抛物线的一个几何性质

我们考虑这样一个几何问题:求一曲线Γ,使其上任一点P(x,y)之法线段(?)的平方与过R之垂线段(?)的平方之差等于C,即 (?)~2-(?)~2=C (1)则Γ的方程为y=y(x) 时有: y~2(x)+y~2(x)y′~2(x)-y~2(x+y(x)y′(x))=C其中C为常数。 通过对方程(2)的讨论,我们有如下结论:     

对函数方程f(xm+y+f(n)(y))=2y+(f(x))m的研究(1)

主要提出了如下函数方程问题：设m,n是正整数，试求出所有的函数f：R→R，使得对于任何的x,y∈R，都有f(x^m y f(^n)(y))=2y (f(x))^m。本文采用“算两次”方法对第40届IMO的第6题（确定所有的函数f:R→R，其中R是实数集，使得对任意x,y∈R，恒有f(x-f(y))=f(f(y)) xf(y) f(x)－1成立）给出一个新的解法，对本文所是问题的一种特殊情形“m=2且n=1”给出了完整的解答。另外，还提出了一些相关的函数方程问题。     

某类椭圆型方程的奇摄动(Ⅲ)

我们继续研究在[2][3]中所提出的,部分最高阶导数含小参数的椭圆型方程的奇摄动问题。前文已经对(?)u_ε/(?)y项的系数α_0(y,x)≥β_0>0的情形,导出解的m阶渐近展开式(α_0(y)只与y有关时,展开式具有更简单的形式[2])。本文将进一步证明当α_0(y,x)≤α_0<0的情形时,解的m阶渐近展开式。虽然它具有与[3]中相近的形式,但其边界层已不发生在柱形区域R的上底(即y=A)附近,而是发生在R的下底(即y=0)附近。综合这几种结果,可以导出一般性的定理,即对于这类部分最高阶导数含小参数的椭圆型方程的奇摄动问题,边界层与α_0(y,x)符号的关系为:当α_0(y,x)≥β_0>0时,边界层项应在y=A附近构造,而退化方程的初始条件应取在y=0上;当α_0(y,x)≤α_0<0时,边界层项应在y=0附近构造,退化方程的初始条件应取在y=A上,加上在R的侧面边界Q上的边界条件,在R内解抛物型方程的混合问题。     

满足换位子恒等式的近似环的结构

本文证明了满足换位子恒等式“(xy-yx)~n=(xy-yx)~mP”的近似环的结构。定理1 R是d。g近似环,且有单位元1,(?)x,y∈R,存在正整数m=m(x,y),n=n(x,y),m>n及p(t)∈Z(t),使(xy-yx)~n=(xy-yx)~mP(xy-yx);如果R还满足(?)x,y∈R,xy-yx≠O就有(xy-yx)~l≠0,(?)l∈Z~+,则R为交换环。定理2 R是近似环,(?)x,y∈R,存在正整数m=m(x,y),n=n(x,y),m>n,及p∈R,使(xy-yx)~n=(xy-yx)~mP且如xy-yx≠0就有(xy-yx)~l≠0,(?)l∈Z~+,则R的全体(?)零元形成R的一个理想N;R/N是近似环R_i的亚直和。其中R_i为下列情形之一:(1)交换环,(2)近似域,(3)xR_i=Ri((?)0≠x∈R_i)。     

导子与环的交换性

讨论了带有非零导子的结合环的交换性,证明了:定理1 R是特征非2的素环,f,g为R的两个非零导子,若有自然数n使得x~nfg(y)-fg(y)x~n∈Z(R) (?)x,y∈R则R可换.定理3 R为无零因子环,d为R的非零导子,若(?)x∈R,d~n_x∈Z(R)且R的特征不是(n+1)1的因子,则R可换.定理5 若素环R的特征不为2,U为R的非零Lie理想,且(?)u∈U有udu+duu∈Z(R),则u~2∈Z(R)且当u~2∈U时,U(?)Z(R).     

半素环的交换性

讨论元素满足两个以上多项式关系之一的半素环的交换性,证明了:定理1 R为半素环,(?)x,y∈R,若x,y满足如下3个关系式之一,则R为交换环:(i)(xy)~m-(xy)~(m_1)(yx)~(m_2)∈Z(R);(ii)(xy)~5-(yx)~1∈Z(R);(iii)(xy)~(k_1)(yx)~(k_2)-(yx)~(k_2)(xy)~(k_1)∈Z(R).其中m,m_i,k_i,s及t与x,y有关且m_1+m_2,t,k_1+k_2为有界自然数.定理2 R为半素环,若R满足下述四个条件之一,则R可换:(1)(?)x,y∈R,x~(2m)y~(2n)-x~my~(2n)x~m∈Z(R)或x~sy~t-y~tx~s∈Z(R);(2)(?)x,y∈R,x~(2m)y~(2n)-y~nx~(2m)y~n∈Z(R)或x~sy~t-y~tx~s∈Z(R);(3)(?)x,y∈R,(yx)~n-yx~ny~(n-1)∈Z(R)或(xy)~n-x~ny~n∈Z(R);(4)(?)x,y∈R,(yx)~n-x~(n-1)y~nx∈Z(R)或(xy)~n-x~ny~n∈Z(R).其中m,n,s,t为自然数,而(1)及(2)中的m,n,s,t与x,y相关,(3)及(4)中n(>1)只与x(或y)有关.     

