一类函数表达式的求法

在已知f(g(x))中求f(x)或在已知f(f(x))中求f(g(x)),关于求这一类函数的解析表达式的方法,不仅在初等数学中常用到,而且在高等数学中也要用到.由于不少学生没有真正深刻理解掌握函数概念,因此,不善于解决在各种场合中,出现的求这一类函数解析表达式的问题.通过教学实践,作者是从以下四个方面培养学生求这一类函数解析表达式能力的,而且收到了一定效果.　　一、用配方方法求这一类函数的解析表达式　　例1　已知　f(x-1)=12x2-x.求f(x).解:因f(x-1)=12(x2-2x)=12(x-1)2-12故　f(x)=12x2-12例2　已知f(x-1x)=x2+1x2+3.g(x-1x)=x3-1x3-3.求　f(…     

一类函数表达式的求法

问题中有f(x y)=f(x) f(y) axy或f(x y)=f(x)f(y)或f(xy)=xf(y) yf(x)的表达式,且已知f(x)在某点的导数值,求f(x)的表达式.这一类函数表达式的求法,表面上与导数无关,实际上是导数定义式的应用,先由导数定义式求出f'(x),即lim(h→0)f(x h)-f(x)/h=f'(x)'再确定f(x)。     

浅谈一类复合函数求导的技巧

本文从对函数的结构和导数的符号的剖析入手，运用恒等变形、复合函数的求导法则，阐述由复合函数f(φ(x))=g(x)，求f(φ(x)，的思路与技巧，并且通过实例解剖，给出了这类问题的求导规律。     

关于微积分概念教学中的几个问题

微积分学中的概念经过千锤百炼,简洁的表述形式深藏着丰富的内涵,对其理解要一丝不苟.初学者稍有不慎,就会发生偏差.现就本人在学习中的体会,对一些问题作一些探讨.一、复合函数的极限求比较复杂的极限,往往先经过适当的变量代换将问题化简,归结为容易求得的极限.例如,求(?)[f(x)]时,作代换 u=f(x),由(?)(x)=u_0。把求极限(?)[f(x)]的问题转化为     

关于二元函数极限求法的探讨

在二元函数 Z=f(x,y)的极限问题中,自变量的变化情况较一元函效复杂得多。因为 f(x,y)的定义域是 XOY 平面上的一个区域,动点(x,y)趋于定点(x_0,y_0)的路径可以是多种多样的。只有当动点(x,y)沿着任意路径趋于定点(x_0,y_0),函数 f(x,y)总是趋于某数 A 时,才能称A 为 f(x,y)当 x→X_0,y→y_0时的极限。因此二元函数的极限比一元函数的极限复杂且难求。本文总结了计算二元函数极限的方法,并通过例题作出一些说明。     

导函数的极限、连续与函数在一点处的可导性

函数y=f(x)的导函数f＇(x)由原函数f(x)派生,本文试图通过对f＇(x)的存在、极限和连续之间关系的讨论,为某些有关问题的求解提供有效而简便的方法。     

f(x)=u(x)/x型函数的n阶导函数

采用递推法证明了u(x)/x的高阶导函数的一般表达式，可方便地利用计算机编程，得到特殊点极限的表达式，公式简便。     

用极限精确定义证明极限的思想和方法

1 函数极限证明的基本思想 要证明x→x_0(或x→∞)时函数f(x)的极限是A,当ε>0后,如果我们能找到以x_0为中心的δ邻域(x_0-δ,x_0+δ)(或N>0),当x取这邻域中异于x_0的一切值(或|x|>N)时,不等式 | f(x)-A|<ε 恒能得到满足,则就证明了x→x_0(或x→∞)时,f(x)的极限是A。 问题在于怎样找到上述要求的点x_0的δ邻域(和N)? 从函数极限的精确定义中,我们知道,如果x→x_0时,f(x)的极限是A,则点x_0的δ邻域     

处处有极限的函数

设函数 f (x)在区间 I上有定义 .如果对于任意的点 x∈I,函数 f (x)在x处有极限 ,则称 f (x)在区间 I上处处有极限 .给出这种函数的一个充分必要条件 ,并且讨论了它们的一些性质     

求复合函数的反函数的方法与教学问题探讨

一、问题的提出 目前,求复合函数的反函数问题虽未列入高中和大学数学教材,但师生在教与学过程中思考此类问题却是顺理成章的。曾有学生提出诸如:“(1)已知f(x)=2x+1,求f(x-1)的反函数;(2)已知f(x/3);(2x+3)/X,求f(x/3)的反函数。”等问题。他们的解答是: 问题(1) 解:令y=2x+1,得x=(y-1)/2,∴f~(-1)(x)=     

