关于Golomb猜想的一般化

设p为奇素数,c是任意与p互素的整数。那么Golomb猜想可以简单描述为对任意素数p≥3,存在模p的两个原根α,β,使得α+β≡c mod p。文中的主要目的是推广这一结果,即利用特征和的估计以及原根的判别性质证明更一般的结论:设p为充分大的素数,k为给定的正整数。对于任意给定的两两不同余的整数c1,c2,…,ck且(p,c1c2…ck)=1,一定存在模p的k+1个原根β1,β2,…,βk及α使得βi+α≡cimod p,i=1,2,…,k。显然当k=1时就是Golomb猜想。所以,该结果是Golomb猜想的进一步推广和延伸。     

关于Golomb猜想

Golomb 猜想为:在任何有限域 GF(p~n)中总存在两个本原元,它们的和等于1.张肇键和 I.S.Reed 证明了在某些类型的有限域中 Golomb 猜想成立.本文的目的是证明比[2]的定理3和定理5更强的定理,对更多一些特殊情况证实 Golomb 猜想,我们将利用下列引理.引理1 设 q_1,q_2,…,q_k 为 p-1的所有不同的奇素因子,则素数 p 的平方非剩余 g 为 modp 的原根的充分必要条件是 g~((p-1))/2_(gi)(?)-1(1≤i≤k).引理2 设 p=2q+1,p,q 均为奇素数,则从 p 的全部平方非剩余中去掉p-1后全部是 modp 的原根.     

TayLor定理的再改进

S.W.Golomb提出猜想[1]:在任何有限域中总存在两个本原元素α和β适合关系α+β=1。并给出于Taylor定理:若p=2~mr+1和r都是奇素数,则r>2~(m-1)+2时,该猜想在GF(p)中成立。[2]中证明了:若p=4 p_1+1和p_1都是奇素数,则该猜想在GF(p)中成立。[3]中证明了:若p=2p_1+1和p_1都是奇素数,则该猜想在GF(p)中     

ON THE CONJECTURE OF GOLOMB(Ⅱ) 关于Golomb猜想(Ⅱ)

本文证明了: 定理1.若p=2~αoq_1~αq_2~α2…q_m~αm+1,α_0≥2,且multiply from t=1 to m qi-1/qi>2/3, 则在有限域GF(p)中,Golomb猜想成立。推论.设p=2~α0q_2~α2…q_m~αm+1,α_0≥2, ①若m=1,则当q_1>3时: ②若m=2,则当q_2>q_1>3时; ③若m=3,则当q_3>q_2>q_1>5时,在有限域GF(p)中,Golomb猜想成立。定理2.若p=2~α03~α1,α_0≥2,且模p的最小正平方非剩余不是原根,则在有限域GF(p)中,Golomb猜想成立。     

非交换群上的Duadic码

p为奇素数,G为p~n阶非交换群.q与p互素.G有剖分的充分必要条件是μ-1是有限域GF(p)的一个剖分.当q=2,K=GF(2)时.若p≡-1(mod8).则群代数KG有Duadic码存在.     

有限域上的二次型表数

令Fq为有限域,其中q=pt,p为奇素数,t为正整数.设f(x1,…,xn)为Fq上的n元二次型,α∈Fq,本文给出方程f(x1,…,xn)=α在Fq上的非零解数的具体公式.     

Golomb猜想在有限域GF（p^n）中的若干结果

本文用比较简捷的方法获得了Golomb猜想在有限域GF(p~n)中成立的几个结果。这些结果对于不太大的有限域GF(p~n)来说是有意义的,对这些有限域的代数构造是有价值的。     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=4P~n的解数

设D是正奇数,p是适合pD的奇素数。运用有关Lucas数本原素因数存在性的结果证明:当D≠3时,方程x~2+D~m=4p~n至多有1组正整数解(x,m,n)适合m1。     

关于有限域中的元根

最近、王巨平使用数论中的Gauss和证明了:如果P~n≥Z~(60),则在有限域GF(P~n)中存在二个元根α和β,使得α+β=1。于是,Golomb有关元根的一个猜想基本上得到证明。本文用Jacobi和及王巨平提出的方法证明了若干更为一般的结论。此外,本文还基本上解决了Vegh提出的一个问题:是否对所有大于1的系数p,均能使得每一整数被表成P的二个元根之差。     

关于点列上射影变换的一点注记

讨论点列上射影变换的Steiner定义与Von Staudt定义的差别。主要结论如下:这两个定义在实点列上是等价的。但在夏点列上并不等价;就有限域GF(p~n)上的点列而言,当素数p≠2,n=1时,这两个定义是等价的,当素数p≠2,自然数n≠1时,这两个定义并不等价。     