半单纯环的一个交换条件

本文证明了下述结果:设R是K(o|¨)the半单纯环或Baer半单纯环,如果(?)x、y∈R,存在有界正整数m=m(x,y),n=n(x,y),使x~my~n y~nx~m∈Z(R)则R为交按环,如果前式为x~my~n-y~nx~m∈Z(R),则是特征为主的Ki(o|¨)the半单纯环和Baer半单纯环的交换条件。     

一类一阶非线性微分方程的推广及可积条件的研究

将一类一阶非线性微分方程y'=P(x)y Q(x)y^μ R（x) ∑^ni=2fi(x)y^i推广成如下形式h'(y)dy/dx=P(x)h(y) Q(x)h^μ(y) R(x) ∑^ni=2fi(x)h^i(y)给出了其较为广泛的可积的充分条件，推广并统一了文献[1]和[2]的结论。而著名的Riccati微分方程的一些可积性结果则是它的特例。     

全局性隐函数定理及其应用

得到两个全局性隐函数定理:定理1设D_1是第一可数的拓扑空间E_1的开子集.D_2是Banach空间E_2的开子集.映象f:(?)_1×(?)_2→Y(?)E关于第一变元连续且满足条件:1°|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≤L(x)|y_2-y_1|.Ax∈(?)_1.y_1.y_2∈D_2.其中Y=D_2或D_2=Y=E_2,L(x)<1.L:(?)_1→R~+连续.则方程f(x.y)=y有连续解y:(?)_1→Y,即f(x.y(x))=y(x).(?)x∈(?)_1.定理2 设f:(?)_1×(?)_2→C((?)_2)满足条件:1°d(f(x,y_1).f(x,y_2))≤k|y_2-y_1|.(?)x∈(?)_1.y_1.y_2∈(?)_2.其中k<1是常数.d(·,·)表示:对有界闭子集A_1,A_2(?)(?)_2d(A_l,A_2)=sup{|y_1-y_2||y_1∈A_1,y_2∈A_2}2°(?)y∈(?)_2,多值映象,f(·,y)弱下半连续.C((?)_2)为(?)_2的有界闭凸子集类.则包含方程y∈f(x,y)有连续单值解y;(?)_1→(?)_2即y(x)∈f(x,y(x)) (?)x∈(?)_1还给出了对随机映象不动点存在性的一个应用.     

环的交换性定理

本文证明了如下定理:定理1 环R有左单位元,N为R的幂零集元合,(?)x,y∈R,若x≡y((?)od N)就导致x,y与N中元可换或x~k=y~k,x~(k+1)=y~(k+1),其中k=k(x,y)>2,则N为R的理想;且当R/N的每一子环都幂等时,R为交换环.定理2 环R有左单位元且为2-扭自由,N为R的暴零元集合.若V~x,y∈R,x≡y(mod N)就导致x,y与N中元可换或x~k=y~k,x~(k+1)=y~(k+1),k=k(x,y)>2;或x~2=y~2,则N为R的理想,且当R/N的每一子环幂等时,R为交换环.     

一类二阶线性微分方程的积分法

关于二阶变系数线性方程(1) y″+ p(x)y′十q(x)y=0与相应的非齐次方程(2) y″+p(x)y′十q(x)y=R(x)的可积类型已有不少探讨,本文讨论方程(1),(2)积分因子存在的条件,并给出它们的通解形式及求解方法,得到如下结果。 定理1 二阶线性方程(1)(其系数p(x)∈C~2,q(x)∈C~1)存在积分因子μ(x),使通解表示为y=1/(μ(x))(c_1x+c_2)(c_1与c_2为任意常数)的充分必要条件是系数p(x)与q(x)满足     

满足某些多项恒等式的环

设R为一结合环。若对任意x,y∈R均有依于x,y的整系数多项式其中a_n … a_1=0,且有整数m(x,y)>1,使则R的Jacobson根N即为R的全部幂零元集,而R为N与一个(?)_(1-)环的直接和。于是,R是交换的,当且仅当N是交换的。     

椭圆曲线y~2=x(x-2~m)(x+q-2~m)的非平凡奇数点

设m是正整数,q和q-2~m是奇素数.本文运用初等数论方法证明了:椭圆曲线y~2=x(x-2~m)(x+q-2~m)有适合2(?)x以及y≠0的整数点(x,y)的充要条件是:m2且q=n~2+(2~(m-2)+1)~2,其中n是偶数.当此条件成立时,该椭圆曲线仅有整数点(x,y)=(-(2~(m-2)-1)~2,±(2~(2m-4)-1)n)适合2(?)x以及y≠0.     