均匀分划下S_(n,λ,l)的表达式和性质

本文给出在均匀分划下S_(n,λ,1)(f_Δ)的表达式和讨论有界函数f(x)的S_(n,λ,1)(f_Δ)的收敛性。     

几类含奇线双曲型方程的Riemann函数

一、引言已知双曲型偏微分方程(α~2u)/(αxαy)+A(x,y)(αu)/(αx)+B(x,y)(αu/(αy)+C(x,y)u=F(x,y)(1.1)的Riemann函数(本文以下简称R函数)的存在性早已被肯定,而求出R函数又是求方程(1.1)的解以及讨论其Cauchy问题的一个基本途径。然而,至今能求出R函数明显表达式的方程却并不多,已知的求法也多半因方程类型不同而异。1958年,Copson较全面地总结归纳出(已知的)求R函数的六种方法,其中之一是Chaundy在[1]中提出通过幂级数求R函数的方法。此法虽仍受方程类型的局限,但对于探求含奇线双曲型方程的R函数来说是有价值的,其意义在于该法通过变换能消除原方程的奇性,从而得出适合用幂级数求R函数的方程组。Chaundy在[1]中用这样的方法求     

均匀矩形区域下双三次样条函数的误差分析

样条插值函数作为工程中应用广泛的一类插值函数，其余项估计是样条函数逼近理论中的一个基本问题、对于足够光滑的二元函数f(x，y)，其双三次样条函数s(x，y)不仅存在，而且有具体的计算方法．运用泰勒表达式的分析方法，对由双三次样条函数产生的误差估计进行了探讨，得到了一些具体的余项估计的误差限．     

求函数多重零点的高阶迭代

求函数f(x)的多重零点,用一般求单零点的方法(例如Newton法、弦截法)往往收敛缓慢、计算效能低,甚至迭代不收敛,为此我们考虑求多重零点的迭代方法. 设α是函数f(x)的m重零点,记u(x)=f(x)/f′(x),(1)则α是u(x)的单零点.求单零点的迭代法用到u(x)上就可导出求f(x)的多重零点的迭代法.例如,对u(x)使用Newton迭代法就导出求f(x)多重零点的二阶迭代函数     

剖析复合函数的极限运算

探讨了复合函数中的极限符号与函数符号能否交换次序的问题，阐述了limx→x0f[φ(x)]、f[limx→x0φ（x）及limu→u0f(u)三者的差异。     

函数f(x)与|f(x)|的分析运算之间的关系

在数学分析中,常考察函数f(x)与|f(x)|的分析运算(极限、连续、微分、积分等运算)之间的关系。本文利用函数f(x)的符号函数的分析运算性质来研究这种关系,並给出数学分析中有关定理的另一种证法。     

求一类函数最值的几何方法

针对求含有二次根式的和的一元、二元函数的最值问题,根据函数表达式的结构,把函数的最值问题转化为初等几何中距离的最值,再通过几何直观的方法,使问题得到解决。     

求解无约束全局优化问题的一种方法

提出一种新的求解无约束全局优化问题的方法,该方法把修正的BFGS方法与填充函数方法相结合,使得目标函数f(x)的当前局部极小点x*1可以移到目标函数的另一个局部极小点-x,且f(x*1)≥f(-x),同时-x也是填充函数的极小值点;然后再以为初始点求f(x)的局部最优解.反复以上过程,最终可以找到f(x)的全局最优解.     

线性函数方程解析解的存在性与唯一性

§1 问题与引理华罗庚等在文献[1]中曾用逐次逼近法讨论过函数方程 f(x)=sum from i=1 α_if(α_ix) h(x) (Ⅰ)的连续解的存在性问题。在本文中,笔者要给出这类函数方程解析解(即具有正的收敛半径的幂级数解)的存在性与唯一性条件。另外,本文还要给出函数方程 f(x)=p(x)f(α_x) q(x) (Ⅱ)     

解非线性算子方程的最速下降法

设F(x)=grad f(x)是定义于实Hilbert空间H内的势算子,其势f(x)的临界点,特别是极值点是方程F(x)=0的解。因此求泛函数f(x)的极值点(如果存在)可以求得方程F(x)=0的解。求泛函数f(x)的极小值可以用最速下降程序: (1) X_(n+1)=x_n-ε_nF(x_n)(n=1,2,…),其中ε_n是适当的常数,x_1是在H中任取的一点。