可测集两个定义等价性的探讨

在实变函数中,可测集的定义有两种.本文研究可测集的两种定义的等价性,并对此类著作的编排提供一些有益的建议.     

建立完备测度空间的4种方法及其等价性

对给定测度空间（Ω，F，μ），给出了4种建立完备测度空间的方法：设μ^*是由μ引出的外测度，令F^*为μ^*可测集全体，得到（Ω，F^*，μ^*）；N是μ－零测集全体，令－↑F＝｛A∪N：A∈F，N∈N｝，定义－↑μ（A∪N）=μ（A），得到（Ω，－↑F，-↑μ）；令F^△＝｛A△N：A∈F，N∈N｝，定义μ^△（A△N）＝μ（A），得到（Ω，F^△，μ^△）；令＝↑F=｛A：存在A1、A2∈F，使A1∪→A∪→A2且μ（A1）＝μ（A2）｝，定义＝↑μ（A）＝μ（A1），得到（Ω，＝↑F，＝↑μ）。并证明了它们之间的等价性，结论是测度空间的完备化是由给定的测度空间唯一确定的。     

Lebesgue测度与Lebesgue积分的简化定义

给出了Lebesgue测度与积分的简单定义，并通过此定义作出了一系列命题的简单证明，对Lebesgue积分取代Riemann作了初步的探索尝试。     

实变函数中勒贝格积分三种定义的等价性

论证了从简单函数出发而给出的勒贝格积分定义,对照黎曼积分确界式定义给出的勒贝格积分定义,用和的极限形式表示的勒贝格积分定义,三种定义互相等价。     

集值转移测度的J_L收敛的等价条件

首先给出了集值转移测度的一些基本性质,讨论了集值转移测度的收敛的等价条件,即设在{M(ω,.),Mn(ω,.),n≥1}pfc(X)条件下,(JL)Mn(ω,.)→M(ω,.)等价于{Mn(ω,.)}在线形拓扑(Pfc(X),JL)意义下收敛到M(ω,.)。     

Hausdorff测度的等价定义

Thomson[1]与Edgar[2]曾给出Hausdorff测度的等价定义。在他们的工作基础上,又补充了另外的等价定义,并改进他们的等价性证明。作为应用,改进并完善了[3]中的命题4．9的证明,进而可以较为简单求出一般Cantor集的Hausdorff测度。     

一类可测空间中随机扩散过程测度的绝对连续性与等价性

以随机过程理论为工具讨论了一类可测空间中随机扩散过程测度μζ与μＷ的绝对连续性与等价性，导出了若干满意论断与重要结果，从而可为解决未知参数估计的某些问题提供理论依据与方法。     

实变函数论中的几个问题与反例

对实变函数中几个有趣的问题给出了富有启发性的反例,且给出了正确的结论及严格的证明,并对某些命题成立的条件做了简要的分析.     

可测函数与零测度集

讨论零测度集对可测函数所产生的影响,并证明了存在直线上的可测集A,使得f^-1(A)不是可测集．     

关于测度收敛的若干性质

主要研究函数序列测度收敛的性质,包括测度收敛的等价子列刻画;在可列个可测集上均测度收敛的序列在并集上未必测度收敛的反例以及使其成立的一个充分条件;测度收敛意义下积分序列极限的三大定理等.     

变测度算法的最优性条件

郑权首先提出了求总极值的积分-水平集方法及其算法的最优性条件.此后,邬冬华等人给出了一种修正的积分-水平集算法及相应的最优性条件.在此基础上,该文提出一个变测度的积分 水平集概念性算法,并给出类似的最优性条件.     

正实数阶广义M集的外部结构

推广了Philip所提出的“区域分解”和“角度分解”方法,提出了等势线和色彩调配法,并利用这四种方法构造了一系列正实数阶广义M集的外部结构图·研究了广义M集外部结构的分形特征及演化过程,结果表明整数阶广义M集的外部区域具有分形特征,小数阶广义M集的外部区域出现了错动和断裂,且其演化过程依赖于相角主值范围的选取     

谈建构主义思想在实变函数论中的体现

实变函数论是微积分知识的深化，在思想方法上即有着较大的飞跃，如何能够较好地适应这一过渡，是历来函数论学习的主要问题，以建构主义的理论为基础，以实变函数论中Lebesgue积分的引入为例来探讨这部分知识结构的建构性本质，希望对函数论学习有所帮助。     

关于实变函数教学中的一些注记

探讨实变函数与其他课程联系及在教学中构建兴趣点,培养学生的学习兴趣,提高课堂教学效果.     

抽象Lebesgue积分的等价定义

抽象测度空间(Ω,F,μ)上可测函数的Lebesgue积分通常是由以下程序确定的先定义简单可测函数的积分,再定义非负可测函数的积分,最后定义一般可测函数的积分,但有的文献不是这样定义的.在此,证明了三种不同定义的等价性.