半质环交换性的一个注记

设R是个半质环,C是R的中心,f_i(x,y)(i=1,2)是关于m个x,n个y的乘积。本文之定理用比较简单的方法证明了下列之命题(Ⅰ)蕴含命题(Ⅱ): (Ⅰ)若对任何x,y∈R,均有f_1(x,y)—f_2(x,y)∈C,则R为交换环。 (Ⅱ)若对任何x,y∈R,均有f_1(x,y) f_2(x,y)∈C,则R为交换环。从而,给出了文献[5]、[8]、[9]若干定理的简短的证明。     

对一个共轭型函数方程的研究（1）

给出了作者曾在“数学竞赛命题又一束”一文中提出的如下问题的完整解答：试求出所有的函数f：R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x f(y) yf(x))=y f(x) xf(y)。提出了上述问题在某些域或环上的推广问题及其一些相关或相类似问题。     

關於核的因子分解

Ⅰ.引言§1.在這篇文章里,我們將引用下符號: AB=AB(x,y)=integral from n=a to b A(x,s)B(s,y)ds, (?)=(?)=integral from n=a to b A(x,s)B(y,s)ds, (?)=(?)=integral from n=a to bA(s,x)B(s,y)ds, (f,g)=integral from n=a to bf(x)g(x)dx,‖f‖~2=(f,f), Kψ(x)=integral from n=a to b K(y,x)ψ(y)dy。在(?)及(?)中,我們稱A為左因子,B為右因子抑^(?)及(?)是由於“A右乘以B”或“B左乘以A”得來的。此外,記(?)是一個(x,y)的函數,這個函數合有n個因子A_1(x,y),A_2(x,y),…,A_n(x,y),且認為它是由於從左至右逐次將前面運算所得的左因子右乘以緊接着後面的右因子經過(n-1)次運算得來的?(?)是由於以(?)为左因子右乘以右因子A_3(x,y)得來的。(?)是由於以(?)為左因子右乘以右因子A_4(x,y)得來的。依此類推,則A_1A_2A_3…A_(n-1)A_n(x,y)是由於以A_1A_2…A_(n-1)(x,y)為左因     

环的交换性条件

设R是半质环,C是R的中心。本文证明,当R满足下述条件之一时为交换环: 1.对任意x,y∈R,均有(xy)~2 x~2y~2∈C; 2.对任意x,y∈R,均有(xy)~2 y~2x~2∈C; 3.有整数n>1,m>1,使对任意x,y∈R,均有[X~n,y)-[x,y~n]∈C,且R为(M~n-m)-扭自由的。 我们定义环R的m-超中心为T_m={r∈R|对任意x∈R,均有rx~m=x~mr}。本文证明,若R为半质环,则T_m即为R的中心。     

关于结合环的交换性

本文第一部分得出了与文献[1]定理3相对称的结果,是对文献[2]的推广。第二部分,得到下列定理:设R是半素环,C为R的中心(下同),如果对任意x,y∈R,恒有有界正整数m=m(x,y),n=n(x,y),使R满足x~m y~n±y~n x~m∈C,则R是交换环。第三部分,考察了Herstein条件的一种广义形式,得出若整数n(y)>1,则[x,y]~(n(y))-[x,y]∈C是半素环的交换性条件,从而改进了文献[4]的主要结果。最后讨论了Baer半单纯环的几个交换性问题。还得到无非零幂零元素的变(k′,s,t;2)(或(k,s,t;2))-环必交换。     

一类型极值问题的极值曲线及应用

关于绝对极小的问题,在平面的情形Tonelli曾给出它的存在定理如下:如果泛函数满足条件:1)对所有的(x,y)∈A(闭)和任意的y‘均有2)对任意的有界闭集A‘(?)A存在有常数L>1,P>1,使得当(x,y)∈A‘和|y‘|>L时有     

Baer半单纯环的几个交换性条件

本文证明了下述结果: kthe半单纯环R交换的充分必要条件是:对于任意的x,y∈R,有正整数m=m(x,y),n=n(x,y)使x~my~n-y~nx~m为中心的。 Baer半单纯环R交换的充分必要条件是R满足下述条件之一: (1)对于任意的x,y∈R,有正整数n=n(x,y)使(xy)~n-yx为中心的; (2)对于任意的x,y∈R,有整数n=n(x,y)>1使(xy)~n-xy为中心的; (3)有正整数m,n使得对于任意的x,y∈R,x~my~n-y~nx~m恒为中心的; (4)有正整数n使得对于任意的x,y∈R,(xy)~n-y~nx~n恒为中心的; (5)有整数n>1使得对于任意的x,y∈R,(xy)~n-x~ny~n恒为中心的。