关于Lucas猜想的一个注记

若p为奇素数,且p≠1(mod8)时,本文给出了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2p^ky^2n的所有正整数解,并给出了Lucas猜想的一个简单证明。     

包含Smarandache对偶函数的方程的正整数解

利用初等数论及组合方法研究了一个包含Smarandache对偶函数及素因子函数方程∑d｜n1/S＊（d）=2Ω（n）的可解性．给出了这个方程所有正整数解的具体形式,即证明了该方程所有偶数解为n=2^4＊3^30、n=2^5·3^12、n=8p^2、n=16p^5、n=64p^4、n=2pq,其中p、q≥5为奇素数;所有奇数解为n=p、n=p^＊q,其中α≥1,p、q为奇素数．     

关于Hughues-Shallit猜想——自然数乘法分拆之个数的上界问题

以f(n)表自然数N的乘法分拆的个数。本文证明了:当n=p~a及n=p_1p_2…p_l时,Hughues-Shal-Lit的第一猜想:f(n)≤n/logn,(n≠144)成立。其中p为素数;p_1,p_2,…,p_1为互异素数。第二猜想:f(n)相似文献   

关于Nicol数的两个问题

对于正整数n,设φ(n)和σ(n)分别是n的Euler数和约数之和,当n︱φ(n)+σ(n)时,n称为Nicol数.运用初等方法讨论了Nicol数的存在性,设a=p1α1p2α2…prαr,其中r是大于1的正整数,pi(i=1,2,…,r)是不同的奇素数,αi(i=1,2,…,r)是正奇数,证明了如果n=a或2a,则n不是Nicol数.     

关于Golomb猜想的若干结果

本文主要证明了对任何有理素数p在有限域GE(2~p)中Golomb猜想成立。     

关于丢番图方程px~4-（p-1）y~2=z~4

对任意的奇素数p,还没有找到给出丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一的初等方法,目前只解决了某类特殊的奇素数p的求解问题,例如王洪昌等人完全解决了p-1=Q2;或2Q2;或qQ2,2｜Q,q≡3（mod4）为奇素数,Q为正整数的情形.认为对某类特殊的奇素数p求解丢番图方程px4-（p-1）y2=z4,目的是对任意的奇素数p,寻找给出丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一解法.当p=2q＋1,q≡5（mod8）,p,q为奇素数时,利用初等方法把方程px4-（p-1）y2=z4化为方程x2＋my2=z2,从而给出方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解;当q为任意正整数时,上述解法仍然适用,因此对任意给定的奇素数p,实际上已经给出了丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一解法.     

一些特殊第二类Stirling数的p-adic赋值

设k和n为非负整数.第二类Stirling数表示将n个元素划分为恰好k个非空集合的个数,记为S（n,k）.对任意给定的素数p和正整数n,存在惟一的整数a和m≥0使得n=ap^m,其中（a,p）=1（a与p互素）.称m为n的p-adic赋值,并记v_p（n）=m.第二类Stirling数的p-adic赋值是数论和代数拓扑领域的重要问题.本文研究了一些特殊第二类Stirling数S（pⁿ,2^tp）的p-adic赋值,其中p为奇素数,t和n为正整数.本文证明当n≥2,2≤2^tp(S（pⁿ,2^tp）)≥n+2-2^t,推广了Zhao和Qiu最近的结果.     

关于方程x~2+D~m=p~n和方程x~2+2~m=y~n

设D为正整数、P为不能整除D的奇素数.本文研究关于正整数x,m,n的Diophantine方程x~2+D~m=p~n.主要结果是定理1—3,并且给出了方程x~2+2~m=y~n(n>2,2|y)的所有正整数解。     

两个新的数论函数的混合均值

对任意正整数n,定义数论函数Ω(n)为Ω(1)=0,当n>1,n=pα11pα22…pαss为n的标准分解式,Ω(n)=α1p1+α2p2+…+αsps,其中(pi为素数,1≤i≤s)。数论函数Sk(n)定义为Sk(n)=m in{m:m∈N,nk|m!},即最小正整数m,使得nk|m!。运用初等方法研究数论函数Ω(n)与Sk(n)的混合均值问题,并得到一个有趣的渐近公式。     

关于正规约数和函数的Graham问题

设n是大于 1且适合s(n) =[n/2 ]的正整数 ,其中s(n)是n的正规约数和函数 ;ω(n)是n的不同素因数的个数 ,p1,p2 ,… ,pω(n) 是n的适合p1相似文献