别Ⅵ-全染色),简称为VDIT染色(分别地,VDVIT染色)。对图G进行点可区别Ⅰ-全染色所需要最少的颜色的数目记为χ_(vt)~i(G),称χ_(vt)~i(G)为图G的点可区别Ⅰ-全色数。对图G进行点可区别Ⅵ-全染色所需要最少的颜色的数目记为χ_(vt)~(vi)(G)。称χ_(vt)~(vi)(G)为图G的点可区别Ⅵ-全色数。本文利用构造具体染色的方法。【结果】构造了mC_(2t)∨nC_(2t),其中t≥3的最优点可区别Ⅰ-全染色和点可区别Ⅵ-全染色,给出了联图mC_(2t)∨nC_(2t),其中t≥3的点可区别Ⅰ-全色数和点可区别Ⅵ-全色数。【结论】VDITC猜想及VDVITC猜想对联图mC_(2t)∨nC_(2t)是成立的。     

K_(4,4,p)的点可区别的IE-全染色（4≤p≤1007)

图G的IE-全染色f是指使得图G的任意两个相邻的顶点的颜色不同的一个一般全染色。设f是图G的IE-全染色,若对图G的任意两个不同的顶点u,v,有C (u)≠C (v),其中C_f(x)或C (x)表示f为下点x的颜色及与x关联的边的颜色所构成的集合,则f称为图G的点可区别IE-全染色(简记为VDIETC)。利用色集事先分配法,构造染色法,反证法探讨了完全三部图K_(4,4,p)(4≤p≤1 007)的点可区别IE-全染色问题,确定了K_(4,4,p)(4≤p≤1 007)的点可区别IE-全染色数。     

局部凸空间中的半连续映射

文中得到如下结果: 定理1 设1)X是Z的不空凸子集,K∈2~Z;2)g:X×X→Z使得X_(λg)是u·s·c;3)对于任一x∈X,集Ex是不空凸的,如果X是紧的,则有x∈X使g(x,x)∈K。 定理2 设i)定理1的条件中的设1)、2)被满足,但以g1代g;ii)有紧集M X,使得对于任一x∈X,{y∈M/g1(x,y)∈K}是不空凸的。如果X是拟完备的,则有x∈X使g(x, x)∈K。 定理3 设i)定理1条件中的设1)、2)、3)被满足;ii)X是拟完备闭的。如果有紧集M∈2~Z及α∈X°,使得对于任一x∈X,恒有满足(9)的y∈M。则有x∈X使得g(x,x)∈K。     

关于拟不变测度和弱积分

设φ是一线性拓扑空间,G是φ的子空间,Ω=(φ,■,μ)是关于G拟不变的正则测度,G本身有拓扑构成第二纲线性拓扑空间,并且拓扑是适宜的,即若对每个h_0∈G,φ中紧集K及包含 h_0+K 的任一开集O,必有 h_0 在G中的环境V,使当 h∈V 时有h+KO,则称G的拓扑是适宜的.     

关于D_(2n)型Chevalley扩群的存在唯一性(英文)

构造出了任意域K上D_(2n)型泛Chevalley群G≌Ω_(4n)(K,f_D)的扩群G和相应的映射,使图(1)交换且行列都正合,并证明了G在同构意义下是唯一的。     

抽象Burkill积分

设(Ω,??)是一可测空间.??与??是Ω的两个可测分割,记??≥??,若??是??的加细.分割全体按此半序为向上定向集.设ρ为定义在??上有集限函数,ρ(Φ)=0.对任一B∈??及分割??,记Sφ(B,??)=??ρ(BA).若极限存在且有限,则称ρ在B上可积,I_φ(B)为φ在B上的积分.设μ为??上的有限测度,称ρ关于μ绝对连续,若对任意ε>0,存在δ>0,使得对任一B∈??,如μ(B)<δ,必存在分割??,使对任意??≥??,|S_φ(B,??)|<ε. 本文证明了:1)若ρ在Ω上可积,ρ关于μ绝对连续,则对任一B∈??,φ在B上可积,且积分I_φ(B)为??上的有限广义测度,I_φ关于μ也绝对连续.2)若一列分割??满足条件,(i)对任意ε>0,存在正整数N,使??≥??时有|S_φ(Ω,??)-I_φ(Ω)|<ε及(ii)σ(??)=??,则